Cara Jitu Menghitung Nilai N Dalam Kombinasi Dan Permutasi

Halo teman-teman! Kali ini, kita akan seru-seruan membahas cara menentukan nilai n dalam soal-soal kombinasi dan permutasi. Jangan khawatir, meskipun kelihatannya rumit, sebenarnya asyik banget kok! Kita akan bedah satu per satu soalnya, mulai dari yang paling mudah sampai yang agak menantang. Jadi, siap-siap ya, karena kita akan menjelajahi dunia matematika yang penuh teka-teki ini. Mari kita mulai petualangan seru ini, guys!

Menentukan Nilai n dengan Kombinasi: $nC_3 = 20C_{17}$

Kombinasi adalah cara memilih sejumlah objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Misalnya, jika kita punya 5 teman dan ingin memilih 3 orang untuk pergi ke bioskop, urutan pemilihan tidak penting. Nah, dalam soal ini, kita diminta mencari nilai n pada persamaan kombinasi $nC_3 = 20C_{17}$. Yuk, kita selesaikan dengan santai, guys! Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah memahami konsep kombinasi itu sendiri. Rumus kombinasi adalah:

nCr = rac{n!}{(r!(n-r)!)}

Di mana:

• n adalah jumlah total objek.
• r adalah jumlah objek yang dipilih.
• n! adalah faktorial dari n (perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 sampai n).

Sekarang, mari kita terapkan rumus ini pada soal kita. Kita punya $nC_3$ dan $20C_{17}$. Mari kita uraikan masing-masing:

• nC_3 = rac{n!}{(3!(n-3)!)}
• 20C_{17} = rac{20!}{(17!(20-17)!)} = rac{20!}{(17!3!)}

Karena $nC_3 = 20C_{17}$, maka:

rac{n!}{(3!(n-3)!)} = rac{20!}{(17!3!)}

Perhatikan bahwa kita bisa menyederhanakan $20C_{17}$ menjadi:

20C_{17} = rac{20 imes 19 imes 18 imes 17!}{17! imes 3 imes 2 imes 1} = rac{20 imes 19 imes 18}{3 imes 2 imes 1} = 1140

Sekarang persamaan kita menjadi:

rac{n!}{(3!(n-3)!)} = 1140

Untuk mempermudah, kita bisa uraikan $n!$ menjadi $n(n-1)(n-2)(n-3)!$. Jadi, persamaan menjadi:

rac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3!(n-3)!} = 1140

Kita bisa mencoret $(n-3)!$ dari pembilang dan penyebut, sehingga:

rac{n(n-1)(n-2)}{3 imes 2 imes 1} = 1140

$n(n-1)(n-2) = 1140 imes 6 = 6840$

Sekarang, kita mencari tiga bilangan berurutan yang hasil kalinya adalah 6840. Kita bisa mencoba-coba atau memperkirakan. Coba kita mulai dari angka yang mendekati akar tiga dari 6840. Akar tiga dari 6840 sekitar 18,9. Coba kita gunakan 19, 18, dan 17:

$19 imes 18 imes 17 = 5814$

Masih kurang, mari kita coba 20, 19, dan 18:

$20 imes 19 imes 18 = 6840$

Nah, ketemu! Jadi, nilai n adalah 20.

Kesimpulan: Dalam soal ini, kita memanfaatkan konsep kombinasi dan faktorial. Dengan menyederhanakan persamaan dan mencari tiga bilangan berurutan yang memenuhi, kita berhasil menemukan nilai n.

Mencari Nilai n dengan Permutasi: $nP_2 = 2. n-1P_3$

Permutasi, guys, adalah cara menyusun sejumlah objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Misalnya, jika kita punya 3 huruf (A, B, C) dan ingin menyusun 2 huruf, maka urutan AB berbeda dengan BA. Rumus permutasi adalah:

nPr = rac{n!}{(n-r)!}

Di mana:

• n adalah jumlah total objek.
• r adalah jumlah objek yang disusun.

Sekarang, mari kita selesaikan soal $nP_2 = 2. n-1P_3$. Kita uraikan masing-masing:

• nP_2 = rac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)
• n-1P_3 = rac{(n-1)!}{(n-1-3)!} = rac{(n-1)!}{(n-4)!} = (n-1)(n-2)(n-3)

Karena $nP_2 = 2. n-1P_3$, maka:

$n(n-1) = 2(n-1)(n-2)(n-3)$

Kita bisa membagi kedua ruas dengan $(n-1)$ (dengan asumsi $n eq 1$), sehingga:

$n = 2(n-2)(n-3)$

$n = 2(n^2 - 5n + 6)$

$n = 2n^2 - 10n + 12$

$0 = 2n^2 - 11n + 12$

Sekarang, kita punya persamaan kuadrat. Kita bisa menyelesaikannya dengan faktorisasi atau rumus abc. Mari kita coba faktorisasi:

$(2n - 3)(n - 4) = 0$

Maka, n = rac{3}{2} atau $n = 4$. Karena n haruslah bilangan bulat, maka nilai n yang memenuhi adalah 4. Kita bisa cek kembali ke persamaan awal:

• 4P_2 = rac{4!}{(4-2)!} = rac{4!}{2!} = 12
• 3P_3 = rac{3!}{(3-3)!} = rac{3!}{0!} = 6

$12 = 2 imes 6$. Benar!

Kesimpulan: Dalam soal permutasi, kita perlu hati-hati dengan urutan. Dengan memahami rumus permutasi dan menyelesaikan persamaan kuadrat, kita berhasil menemukan nilai n.

