Bocoran Soal Matematika: Persamaan Eksponensial

Oke, guys! Kali ini kita bakal bedah tuntas soal-soal matematika yang sering bikin pusing, yaitu persamaan eksponensial. Tenang aja, kita bakal bahasnya santai tapi serius, biar kalian semua paham sampai ke akar-akarnya. Persamaan eksponensial itu emang kadang kelihatan ribet, tapi kalau udah tau triknya, dijamin deh bakal jadi gampang banget. Yuk, langsung aja kita sikat soal pertama!

Soal 1: Mengupas Tuntas $5^{x^2+3x-4} = 25^{x+1}$

Nah, buat soal pertama ini, kita punya persamaan $5^{x^2+3x-4} = 25^{x+1}$. Keliatannya memang agak menakutkan ya dengan adanya pangkat yang kompleks gitu. Tapi, jangan panik dulu, guys! Kuncinya di sini adalah menyamakan basisnya. Ingat kan, kalau basisnya udah sama, pangkatnya bisa kita samain juga. Di sini, kita punya basis 5 dan 25. Kita tahu kalau $25 = 5^2$. Jadi, kita bisa ubah persamaan tadi jadi kayak gini:

$5^{x^2+3x-4} = (5^2)^{x+1}$

Nah, kalau ada pangkat dipangkatin lagi, itu artinya pangkatnya dikali. Jadi, $(5^2)^{x+1}$ jadi $5^{2(x+1)}$ atau $5^{2x+2}$. Sekarang, persamaannya jadi:

$5^{x^2+3x-4} = 5^{2x+2}$

Karena basisnya udah sama-sama 5, sekarang kita bisa fokus ke pangkatnya. Kita samain aja pangkatnya:

$x^2+3x-4 = 2x+2$

Langkah selanjutnya adalah mengumpulkan semua suku ke satu sisi biar jadi persamaan kuadrat. Kita pindahin semua yang ada di kanan ke kiri:

$x^2+3x-2x-4-2 = 0$

Jadi, kita dapat persamaan kuadrat:

$x^2+x-6 = 0$

Sekarang, tinggal kita cari himpunan penyelesaiannya. Kita bisa pakai cara faktorisasi. Kita cari dua angka yang kalau dikali hasilnya -6 dan kalau ditambah hasilnya 1. Angka berapa tuh? Yap, bener banget, yaitu 3 dan -2.

$(x+3)(x-2) = 0$

Dari sini, kita bisa dapetin nilai x:

$x+3 = 0 ightarrow x = -3$

$x-2 = 0 ightarrow x = 2$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-3, 2}. Gampang kan? Jawabannya yang D ya, guys!

Soal 2: Menaklukkan $3^{x^2-3x-10} = 7^{x^2-3x-10}$

Oke, lanjut ke soal nomor 6. Kali ini kita punya persamaan yang agak beda, yaitu $3^{x^2-3x-10} = 7^{x^2-3x-10}$. Sekilas, ini kelihatan lebih aneh lagi karena basisnya beda (3 dan 7) tapi pangkatnya sama persis. Nah, di sini ada sifat penting dalam eksponensial yang perlu kita ingat, guys. Kalau ada dua bilangan berpangkat yang nilainya sama, tapi basisnya beda, itu cuma bisa terjadi kalau pangkatnya itu sama dengan nol. Kenapa? Coba pikirin deh, angka berapapun kalau dipangkatin nol kan hasilnya jadi 1. Jadi, $3^0 = 1$ dan $7^0 = 1$. Keduanya sama kan?

Jadi, untuk persamaan ini, kuncinya adalah menyamakan pangkatnya dengan nol. Pangkatnya adalah $x^2-3x-10$. Kita bikin persamaan:

$x^2-3x-10 = 0$

Sama kayak soal sebelumnya, kita perlu cari himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat ini. Kita bisa pakai cara faktorisasi lagi. Kita cari dua angka yang kalau dikali hasilnya -10 dan kalau ditambah hasilnya -3. Coba dipikirin, angka berapa aja yang perkaliannya 10? Ada 1 dan 10, 2 dan 5. Nah, yang selisihnya 3 itu 2 dan 5. Biar hasilnya -3, berarti angka yang lebih besar harus negatif. Jadi, kita pakai -5 dan 2.

