Cara Jitu Menentukan Persamaan Garis Singgung: Panduan Lengkap

Oct 18, 2025 by ADMIN 63 views

Hai guys, kali ini kita akan membahas tuntas tentang cara menentukan persamaan garis singgung (PGS) pada lingkaran dan hiperbola. Materi ini penting banget buat kalian yang sedang belajar matematika, khususnya geometri analitik. Jangan khawatir, kita akan bahas dengan bahasa yang mudah dipahami, lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Yuk, simak baik-baik!

A. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik tertentu adalah konsep dasar yang sering muncul dalam soal-soal matematika. Untuk menentukan PGS lingkaran, kita perlu tahu beberapa hal penting. Pertama, kita harus tahu bentuk umum persamaan lingkaran. Kedua, kita perlu tahu bagaimana posisi titik terhadap lingkaran. Nah, mari kita bedah satu per satu.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran:

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: $x^2 + y^2 + 2Ax + 2By + C = 0$ . Dalam soal kita, persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 15 = 0$ . Dari sini, kita bisa tahu bahwa A = 1, B = -3, dan C = -15. Pusat lingkaran bisa kita cari dengan rumus (-A, -B), yang dalam kasus ini adalah (-1, 3). Jari-jari lingkaran (r) bisa kita cari dengan rumus $\sqrt{A^2 + B^2 - C}$ , yang hasilnya adalah $\sqrt{1^2 + (-3)^2 - (-15)} = \sqrt{25} = 5$ . Jadi, kita punya lingkaran dengan pusat (-1, 3) dan jari-jari 5.

Posisi Titik terhadap Lingkaran:

Sebelum menentukan PGS, kita perlu tahu apakah titik yang diberikan terletak pada lingkaran, di dalam lingkaran, atau di luar lingkaran. Dalam soal kita, titiknya adalah (-5, 6). Cara paling mudah untuk mengetahuinya adalah dengan mensubstitusikan koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran. Jika hasilnya 0, berarti titiknya terletak pada lingkaran. Jika hasilnya positif, berarti titiknya di luar lingkaran. Jika hasilnya negatif, berarti titiknya di dalam lingkaran.

Substitusikan (-5, 6) ke dalam persamaan $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 15 = 0$ :

$(-5)^2 + (6)^2 + 2(-5) - 6(6) - 15 = 25 + 36 - 10 - 36 - 15 = -10$

Karena hasilnya -10 (negatif), berarti titik (-5, 6) terletak di dalam lingkaran. Nah, karena titiknya di dalam lingkaran, kita tidak bisa langsung mencari PGS yang melalui titik tersebut. Tapi, kita bisa mencari persamaan garis singgung yang menyinggung lingkaran dan melalui titik (-5, 6). Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan konsep garis polar.

Garis Polar:

Garis polar adalah garis yang ditarik dari titik di luar lingkaran ke dua titik singgung pada lingkaran. Persamaan garis polar bisa dicari dengan cara mensubstitusikan koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran. Untuk lingkaran $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 15 = 0$ dan titik (-5, 6), persamaan garis polarnya adalah:

$x_1x + y_1y + A(x + x_1) + B(y + y_1) + C = 0$

Substitusikan:

$(-5)x + (6)y + 1(x - 5) - 3(y + 6) - 15 = 0$

$-5x + 6y + x - 5 - 3y - 18 - 15 = 0$

$-4x + 3y - 38 = 0$

Jadi, persamaan garis polarnya adalah $-4x + 3y - 38 = 0$ . Persamaan garis singgung yang melalui titik (-5, 6) bisa dicari dengan mencari garis yang tegak lurus dengan garis polar dan melalui titik (-5, 6). Gradien garis polar adalah $m_1 = \frac{4}{3}$ . Gradien garis singgung ( $m_2$ ) yang tegak lurus dengan garis polar adalah $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{4}$ .

Menentukan Persamaan Garis Singgung:

Kita bisa menggunakan persamaan garis $y - y_1 = m(x - x_1)$ untuk mencari persamaan garis singgung. Kita tahu $m = -\frac{3}{4}$ dan titik (-5, 6).

$y - 6 = -\frac{3}{4}(x + 5)$

$4(y - 6) = -3(x + 5)$

$4y - 24 = -3x - 15$

$3x + 4y - 9 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (-5, 6) adalah $3x + 4y - 9 = 0$ . Sekarang, kita sudah berhasil menemukan PGS lingkaran yang melalui titik tertentu. Mantap!

