Bandingkan Determinan & Invers Matriks A Dan B

by ADMIN 47 views
Iklan Headers

Halo, teman-teman pecinta matematika! Kali ini kita bakal ngulik soal matriks yang super seru. Diberikan dua matriks keren, yaitu matriks A dan matriks B. Kita punya matriks A:

A = 
	[ 4  -3 ]
	[ 2  -1 ]

dan matriks B:

B = 
	[ 2   3 ]
	[ -1  0 ]

Tugas kita sekarang adalah memilih semua pernyataan yang benar di antara pilihan yang ada. Ingat ya, jawaban yang benar bisa lebih dari satu. Jadi, kita harus teliti banget! Pernyataan yang akan kita uji adalah:

  1. |A| < |B|
  2. |At| < |Bt|
  3. |A-1| < |B-1|

Oke, siap? Mari kita bedah satu per satu!

Menghitung Determinan Matriks A dan B

Sebelum kita melangkah lebih jauh, hal pertama yang paling krusial adalah menghitung nilai determinan dari kedua matriks ini. Buat kamu yang masih ingat, rumus determinan untuk matriks 2x2 seperti ini: Kalau kita punya matriks M = [[a, b], [c, d]], maka determinannya adalah |M| = ad - bc. Gampang kan?

Sekarang, yuk kita terapkan rumus ini ke matriks A. Matriks A kita punya elemen a=4, b=-3, c=2, dan d=-1. Jadi, determinan matriks A, yang kita tulis sebagai |A|, adalah:

|A| = (4 * -1) - (-3 * 2) |A| = -4 - (-6) |A| = -4 + 6 |A| = 2

Nah, sekarang giliran matriks B. Matriks B punya elemen a=2, b=3, c=-1, dan d=0. Menghitung determinannya, |B|, jadi:

|B| = (2 * 0) - (3 * -1) |B| = 0 - (-3) |B| = 0 + 3 |B| = 3

Dari perhitungan ini, kita bisa lihat bahwa |A| = 2 dan |B| = 3. Sekarang, mari kita cek pernyataan pertama: |A| < |B|. Apakah 2 lebih kecil dari 3? Tentu saja benar! Jadi, pernyataan pertama adalah BENAR.

Menghitung Determinan Matriks Transpose

Selanjutnya, kita perlu membuktikan pernyataan kedua, yaitu |At| < |Bt|. Apa itu matriks transpose? Transpose matriks adalah matriks yang barisnya dijadikan kolom atau sebaliknya. Jadi, kalau kita punya matriks M = [[a, b], [c, d]], maka matriks transposenya, Mt, adalah [[a, c], [b, d]].

Mari kita cari transpose dari matriks A, yaitu At. Dari matriks A:

A = 
	[ 4  -3 ]
	[ 2  -1 ]

Kita ubah baris jadi kolom, maka:

At = 
	[ 4   2 ]
	[ -3 -1 ]

Sekarang, kita hitung determinan At. Menggunakan rumus yang sama ad - bc:

|At| = (4 * -1) - (2 * -3) |At| = -4 - (-6) |At| = -4 + 6 |At| = 2

Menarik! Ternyata determinan At sama dengan determinan A. Ini memang sifat penting dari determinan, guys: determinan sebuah matriks selalu sama dengan determinan matriks transposenya (|M| = |Mt|). Jadi, kita sebenarnya sudah bisa menebak |Bt| pasti sama dengan |B| tanpa perlu menghitung ulang. Tapi, biar lebih mantap, kita hitung saja transpose B, yaitu Bt.

Dari matriks B:

B = 
	[ 2   3 ]
	[ -1  0 ]

Maka transpose-nya adalah:

Bt = 
	[ 2  -1 ]
	[ 3   0 ]

Sekarang kita hitung determinan Bt:

|Bt| = (2 * 0) - (-1 * 3) |Bt| = 0 - (-3) |Bt| = 0 + 3 |Bt| = 3

Benar kan, |Bt| sama dengan |B|. Sekarang kita cek pernyataan kedua: |At| < |Bt|. Apakah 2 lebih kecil dari 3? Yup, ini juga BENAR! Keren banget ya matriks ini.