$(x-5)(x+2) = 0$

Nah, dari sini kita dapat nilai x-nya:

$x-5 = 0 ightarrow x = 5$

$x+2 = 0 ightarrow x = -2$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 5}. Kalau dilihat dari pilihan jawaban yang tersedia (walaupun di sini cuma ada sebagian), kayaknya ada yang cocok nih. Tapi, kalau kita lihat pilihan yang kamu berikan, ada A. {-5,2} dan D. {-5,3}. Hmm, ada yang beda ya? Mari kita cek ulang faktorisasi kita. Oh iya, guys, ternyata saya salah faktorisasi tadi. Seharusnya kita cari dua angka yang kalau dikali -10 dan ditambah -3 itu adalah -5 dan +2. Oke, mari kita perbaiki:

$(x-5)(x+2) = 0$

Ini berarti:

$x-5 = 0 ightarrow x = 5$

$x+2 = 0 ightarrow x = -2$

Himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 5}. Nah, sepertinya ada kesalahan ketik di pilihan jawaban yang kamu berikan ya, karena {-2, 5} tidak ada di pilihan A, B, C, D, E yang kamu tulis. Tapi, jika kita melihat pilihan A. {-5, 2}, ini juga tidak tepat karena seharusnya hasilnya -2 dan 5. Penting banget untuk selalu teliti ya, guys! Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan pada soal atau pilihan jawaban. Jika kita kembali ke soal, $3^{x^2-3x-10} = 7^{x^2-3x-10}$, maka pangkatnya harus nol: $x^2-3x-10=0$. Faktorisasi yang benar adalah $(x-5)(x+2)=0$, sehingga solusinya adalah $x=5$ atau $x=-2$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\{-2, 5\}$.

Mari kita coba telaah lagi pilihan jawaban yang kamu berikan: A. {-5,2}, D. {-5,3}. Jika salah satu dari faktornya adalah $(x+5)$ dan $(x-2)$, maka hasil perkaliannya adalah $x^2+3x-10$, yang berbeda dengan soal. Jika salah satu faktornya adalah $(x+5)$ dan $(x-3)$, maka hasil perkaliannya adalah $x^2+2x-15$, juga berbeda.

Kemungkinan besar, ada kesalahan penulisan pada soal atau pilihan jawaban. Namun, berdasarkan pemahaman matematis yang benar, himpunan penyelesaian untuk $x^2-3x-10=0$ adalah $\{-2, 5\}$.

Kenapa Sifat Ini Penting?

Sifat $a^f(x) = b^f(x) ightarrow f(x) = 0$ (dengan $a eq b$ dan $a, b > 0$, $a,b eq 1$) itu sangat krusial, guys. Ini adalah salah satu jalan pintas untuk menyelesaikan persamaan eksponensial yang punya bentuk serupa. Bayangin kalau kita nggak pake sifat ini, mungkin kita bakal bingung banget gimana cara nyelesaiinnya. Sifat ini berlaku karena satu-satunya cara agar dua bilangan pokok yang berbeda bisa menghasilkan nilai yang sama adalah jika keduanya dipangkatkan nol, karena setiap bilangan (kecuali nol itu sendiri) yang dipangkatkan nol hasilnya adalah satu.

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, pembahasan singkat tapi padat tentang dua soal persamaan eksponensial. Ingat ya, kunci utama dalam menyelesaikan soal-soal kayak gini adalah menguasai sifat-sifat eksponensial dan ketelitian dalam perhitungan, terutama saat faktorisasi persamaan kuadrat. Jangan lupa latihan soal yang banyak biar makin jago! Kalau ada soal lain yang mau dibahas, langsung aja komen di bawah ya! Semangat terus belajarnya, kalian pasti bisa!