Akar Persamaan Kuadrat: Soal & Pembahasan Lengkap

Hay guys! Kali ini kita bakal membahas tuntas soal-soal tentang akar persamaan kuadrat. Buat kalian yang lagi belajar matematika atau pengen refresh materi, artikel ini cocok banget buat kalian. Kita akan membahas dua soal yang sering muncul, yaitu cara mencari akar lain dan nilai m jika salah satu akar diketahui, serta cara menentukan nilai k jika diketahui hubungan antara akar-akarnya. Yuk, langsung aja kita bahas satu per satu!

Soal 4: Mencari Akar Lain dan Nilai m

Soal: Jika salah satu akar persamaan x² - 5x + m = 0 adalah 2, tentukan akar yang lain dan nilai m!

Pembahasan Soal

Dalam menyelesaikan soal persamaan kuadrat ini, kita akan fokus mencari akar lain dari persamaan tersebut dan juga nilai m. Soal ini adalah contoh klasik dari bagaimana kita menggunakan informasi yang diberikan untuk menemukan elemen yang hilang dalam persamaan kuadrat. Pemahaman mendalam tentang struktur persamaan kuadrat dan sifat-sifat akarnya sangat penting di sini. Mari kita bedah soal ini langkah demi langkah agar kalian nggak bingung, ya!

Langkah 1: Memahami Konsep Dasar Akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Artinya, jika kita substitusikan nilai akar ke dalam persamaan, hasilnya akan menjadi nol. Dalam soal ini, kita sudah dikasih tahu bahwa salah satu akarnya adalah 2. Jadi, kalau kita masukkin x = 2 ke persamaan x² - 5x + m = 0, persamaan itu harus bernilai benar alias 0. Ini adalah kunci pertama kita untuk mecahin soal ini, guys.

Langkah 2: Substitusi Akar yang Diketahui

Kita substitusikan x = 2 ke dalam persamaan x² - 5x + m = 0. Jadi, persamaannya berubah jadi:

(2)² - 5(2) + m = 0

4 - 10 + m = 0

-6 + m = 0

Nah, dari sini kita bisa langsung dapat nilai m. Caranya gimana? Gampang banget! Kita tinggal pindahin -6 ke sisi kanan persamaan. Jadinya:

m = 6

Voila! Kita udah dapet nilai m. Sekarang kita tahu bahwa persamaan kuadrat kita sebenarnya adalah x² - 5x + 6 = 0. Langkah selanjutnya adalah mencari akar yang lain. Ini lebih seru lagi, karena kita bisa pakai beberapa cara.

Langkah 3: Mencari Akar Lain

Ada beberapa cara yang bisa kita pakai buat nyari akar yang lain. Salah satunya adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadrat. Kita udah punya persamaannya, yaitu x² - 5x + 6 = 0. Sekarang, kita cari dua bilangan yang kalau dikali hasilnya 6 dan kalau dijumlah hasilnya -5. Mikir… mikir…

Ketemu!

Bilangan itu adalah -2 dan -3, karena (-2) x (-3) = 6 dan (-2) + (-3) = -5. Jadi, kita bisa faktorkan persamaan kuadratnya jadi:

(x - 2)(x - 3) = 0

Dari sini, kita dapat dua kemungkinan nilai x yang membuat persamaan ini benar. Kemungkinan pertama adalah x - 2 = 0, yang berarti x = 2 (akar yang udah kita tahu). Kemungkinan kedua adalah x - 3 = 0, yang berarti x = 3. Jadi, akar yang lain adalah 3. Gampang, kan?

Cara lain buat nyari akar yang lain adalah dengan menggunakan rumus abc atau rumus kuadrat. Rumusnya kayak gini:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Dalam persamaan kita, a = 1, b = -5, dan c = 6. Kita tinggal masukkin nilai-nilai ini ke dalam rumus:

x = (-(-5) ± √((-5)² - 4(1)(6))) / (2(1))

x = (5 ± √(25 - 24)) / 2

x = (5 ± √1) / 2

x = (5 ± 1) / 2

Dari sini kita dapat dua nilai x:

• x* = (5 + 1) / 2 = 3
• x* = (5 - 1) / 2 = 2

Sama, kan? Kita dapet akar yang lain adalah 3. Mau pakai cara faktorisasi atau rumus abc, hasilnya sama aja. Yang penting, kalian paham konsepnya dan teliti dalam menghitung.

