Angka Ganjil Di Posisi Ganjil: Soal Permutasi Matematika!

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik tentang permutasi dengan batasan tertentu. Soalnya begini: ada berapa banyak bilangan yang bisa dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 sehingga angka ganjil selalu berada di posisi ganjil? Penasaran kan? Yuk, kita bedah soal ini bareng-bareng!

Memahami Soal Permutasi dengan Batasan

Sebelum kita masuk ke penyelesaian, penting banget untuk memahami apa itu permutasi dan bagaimana batasan dalam soal ini memengaruhi cara kita menghitungnya. Permutasi sederhananya adalah pengaturan sejumlah objek dalam urutan tertentu. Nah, karena ada batasan angka ganjil harus berada di posisi ganjil, kita gak bisa asal atur semua angka. Kita harus mempertimbangkan posisi dan jenis angkanya.

Permutasi adalah konsep matematika yang menghitung berapa banyak cara berbeda suatu himpunan objek dapat diatur. Dalam kasus ini, objeknya adalah angka-angka 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1. Jika tidak ada batasan, kita bisa langsung menggunakan rumus permutasi untuk menghitung jumlah susunan yang mungkin. Akan tetapi, karena ada batasan bahwa angka ganjil harus berada di posisi ganjil, kita perlu pendekatan yang lebih hati-hati. Posisi ganjil dalam bilangan 7 digit adalah posisi pertama, ketiga, kelima, dan ketujuh. Angka ganjil yang kita miliki adalah 1, 3, 3, dan 1. Kita harus mengatur angka-angka ganjil ini di posisi ganjil terlebih dahulu, baru kemudian mengatur angka-angka genap di posisi genap.

Kenapa batasan ini penting? Karena batasan ini mengurangi jumlah kemungkinan susunan. Kalau kita abaikan batasan ini, kita akan menghitung susunan-susunan yang sebenarnya tidak valid sesuai dengan aturan soal. Misalnya, susunan di mana angka 2 (genap) berada di posisi pertama (ganjil) tidak boleh kita hitung. Oleh karena itu, kita harus fokus pada bagaimana mengatur angka ganjil di posisi ganjil dan angka genap di posisi genap secara terpisah, lalu menggabungkan hasilnya.

Strategi Pemecahan Soal

Nah, sekarang kita udah paham soalnya, mari kita susun strategi untuk memecahkannya. Berikut adalah langkah-langkah yang bisa kita ikuti:

1. Identifikasi Posisi Ganjil dan Genap: Dalam bilangan 7 digit, posisi ganjil adalah 1, 3, 5, dan 7. Posisi genap adalah 2, 4, dan 6.
2. Identifikasi Angka Ganjil dan Genap: Angka ganjil kita adalah 1, 3, 3, 1. Angka genap kita adalah 2, 4, 2.
3. Hitung Permutasi Angka Ganjil di Posisi Ganjil: Kita akan menghitung berapa banyak cara kita bisa mengatur angka 1, 3, 3, 1 di posisi 1, 3, 5, dan 7.
4. Hitung Permutasi Angka Genap di Posisi Genap: Kita akan menghitung berapa banyak cara kita bisa mengatur angka 2, 4, 2 di posisi 2, 4, dan 6.
5. Kalikan Hasilnya: Jumlah total bilangan yang bisa dibentuk adalah hasil perkalian dari jumlah permutasi angka ganjil dan jumlah permutasi angka genap.

Dengan mengikuti strategi ini, kita bisa memecah soal yang kompleks ini menjadi bagian-bagian yang lebih kecil dan lebih mudah dikelola. Setiap langkah akan kita hitung secara terpisah, lalu kita gabungkan untuk mendapatkan jawaban akhir.

Menghitung Permutasi Angka Ganjil

Oke, sekarang kita fokus ke angka ganjil dulu. Kita punya angka 1, 3, 3, 1 yang harus kita tempatkan di posisi 1, 3, 5, dan 7. Karena ada angka yang berulang (angka 1 dan 3 muncul dua kali), kita perlu menggunakan rumus permutasi dengan pengulangan. Rumusnya adalah:

n! / (r1! * r2! * ... * rk!)

Di mana:

• n adalah jumlah total objek (dalam kasus ini, 4 angka ganjil)
• r1, r2, ..., rk adalah jumlah pengulangan untuk setiap objek yang berulang (dalam kasus ini, angka 1 muncul 2 kali dan angka 3 muncul 2 kali)

Jadi, perhitungannya adalah:

4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1 * 2 * 1) = 24 / 4 = 6

Artinya, ada 6 cara berbeda untuk mengatur angka ganjil 1, 3, 3, 1 di posisi ganjil.

Penting untuk diingat: Rumus permutasi dengan pengulangan ini sangat penting ketika kita berurusan dengan objek-objek yang tidak semuanya unik. Jika semua objek unik, kita bisa langsung menggunakan rumus permutasi sederhana n!.

Menghitung Permutasi Angka Genap

Selanjutnya, kita akan menghitung permutasi untuk angka genap. Kita punya angka 2, 4, 2 yang harus kita tempatkan di posisi 2, 4, dan 6. Sama seperti sebelumnya, karena ada angka yang berulang (angka 2 muncul dua kali), kita perlu menggunakan rumus permutasi dengan pengulangan.

Dalam kasus ini, n = 3 (karena ada 3 angka genap) dan hanya angka 2 yang berulang sebanyak 2 kali. Jadi, perhitungannya adalah:

3! / 2! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3

Jadi, ada 3 cara berbeda untuk mengatur angka genap 2, 4, 2 di posisi genap.

Tips: Selalu perhatikan apakah ada angka atau objek yang berulang dalam soal permutasi. Jika ada, jangan lupa gunakan rumus permutasi dengan pengulangan untuk mendapatkan hasil yang akurat.

Jawaban Akhir

Nah, kita sudah menghitung permutasi angka ganjil dan angka genap secara terpisah. Sekarang, untuk mendapatkan jumlah total bilangan yang bisa dibentuk, kita tinggal mengalikan kedua hasil tersebut:

Jumlah total = (Jumlah permutasi angka ganjil) * (Jumlah permutasi angka genap) = 6 * 3 = 18

Jadi, ada 18 bilangan yang bisa dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 sehingga angka ganjil selalu menempati posisi ganjil.

Kesimpulan: Soal ini mengajarkan kita bagaimana cara menyelesaikan soal permutasi dengan batasan tertentu. Kita harus memahami konsep permutasi dengan pengulangan dan bagaimana cara menerapkannya dalam konteks soal. Dengan memecah soal menjadi bagian-bagian yang lebih kecil dan mengikuti strategi yang tepat, kita bisa menyelesaikan soal yang tampak rumit dengan lebih mudah.

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Jangan ragu untuk bertanya jika ada yang masih kurang jelas. Selamat belajar dan sampai jumpa di pembahasan soal-soal menarik lainnya!