Rangkuman

Untuk menentukan PGS lingkaran yang melalui titik tertentu, langkah-langkahnya adalah:

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
Periksa posisi titik terhadap lingkaran.
Jika titik terletak di luar lingkaran, gunakan konsep garis polar.
Cari gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis polar.
Gunakan persamaan garis $y - y_1 = m(x - x_1)$ untuk menentukan PGS.

B. Persamaan Garis Singgung Hiperbola

Menentukan Persamaan Garis Singgung yang Tegak Lurus Garis Tertentu

Sekarang kita beralih ke hiperbola. Konsepnya sedikit berbeda dengan lingkaran, tapi tenang saja, kita akan bahas dengan detail. Dalam soal ini, kita diminta mencari PGS hiperbola yang tegak lurus dengan garis tertentu. Kuncinya adalah memahami konsep gradien dan hubungan antara garis singgung dan garis yang tegak lurus dengannya.

Bentuk Umum Persamaan Hiperbola:

Bentuk umum persamaan hiperbola adalah $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ , di mana (h, k) adalah pusat hiperbola. Persamaan hiperbola yang diberikan dalam soal adalah $\frac{(x-5)^2}{24} - \frac{(y+3)^2}{2} = 1$ . Dari sini, kita tahu bahwa pusat hiperbola adalah (5, -3), $a^2 = 24$ , dan $b^2 = 2$ . Selanjutnya, kita akan mencari PGS yang tegak lurus dengan garis $2x - y = 3$ .

Gradien Garis yang Diketahui:

Persamaan garis yang diketahui adalah $2x - y = 3$ . Kita bisa ubah menjadi bentuk $y = mx + c$ , sehingga menjadi $y = 2x - 3$ . Gradien garis ini adalah $m_1 = 2$ . Karena kita mencari PGS yang tegak lurus dengan garis ini, maka gradien PGS ( $m_2$ ) adalah $-1/m_1 = -1/2$ .

Persamaan Garis Singgung Hiperbola:

Untuk mencari PGS hiperbola, kita bisa menggunakan rumus:

$y - k = m(x - h) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$

Kita tahu (h, k) = (5, -3), $m = -\frac{1}{2}$ , $a^2 = 24$ , dan $b^2 = 2$ . Substitusikan nilai-nilai ini:

$y + 3 = -\frac{1}{2}(x - 5) \pm \sqrt{24(\frac{-1}{2})^2 - 2}$

$y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \pm \sqrt{24(\frac{1}{4}) - 2}$

$y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \pm \sqrt{6 - 2}$

$y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \pm \sqrt{4}$

$y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \pm 2$

Menghitung Dua Kemungkinan Persamaan Garis Singgung:

Kita akan mendapatkan dua persamaan garis singgung karena ada tanda $\pm$ dalam rumus. Mari kita hitung:

Kasus 1:

$y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} + 2$

$y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$

$2y + 6 = -x + 9$

$x + 2y - 3 = 0$

Kasus 2:

$y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} - 2$

$y + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$2y + 6 = -x + 1$

$x + 2y + 5 = 0$

Jadi, ada dua persamaan garis singgung yang memenuhi, yaitu $x + 2y - 3 = 0$ dan $x + 2y + 5 = 0$ . Keduanya tegak lurus dengan garis $2x - y = 3$ . Keren, kan?

Rangkuman

Untuk menentukan PGS hiperbola yang tegak lurus dengan garis tertentu, langkah-langkahnya adalah:

Tentukan pusat hiperbola (h, k), $a^2$ , dan $b^2$ dari persamaan hiperbola.
Tentukan gradien garis yang diketahui ( $m_1$ ).
Cari gradien PGS ( $m_2$ ) yang tegak lurus dengan garis yang diketahui ( $m_2 = -1/m_1$ ).
Gunakan rumus $y - k = m(x - h) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ untuk mencari PGS.
Hitung dua kemungkinan PGS.

Kesimpulan

Persamaan garis singgung adalah konsep penting dalam matematika, khususnya geometri analitik. Dengan memahami langkah-langkah dan rumus yang tepat, kalian bisa dengan mudah menentukan PGS pada lingkaran dan hiperbola. Ingatlah untuk selalu berlatih soal-soal agar semakin mahir. Semangat belajar, guys! Semoga artikel ini bermanfaat!