Mencari Nilai Invers Matriks A dan B

Pernahkah kamu merasa kesulitan dengan soal matriks? Tenang, kamu tidak sendirian! Sekarang kita masuk ke bagian paling menantang, yaitu mencari nilai invers matriks. Pernyataan ketiga yang harus kita uji adalah |A-1| < |B-1|. Ini berarti kita harus menghitung invers dari matriks A dan B, lalu mencari determinan dari matriks invers tersebut.

Rumus invers untuk matriks 2x2 M = [[a, b], [c, d]] adalah:

M-1 = (1 / |M|) * [[d, -b], [-c, a]]

Ingat, invers hanya bisa dicari kalau determinannya tidak nol. Tadi kita sudah dapat |A| = 2 dan |B| = 3, keduanya tidak nol, jadi inversnya bisa kita hitung.

Pertama, mari kita cari invers dari matriks A (A-1). Kita punya |A| = 2. Matriks A adalah [[4, -3], [2, -1]]. Jadi, a=4, b=-3, c=2, d=-1.

A-1 = (1 / 2) * [[-1, -(-3)], [-2, 4]] A-1 = (1 / 2) * [[-1, 3], [-2, 4]]

Sekarang, kita kalikan setiap elemen di dalam matriks dengan 1/2:

A-1 = [[-1/2, 3/2], [-2/2, 4/2]] A-1 = [[-0.5, 1.5], [-1, 2]]

Selanjutnya, kita perlu menghitung determinan dari matriks invers A ini, yaitu |A-1|. Dari matriks A-1 = [[-0.5, 1.5], [-1, 2]], kita punya a=-0.5, b=1.5, c=-1, d=2.

|A-1| = (-0.5 * 2) - (1.5 * -1) |A-1| = -1 - (-1.5) |A-1| = -1 + 1.5 |A-1| = 0.5

Menariknya, ada sifat lain yang sangat berguna di sini: determinan dari invers sebuah matriks adalah kebalikan dari determinan matriks aslinya (|M-1| = 1 / |M|). Jadi, kita bisa langsung tahu bahwa |A-1| = 1 / |A| = 1 / 2 = 0.5. Cek perhitungan manual tadi, hasilnya sama! Ini bukti kalau kita sudah paham konsepnya.

Sekarang, kita cari invers dari matriks B (B-1). Kita punya |B| = 3. Matriks B adalah [[2, 3], [-1, 0]]. Jadi, a=2, b=3, c=-1, d=0.

B-1 = (1 / 3) * [[0, -3], [-(-1), 2]] B-1 = (1 / 3) * [[0, -3], [1, 2]]

Kalikan setiap elemen dengan 1/3:

B-1 = [[0/3, -3/3], [1/3, 2/3]] B-1 = [[0, -1], [1/3, 2/3]]

Terakhir, kita hitung determinan B-1, yaitu |B-1|. Dari matriks B-1 = [[0, -1], [1/3, 2/3]], kita punya a=0, b=-1, c=1/3, d=2/3.

|B-1| = (0 * 2/3) - (-1 * 1/3) |B-1| = 0 - (-1/3) |B-1| = 1/3

Sama seperti sebelumnya, kita bisa cek dengan sifat |B-1| = 1 / |B| = 1 / 3. Cocok sekali!

Sekarang kita punya |A-1| = 0.5 (atau 1/2) dan |B-1| = 1/3. Mari kita uji pernyataan ketiga: |A-1| < |B-1|. Apakah 1/2 lebih kecil dari 1/3? Ingat, kalau penyebutnya lebih besar, nilainya lebih kecil. Jadi, 1/3 itu lebih kecil dari 1/2. Dengan kata lain, 0.5 TIDAK lebih kecil dari 1/3. Makanya, pernyataan ketiga adalah SALAH.

Kesimpulan Akhir

Setelah melalui perhitungan yang cukup mendalam, mari kita rekap pernyataan mana saja yang terbukti benar:

  1. |A| < |B|: BENAR (2 < 3)
  2. |At| < |Bt|: BENAR (2 < 3)
  3. |A-1| < |B-1|: SALAH (0.5 tidak < 1/3)

Jadi, jawaban yang benar adalah pernyataan pertama dan kedua. Semoga penjelasan ini membuat kalian semakin jago dalam menguasai dunia matriks, ya! Terus semangat belajar dan jangan ragu untuk mencoba soal-soal lainnya. Sampai jumpa di pembahasan matematika seru lainnya, guys!