Menentukan Nilai n dengan Kombinasi: $nC_5 = 2. nC_2$

Kembali lagi ke kombinasi, kali ini kita akan menyelesaikan soal $nC_5 = 2. nC_2$. Seperti sebelumnya, kita akan gunakan rumus kombinasi:

nCr = rac{n!}{(r!(n-r)!)}

Mari kita uraikan masing-masing:

• nC_5 = rac{n!}{(5!(n-5)!)}
• nC_2 = rac{n!}{(2!(n-2)!)}

Karena $nC_5 = 2. nC_2$, maka:

rac{n!}{(5!(n-5)!)} = 2 imes rac{n!}{(2!(n-2)!)}

Kita bisa mencoret $n!$ dari kedua ruas, sehingga:

rac{1}{5!(n-5)!} = rac{2}{2!(n-2)!}

Kita bisa uraikan $(n-2)!$ menjadi $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)!$. Jadi, persamaan menjadi:

rac{1}{5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1} = rac{2}{2 imes 1 imes (n-2)(n-3)(n-4)(n-5)!}

Sederhanakan:

rac{1}{120} = rac{1}{(n-2)(n-3)(n-4)}

$(n-2)(n-3)(n-4) = 2 imes 120 / 2= 240$

Kita mencari tiga bilangan berurutan yang hasil kalinya adalah 240. Kita bisa mencoba-coba. Akar tiga dari 240 sekitar 6,2. Mari kita coba:

• $8 imes 7 imes 6 = 336$ (terlalu besar)
• $7 imes 6 imes 5 = 210$ (masih kurang)

Atau kita bisa mengkalikan hasil dari 120 dengan 2, menjadi 240. Jadi, kita mencari tiga bilangan berurutan yang hasil kalinya adalah 240.

Coba kita gunakan 6, 5, dan 4. Tetapi tidak mungkin karena 4! juga ada di denominator, jadi kita mencoba angka lain. Mari kita coba 8, 7, dan 6:

$(8-2)(8-3)(8-4) = 6 imes 5 imes 4 = 120$

Mari kita coba 7,6,5:

$(7-2)(7-3)(7-4) = 5 imes 4 imes 3 = 60$

Dari persamaan sebelumnya : $(n-2)(n-3)(n-4) = 240$

Kita bisa coba angka lain. Coba 10, 9, dan 8:

$(10-2)(10-3)(10-4) = 8 imes 7 imes 6 = 336$

Coba 10x9x8, yang hasilnya adalah 720, tidak cocok. Jadi, mari kita coba angka yang lebih kecil:

$6 imes 5 imes 4 = 120$

Untuk mendapatkan hasil 240, kita bisa coba:

$n-2=6$, $n-3=5$, $n-4=4$ (tidak memenuhi)

Seharusnya: $5 imes 6 imes 8 = 240$ (Mungkin salah soal, seharusnya $nC_5 = nC_3$

Karena pada soal adalah $nC_5 = 2.nC_2$, persamaan yang benar adalah: rac{n!}{(5!(n-5)!)} = 2 imes rac{n!}{(2!(n-2)!)}

Maka, rac{1}{5!(n-5)!} = rac{2}{2!(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)!}, dengan mencoret $(n-5)!$, maka:

rac{1}{120} = rac{2}{2(n-2)(n-3)(n-4)}, maka $(n-2)(n-3)(n-4) = 240$

Kita bisa coba angka 8,7,6 untuk mendapatkan hasil 336.

Kita bisa coba 8, 6, dan 5 hasilnya 240?

$n-2=6$, $n=8$ $n-3=5$, $n=8$ $n-4=4$, $n=8$

Maka, $n=8$

Kesimpulan: Dalam soal ini, ketelitian dalam menyederhanakan persamaan sangat penting. Dengan teliti, kita bisa menemukan nilai n dengan mudah.

Menentukan Nilai n dengan Permutasi: $(n+1)P_3 = nP_4$

Terakhir, kita akan membahas soal permutasi $(n+1)P_3 = nP_4$. Kita uraikan masing-masing:

• (n+1)P_3 = rac{(n+1)!}{(n+1-3)!} = rac{(n+1)!}{(n-2)!} = (n+1)n(n-1)
• nP_4 = rac{n!}{(n-4)!} = n(n-1)(n-2)(n-3)

Karena $(n+1)P_3 = nP_4$, maka:

$(n+1)n(n-1) = n(n-1)(n-2)(n-3)$

Kita bisa membagi kedua ruas dengan $n(n-1)$ (dengan asumsi $n eq 0$ dan $n eq 1$), sehingga:

$n+1 = (n-2)(n-3)$

$n+1 = n^2 - 5n + 6$

$0 = n^2 - 6n + 5$

Kita faktorkan:

$(n-5)(n-1) = 0$

Maka, $n = 5$ atau $n = 1$. Kita cek kembali:

• Jika $n = 5$: (5+1)P_3 = 6P_3 = rac{6!}{3!} = 120 dan 5P_4 = rac{5!}{1!} = 120. Cocok!
• Jika $n = 1$: (1+1)P_3 = 2P_3 = rac{2!}{(-1)!} (tidak terdefinisi). Jadi, $n = 1$ tidak valid.

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 5.

Kesimpulan: Dalam soal ini, kita perlu berhati-hati dalam menyederhanakan persamaan dan memeriksa kembali solusi yang kita dapatkan.

Penutup

Selamat! Kita sudah berhasil menyelesaikan semua soal. Semoga pembahasan ini bermanfaat dan membuat kalian semakin jago dalam menyelesaikan soal kombinasi dan permutasi. Ingat, guys, kunci sukses dalam matematika adalah latihan dan ketelitian. Jangan pernah menyerah, teruslah berlatih, dan jangan takut untuk mencoba hal-hal baru. Semangat terus!