Barisan Aritmetika: Analisis Mendalam & Penyisipan Suku

Guys, mari kita bedah soal matematika yang menarik tentang barisan aritmetika! Soalnya begini: Kita punya barisan aritmetika 10, 28, 46, 64, ..., 874. Nah, di antara suku-sukunya, kita akan sisipkan 5 suku baru. Tugas kita adalah, dari beberapa pernyataan yang ada, mana saja yang benar? Seru, kan?

Sebelum kita mulai, mari kita refresh sedikit tentang apa itu barisan aritmetika. Barisan aritmetika adalah urutan bilangan di mana selisih antara dua suku berurutan selalu sama. Selisih ini kita sebut beda, dan biasanya dilambangkan dengan 'b'. Jadi, kalau kita punya barisan 2, 4, 6, 8, ... , bedanya adalah 2 (karena 4-2 = 2, 6-4 = 2, dan seterusnya). Gampang, kan? Nah, dalam soal kita, kita perlu mencari tahu beda barisan aslinya dulu, baru kita bisa menganalisis apa yang terjadi setelah suku-suku baru disisipkan. Jangan khawatir, kita akan bahas semuanya secara detail.

Mari kita analisis soal ini secara bertahap. Pertama, kita akan mencari tahu beda dari barisan aritmetika awal. Kedua, kita akan memahami bagaimana penyisipan suku mempengaruhi beda dan suku-suku lainnya. Ketiga, kita akan menghitung suku ke-n setelah penyisipan. Keempat, kita akan melihat pernyataan yang diberikan dan menentukan mana yang benar. Dengan pendekatan yang sistematis ini, kita akan dengan mudah menyelesaikan soal ini dan memahami konsep barisan aritmetika secara lebih mendalam. Yuk, kita mulai petualangan matematika kita!

Menentukan Beda & Karakteristik Awal Barisan Aritmetika

Pertama-tama, kita harus mencari tahu beda (b) dari barisan aritmetika awal: 10, 28, 46, 64, ..., 874. Ingat, beda adalah selisih antara suku berurutan. Jadi, kita bisa hitung:

• 28 - 10 = 18
• 46 - 28 = 18
• 64 - 46 = 18

Nah, ternyata bedanya adalah 18! Gampang banget, kan? Ini berarti setiap suku berikutnya dalam barisan ini bertambah 18 dari suku sebelumnya. Sekarang, mari kita cari tahu suku ke-n dari barisan ini. Rumus suku ke-n (Un) dari barisan aritmetika adalah:

Un = a + (n - 1) * b

di mana:

• Un = suku ke-n
• a = suku pertama
• n = nomor suku
• b = beda

Dalam kasus kita:

• a = 10
• b = 18

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan ini adalah:

Un = 10 + (n - 1) * 18

Kita juga tahu bahwa suku terakhirnya adalah 874. Dengan menggunakan rumus di atas, kita bisa mencari tahu nomor suku terakhir (n):

874 = 10 + (n - 1) * 18 864 = (n - 1) * 18 n - 1 = 48 n = 49

Wah, ternyata 874 adalah suku ke-49! Kita sudah punya informasi yang cukup untuk menganalisis soal ini lebih lanjut. Kita sudah tahu beda barisan awal, rumus suku ke-n, dan nomor suku terakhir. Mantap!

Dampak Penyisipan Suku Terhadap Beda dan Suku-Suku Baru

Oke, sekarang kita masuk ke bagian yang lebih seru: penyisipan 5 suku baru di antara setiap suku. Misalkan kita punya dua suku berurutan dalam barisan awal, yaitu U1 dan U2. Ketika kita menyisipkan 5 suku baru di antara mereka, kita sebenarnya membagi selisih antara U1 dan U2 menjadi 6 bagian yang sama (karena ada 5 suku baru + 1 selisih antara U1 dan U2). Ini berarti beda yang baru (b') akan lebih kecil dari beda awal (b).

Mari kita ilustrasikan: Misalkan U1 = 10 dan U2 = 28. Beda awalnya adalah 18. Setelah kita sisipkan 5 suku baru, kita akan punya 7 suku baru (termasuk U1 dan U2). Selisih antara 10 dan 28 adalah 18. Beda yang baru (b') adalah 18 / 6 = 3. Jadi, setiap suku baru akan bertambah 3 dari suku sebelumnya.

Secara umum, jika kita menyisipkan 'k' suku baru di antara setiap suku dalam barisan aritmetika, beda yang baru (b') dapat dihitung dengan rumus:

b' = b / (k + 1)

di mana:

• b' = beda baru
• b = beda awal
• k = jumlah suku yang disisipkan

Dalam soal kita, k = 5 dan b = 18. Jadi, beda yang baru (b') adalah:

b' = 18 / (5 + 1) = 18 / 6 = 3

Nah, sekarang kita tahu bahwa beda tiap suku setelah disisipkan adalah 3. Ini akan sangat membantu kita untuk menentukan pernyataan yang benar. Kita juga perlu ingat bahwa jumlah total suku dalam barisan setelah penyisipan akan bertambah. Setiap dua suku awal akan menjadi 7 suku (2 suku awal + 5 suku yang disisipkan). Kita akan bahas ini lebih detail di bagian selanjutnya.

Perhitungan Suku-Suku Baru & Analisis Pernyataan yang Benar

Setelah kita memahami bagaimana penyisipan suku mempengaruhi beda, saatnya kita menganalisis pernyataan-pernyataan yang diberikan. Kita akan fokus pada beda baru dan jumlah suku dalam barisan yang baru.

Ingat, beda baru (b') adalah 3. Ini berarti setiap suku dalam barisan baru akan bertambah 3 dari suku sebelumnya. Kita juga tahu bahwa setiap dua suku awal (U1 dan U2) akan menjadi 7 suku setelah penyisipan. Kita juga sudah tahu bahwa barisan awal memiliki 49 suku. Jadi, setelah penyisipan, jumlah suku akan bertambah.

Mari kita hitung jumlah total suku dalam barisan baru. Setiap dua suku awal menghasilkan 7 suku setelah penyisipan. Jadi, kita bisa menghitungnya sebagai berikut:

• Jumlah pasangan suku awal: (49 - 1) / 1 = 48
• Jumlah suku setelah penyisipan: 48 * 6 + 49 = 288 + 1 = 289

Perlu diingat bahwa setiap kali kita menyisipkan suku, barisan kita menjadi lebih panjang. Kita harus berhati-hati untuk tidak salah menghitung jumlah suku. Dengan perhitungan yang cermat dan pemahaman konsep yang kuat, kita dapat dengan mudah menentukan pernyataan yang benar.

Sekarang, mari kita tinjau kembali pernyataan-pernyataan yang diberikan dan berikan tanda centang (✔) untuk setiap pernyataan yang benar. Ingat, jawaban yang benar bisa lebih dari satu. Semangat!

Ringkasan Konsep Penting:

• Barisan Aritmetika: Urutan bilangan dengan selisih konstan (beda) antar suku.
• Beda (b): Selisih antara dua suku berurutan dalam barisan aritmetika.
• Rumus Suku ke-n (Un): Un = a + (n - 1) * b
• Penyisipan Suku: Memengaruhi beda (b') dan jumlah suku dalam barisan.
• Beda Baru (b'): b' = b / (k + 1)

Dengan memahami konsep-konsep ini, kita dapat menyelesaikan soal barisan aritmetika dengan mudah. Teruslah berlatih dan jangan takut untuk mencoba soal-soal yang lebih menantang. Selamat belajar!