5 Soal Limit Trigonometri Dan Pembahasannya Lengkap
Hey guys! Kalian lagi nyari soal-soal tentang limit trigonometri? Pas banget nih, karena di artikel ini kita bakal bahas 5 soal limit trigonometri lengkap dengan jawabannya. Limit trigonometri ini salah satu materi penting dalam matematika, dan sering banget muncul di ujian. Jadi, yuk langsung aja kita bahas biar makin paham!
Apa itu Limit Trigonometri?
Sebelum masuk ke soal, kita refresh dulu yuk tentang apa itu limit trigonometri. Secara sederhana, limit trigonometri itu mencari nilai suatu fungsi trigonometri ketika variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Nah, yang bikin seru, dalam menyelesaikan limit trigonometri ini, kita seringkali perlu menggunakan berbagai macam trik dan identitas trigonometri. Jadi, memang butuh pemahaman konsep yang kuat nih.
Kenapa sih kita perlu belajar limit trigonometri? Nah, salah satu alasannya adalah karena konsep limit ini jadi dasar untuk mempelajari kalkulus lebih lanjut. Jadi, kalau limitnya udah kuat, nanti belajar turunan dan integral juga jadi lebih mudah, guys.
Dalam limit trigonometri, ada beberapa bentuk dasar yang perlu kalian ingat, yaitu:
- lim (x→0) sin(x)/x = 1
- lim (x→0) x/sin(x) = 1
- lim (x→0) tan(x)/x = 1
- lim (x→0) x/tan(x) = 1
Selain itu, kalian juga perlu inget identitas-identitas trigonometri, seperti sin²(x) + cos²(x) = 1, tan(x) = sin(x)/cos(x), dan lain-lain. Identitas ini sering banget kepakai buat menyederhanakan soal limit trigonometri.
Ok deh, tanpa berlama-lama lagi, yuk kita langsung lihat contoh soal dan pembahasannya!
Contoh Soal dan Pembahasan Limit Trigonometri
Soal 1
Nilai dari lim (x→0) sin(5x) / (2x) adalah...
Pembahasan:
Soal ini kelihatan gampang ya? Tapi, kalau gak hati-hati, bisa kejebak nih. Ingat bentuk dasar limit trigonometri, lim (x→0) sin(x)/x = 1. Nah, kita coba modifikasi soal ini biar bentuknya mirip.
lim (x→0) sin(5x) / (2x) = lim (x→0) [sin(5x) / (5x)] * [5x / (2x)]
Perhatikan, kita kalikan dengan 5x/5x. Ini gak mengubah nilai soal, karena 5x/5x = 1. Tapi, sekarang kita punya bentuk sin(5x) / (5x) yang akan mendekati 1 ketika x mendekati 0.
= lim (x→0) [sin(5x) / (5x)] * lim (x→0) [5x / (2x)]
= 1 * (5/2)
= 5/2
Jadi, jawaban untuk soal ini adalah 5/2. Gimana, guys? Paham kan?
Soal 2
Nilai dari lim (x→0) tan(3x) / sin(2x) adalah...
Pembahasan:
Untuk soal ini, kita akan gunakan bentuk dasar limit trigonometri untuk tan dan sin. Ingat, lim (x→0) tan(x)/x = 1 dan lim (x→0) sin(x)/x = 1.
lim (x→0) tan(3x) / sin(2x) = lim (x→0) [tan(3x) / (3x)] * [3x / sin(2x)]
Sama seperti soal sebelumnya, kita kalikan dengan 3x/3x. Sekarang, kita fokus ke bagian 3x / sin(2x). Kita mau bikin bentuknya jadi x/sin(x), jadi kita kalikan lagi dengan 2x/2x.
