Analisis Lengkap: Solusi Sistem Persamaan Linear & Penentuan Nilai 'k'

by ADMIN 71 views
Iklan Headers

Hai guys! Mari kita selami dunia matematika yang seru, khususnya tentang Sistem Persamaan Linear (SPL). Kita akan membahas bagaimana cara menentukan nilai suatu konstanta, dalam hal ini 'k', yang akan memengaruhi jumlah solusi dari SPL tersebut. SPL ini sangat penting dalam banyak bidang, mulai dari ekonomi hingga rekayasa. Jadi, mari kita mulai petualangan matematika kita!

Sistem Persamaan Linear adalah sekumpulan persamaan linear yang melibatkan variabel yang sama. Tujuan kita adalah menemukan nilai variabel-variabel ini yang memenuhi semua persamaan dalam sistem. Dalam kasus kita, kita memiliki tiga persamaan dengan tiga variabel: x, y, dan z. Bentuk umum SPL yang diberikan adalah:

  • x + 2y + kz = 8
  • 2x + 5y + 2z = 7
  • 5x + 12y + z = 2

Yang menjadi fokus utama kita adalah nilai 'k'. Nilai 'k' ini akan memainkan peran kunci dalam menentukan apakah SPL ini memiliki solusi tunggal, banyak solusi, atau bahkan tidak memiliki solusi sama sekali. Penasaran, kan? Yuk, kita bedah satu per satu!

Kapan SPL Memiliki Solusi Tak Hingga?

Solusi tak hingga berarti ada banyak sekali kombinasi nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut. Bayangkan seperti mencari jalan di labirin yang memiliki banyak sekali jalur keluar! Untuk menentukan nilai 'k' yang menghasilkan solusi tak hingga, kita perlu melakukan beberapa manipulasi aljabar pada sistem persamaan kita. Kita bisa menggunakan metode eliminasi Gauss atau metode lainnya yang sesuai.

Prinsip dasarnya adalah, kita berusaha untuk membuat salah satu atau lebih persamaan menjadi redundan atau bergantung pada persamaan lainnya. Jika kita berhasil, berarti kita memiliki lebih banyak variabel daripada persamaan yang independen, sehingga menghasilkan solusi tak hingga. Oke, mari kita mulai! Kita bisa mencoba mengeliminasi variabel x dari persamaan kedua dan ketiga.

Pertama, kita kalikan persamaan pertama dengan -2 dan menambahkannya ke persamaan kedua:

  • -2(x + 2y + kz = 8) -> -2x - 4y - 2kz = -16
  • (-2x - 4y - 2kz = -16) + (2x + 5y + 2z = 7) -> y + (2 - 2k)z = -9

Selanjutnya, kita kalikan persamaan pertama dengan -5 dan menambahkannya ke persamaan ketiga:

  • -5(x + 2y + kz = 8) -> -5x - 10y - 5kz = -40
  • (-5x - 10y - 5kz = -40) + (5x + 12y + z = 2) -> 2y + (1 - 5k)z = -38

Sekarang kita punya dua persamaan baru:

  • y + (2 - 2k)z = -9
  • 2y + (1 - 5k)z = -38

Kita kalikan persamaan pertama dengan -2 dan menambahkannya ke persamaan kedua:

  • -2(y + (2 - 2k)z = -9) -> -2y + (-4 + 4k)z = 18
  • (-2y + (-4 + 4k)z = 18) + (2y + (1 - 5k)z = -38) -> (-3 - k)z = -20

Agar SPL memiliki solusi tak hingga, kita perlu membuat persamaan terakhir ini menjadi identitas yang selalu benar (0 = 0). Ini terjadi jika koefisien dari z sama dengan nol, yaitu:

  • -3 - k = 0
  • k = -3

Dengan k = -3, persamaan terakhir menjadi 0z = -20, yang jelas tidak mungkin. Jadi, ada kesalahan perhitungan, mari kita perbaiki.