Kesimpulan

Jadi, akar yang lain dari persamaan x² - 5x + m = 0 adalah 3, dan nilai m adalah 6. Gimana, guys? Kebayang kan cara ngerjain soal kayak gini? Intinya adalah pahami konsep dasar persamaan kuadrat, substitusi nilai yang diketahui, dan jangan lupa teliti dalam menghitung. Dengan latihan, soal-soal kayak gini bakal jadi makanan sehari-hari buat kalian!

Soal 5: Menentukan Nilai k dengan Hubungan Akar-Akar

Soal: Diketahui akar-akar persamaan 3x² - 12x + k = 0 adalah α dan β. Jika α² + β² = 8, tentukan nilai k!

Pembahasan Soal

Soal ini sedikit berbeda dari soal sebelumnya, tapi nggak kalah seru buat dipecahin! Di sini, kita dikasih tahu hubungan antara akar-akarnya, yaitu α² + β² = 8, dan kita diminta buat nyari nilai k. Soal ini menguji pemahaman kita tentang hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat dan koefisien-koefisiennya. Kita akan pakai rumus jumlah dan hasil kali akar untuk menyelesaikan soal ini. Yuk, kita mulai!

Langkah 1: Mengingat Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, jumlah akar-akarnya (α + β) sama dengan -b/ a, dan hasil kali akar-akarnya (αβ) sama dengan c/ a. Ini adalah rumus penting yang harus kalian ingat baik-baik. Dalam soal ini, persamaan kuadrat kita adalah 3x² - 12x + k = 0. Jadi, a = 3, b = -12, dan c = k. Sekarang, kita bisa tulis:

α + β = -(-12) / 3 = 4

αβ = k / 3

Nah, kita udah punya dua persamaan. Tapi, kita masih punya satu informasi lagi yang belum kita pakai, yaitu α² + β² = 8. Informasi ini akan jadi kunci buat mecahin soal ini.

Langkah 2: Menggunakan Identitas Aljabar

Kita tahu bahwa (α + β)² = α² + 2αβ + β². Kalau kita susun ulang, kita dapat:

α² + β² = (α + β)² - 2αβ

Kita udah tahu nilai α² + β² (yaitu 8) dan nilai α + β (yaitu 4). Kita juga punya ekspresi buat αβ (yaitu k / 3). Sekarang, kita tinggal substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan di atas:

8 = (4)² - 2(k / 3)

8 = 16 - (2k / 3)

Sekarang, kita tinggal nyari nilai k. Caranya gimana? Kita pindahin 16 ke sisi kiri persamaan:

8 - 16 = - (2k / 3)

-8 = - (2k / 3)

Kita kalikan kedua sisi dengan -1 biar nggak ada tanda negatif:

8 = 2k / 3

Kita kalikan kedua sisi dengan 3:

24 = 2k

Terakhir, kita bagi kedua sisi dengan 2:

k = 12

Yeay! Kita udah dapet nilai k. Lumayan panjang ya langkah-langkahnya, tapi kalau kalian ikutin pelan-pelan, pasti nggak susah kok.

Kesimpulan

Jadi, nilai k dari persamaan 3x² - 12x + k = 0 adalah 12. Soal ini ngajarin kita buat nggak cuma nginget rumus, tapi juga gimana cara mengaplikasikannya dalam soal yang lebih kompleks. Ingat, hubungan antara akar-akar dan koefisien persamaan kuadrat itu penting banget. Jadi, jangan lupa buat terus latihan soal ya!

Tips dan Trik Tambahan

• Pahami Konsep Dasar: Sebelum mencoba soal-soal yang rumit, pastikan kalian udah paham betul konsep dasar persamaan kuadrat, akar-akar, dan rumus-rumusnya.
• Latihan Soal: Nggak ada cara yang lebih baik buat nguasain matematika selain dengan latihan soal. Coba kerjain berbagai macam soal dengan tingkat kesulitan yang berbeda-beda.
• Teliti dalam Menghitung: Kesalahan kecil dalam perhitungan bisa bikin jawaban kalian salah. Jadi, selalu teliti dan periksa kembali pekerjaan kalian.
• Manfaatkan Sumber Belajar: Ada banyak sumber belajar matematika yang bisa kalian manfaatkan, mulai dari buku pelajaran, video pembelajaran, sampai forum diskusi online. Jangan ragu buat mencari bantuan kalau kalian merasa kesulitan.

Penutup

Oke guys, itu dia pembahasan lengkap tentang soal-soal akar persamaan kuadrat. Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian semua. Jangan lupa buat terus belajar dan berlatih, ya! Sampai jumpa di artikel selanjutnya!