= lim (x→0) [tan(3x) / (3x)] * [3x / sin(2x)] * [2x / 2x]
= lim (x→0) [tan(3x) / (3x)] * [3x / (2x)] * [2x / sin(2x)]
Sekarang kita punya tiga bentuk limit yang kita kenal:
= lim (x→0) [tan(3x) / (3x)] * lim (x→0) [3x / (2x)] * lim (x→0) [2x / sin(2x)]
= 1 * (3/2) * 1
= 3/2
Jadi, jawaban untuk soal ini adalah 3/2. Mulai kebayang kan triknya?
Soal 3
Nilai dari lim (x→0) (1 - cos(2x)) / x² adalah...
Pembahasan:
Soal ini sedikit berbeda, karena ada bentuk 1 - cos(2x). Nah, kalau ketemu bentuk seperti ini, kita ingat identitas trigonometri! Kita bisa gunakan identitas cos(2x) = 1 - 2sin²(x). Jadi,
1 - cos(2x) = 1 - (1 - 2sin²(x)) = 2sin²(x)
Sekarang kita substitusi ke soal:
lim (x→0) (1 - cos(2x)) / x² = lim (x→0) 2sin²(x) / x²
= 2 * lim (x→0) [sin(x) / x] * [sin(x) / x]
= 2 * 1 * 1
= 2
Jadi, jawaban untuk soal ini adalah 2. Identitas trigonometri memang penting banget ya!
Soal 4
Nilai dari lim (x→0) (sin(4x) + tan(2x)) / (6x) adalah...
Pembahasan:
Soal ini ada penjumlahan di pembilangnya. Kita bisa pecah limitnya jadi dua:
lim (x→0) (sin(4x) + tan(2x)) / (6x) = lim (x→0) sin(4x) / (6x) + lim (x→0) tan(2x) / (6x)
Sekarang, kita kerjakan masing-masing limit seperti soal-soal sebelumnya:
= lim (x→0) [sin(4x) / (4x)] * [4x / (6x)] + lim (x→0) [tan(2x) / (2x)] * [2x / (6x)]
= 1 * (4/6) + 1 * (2/6)
= 4/6 + 2/6
= 6/6
= 1
Jadi, jawaban untuk soal ini adalah 1. Memecah limit jadi lebih sederhana itu salah satu trik yang berguna, guys.
Soal 5
Nilai dari lim (x→π/4) (cos(2x)) / (cos(x) - sin(x)) adalah...
Pembahasan:
Nah, soal ini agak beda nih, karena x-nya mendekati π/4, bukan 0. Kita juga punya cos(2x) di pembilang. Kita bisa gunakan identitas cos(2x) = cos²(x) - sin²(x). Selain itu, kita juga bisa faktorkan cos²(x) - sin²(x) menjadi (cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)).
lim (x→π/4) (cos(2x)) / (cos(x) - sin(x)) = lim (x→π/4) (cos²(x) - sin²(x)) / (cos(x) - sin(x))
= lim (x→π/4) [(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x))] / (cos(x) - sin(x))
Kita bisa coret (cos(x) - sin(x)) di pembilang dan penyebut:
= lim (x→π/4) cos(x) + sin(x)
Sekarang kita substitusi x = π/4:
= cos(Ï€/4) + sin(Ï€/4)
= (√2 / 2) + (√2 / 2)
= √2
Jadi, jawaban untuk soal ini adalah √2. Soal ini ngingetin kita untuk gak lupa sama identitas dan pemfaktoran ya.
Kesimpulan
Nah, itu dia 5 contoh soal limit trigonometri beserta pembahasannya. Gimana, guys? Semoga udah makin paham ya. Intinya, dalam menyelesaikan soal limit trigonometri, kalian perlu kuasain bentuk dasar limit trigonometri, identitas trigonometri, dan gak takut buat mencoba berbagai macam trik. Semakin banyak latihan, pasti makin lancar deh!
Kalau kalian punya pertanyaan atau mau request materi lain, jangan ragu buat tulis di kolom komentar ya. Semangat terus belajarnya!