Kita perlu memastikan kedua persamaan ini saling bergantungan. Ini berarti bahwa salah satu persamaan dapat diturunkan dari persamaan lainnya. Untuk mencapai ini, kita harus membuat koefisien z pada kedua persamaan tersebut proporsional. Mari kita perhatikan kembali dua persamaan terakhir:

  • y + (2 - 2k)z = -9
  • 2y + (1 - 5k)z = -38

Kita kalikan persamaan pertama dengan 2:

  • 2y + (4 - 4k)z = -18

Sekarang kita bandingkan dengan persamaan kedua: 2y + (1 - 5k)z = -38. Agar kedua persamaan ini saling bergantung, koefisien z harus sama, yaitu:

  • 4 - 4k = 1 - 5k
  • k = -3

Dengan k = -3, kita dapatkan:

  • y + (2 - 2(-3))z = -9 -> y + 8z = -9
  • 2y + (1 - 5(-3))z = -38 -> 2y + 16z = -38 -> y + 8z = -19

Terjadi kontradiksi. Jadi, untuk kasus solusi tak hingga, mari kita ulangi dari awal dengan lebih teliti. Kita harus mengeliminasi semua persamaan.

  • x + 2y + kz = 8
  • 2x + 5y + 2z = 7
  • 5x + 12y + z = 2

Kita kalikan persamaan pertama dengan -2 dan tambahkan ke persamaan kedua: y + (2-2k)z = -9

Kita kalikan persamaan pertama dengan -5 dan tambahkan ke persamaan ketiga: 2y + (1-5k)z = -38

Kalikan persamaan pertama dengan -2 dan tambahkan ke persamaan kedua:

  • -2(y + (2 - 2k)z = -9) -> -2y + (-4 + 4k)z = 18
  • -2y + (-4 + 4k)z + 2y + (1 - 5k)z = 18 - 38
  • (-3 -k)z = -20

Supaya solusi tak hingga, maka -3-k=0 dan -20=0, yang jelas tidak mungkin. Jadi, mari kita cari lagi!

Kapan SPL Tidak Memiliki Solusi?

Tidak ada solusi berarti tidak ada satupun kombinasi nilai x, y, dan z yang memenuhi semua persamaan dalam sistem. Ini terjadi ketika kita mendapatkan kontradiksi dalam proses eliminasi atau manipulasi aljabar. Contohnya, kita bisa mendapatkan persamaan seperti 0 = 5, yang jelas tidak mungkin.

Mari kita gunakan kembali proses eliminasi yang telah kita lakukan sebelumnya. Kita telah mendapatkan persamaan:

  • (-3 -k)z = -20

Agar SPL tidak memiliki solusi, kita harus memiliki nilai k yang membuat sisi kiri persamaan menjadi nol (0z), tetapi sisi kanan tidak nol. Ini berarti:

  • -3 - k = 0 -> k = -3

Dengan k = -3, maka persamaan menjadi 0z = -20, yang merupakan kontradiksi. Jadi, untuk k = -3, SPL tidak memiliki solusi.

Kapan SPL Memiliki Satu Solusi?

Satu solusi berarti ada satu set nilai x, y, dan z yang memenuhi semua persamaan. Dalam kasus ini, kita harus memastikan bahwa sistem persamaan kita menghasilkan solusi unik untuk setiap variabel.

Kita telah menemukan bahwa jika k = -3, SPL tidak memiliki solusi. Sekarang, kita perlu mencari nilai k yang lain, agar SPL memiliki satu solusi. Untuk SPL memiliki satu solusi, determinan matriks koefisien harus tidak sama dengan nol. Matriks koefisien dari SPL kita adalah:

  • | 1 2 k |
  • | 2 5 2 |
  • | 5 12 1 |

Determinan matriks ini adalah:

  • 1(5 - 24) - 2(2 - 10) + k(24 - 25) = -19 + 16 - k = -3 - k

Agar SPL memiliki satu solusi, determinan harus tidak sama dengan nol:

  • -3 - k ≠ 0
  • k ≠ -3

Jadi, SPL memiliki satu solusi untuk semua nilai k kecuali k = -3. Ini berarti, untuk semua nilai k selain -3, kita akan mendapatkan satu set solusi unik untuk x, y, dan z. Jadi, guys, jawabannya adalah:

  • Solusi Tak Hingga: Tidak ada nilai k yang memenuhi.
  • Tidak Ada Solusi: k = -3
  • Satu Solusi: k ≠ -3

Semoga penjelasan ini bermanfaat dan membantu kalian memahami konsep SPL dengan lebih baik! Jangan ragu untuk mencoba contoh soal lainnya dan berlatih terus. Sampai jumpa di petualangan matematika berikutnya!