Cara Mencari G(x) Dalam Komposisi Fungsi

Halo, guys! Pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin pusing tujuh keliling, terutama pas lagi ngomongin soal komposisi fungsi? Nah, salah satu soal yang sering bikin jengkel itu kalau kita dikasih tahu fungsi f(x) dan hasil komposisinya, terus disuruh cari fungsi g(x)-nya. Bingung kan? Tenang aja, kali ini kita bakal bongkar tuntas gimana caranya nemuin g(x) ini biar nggak ada lagi kata "aduh, gimana nih?". Kita akan pakai contoh soal yang lumayan sering muncul nih, yaitu:

Diketahui ${f(x) = x^2 - 2x + 4}$ dan ((f n ext{ o } n g)(x) = 4x^2 + 3). Carilah ${g(x)}$!

Soal kayak gini emang kelihatan tricky, tapi kalau kita udah paham konsep dasarnya, dijamin bakal jadi gampang banget. Jadi, siapin catatan kalian, mari kita mulai petualangan matematika ini!

Memahami Konsep Dasar Komposisi Fungsi

Sebelum kita terjun langsung ke cara mencari ${g(x)}$, penting banget buat kita ngerti dulu apa sih komposisi fungsi itu. Komposisi fungsi, yang sering ditulis ((f n ext{ o } n g)(x)) atau ${f(g(x))}$, itu artinya kita memasukkan hasil dari satu fungsi ke dalam fungsi lain. Dalam kasus kita, ${f(g(x))}$ berarti nilai dari ${g(x)}$ itu yang akan kita substitusikan ke dalam variabel ${x}$ pada fungsi ${f(x)}$. Jadi, bayangin aja ${f}$ itu kayak mesin pemrosesan, dan ${g(x)}$ itu adalah bahan mentahnya. Mesin ${f}$ akan mengolah bahan mentah ${g(x)}$ ini jadi produk akhir, yaitu ((f n ext{ o } n g)(x)).

Dalam soal ini, kita dikasih tahu formula si mesin ${f(x)}$ adalah ${x^2 - 2x + 4}$. Nah, kalau kita memasukkan sesuatu ke dalam mesin ${f}$, misalnya kita masukin angka 5, maka hasilnya adalah ${f(5) = 5^2 - 2(5) + 4}$. Kalau yang kita masukin variabel ${y}$, jadinya ${f(y) = y^2 - 2y + 4}$. Nah, yang unik di sini adalah, yang kita masukin ke mesin ${f}$ itu bukan angka atau variabel biasa, melainkan sebuah fungsi lain, yaitu ${g(x)}$. Makanya, kalau kita lihat ${f(g(x))}$, itu artinya setiap ada ${x}$ di dalam ${f(x)}$, kita ganti pakai ${g(x)}$. Jadi, ${f(g(x)) = (g(x))^2 - 2(g(x)) + 4}$.

Di sisi lain, soal juga ngasih tahu hasil akhirnya, yaitu ((f n ext{ o } n g)(x) = 4x^2 + 3). Ini nih yang jadi kunci jawaban kita. Karena kita tahu bahwa ${f(g(x))}$ itu sama dengan ${(g(x))^2 - 2(g(x)) + 4}$, dan kita juga tahu ((f n ext{ o } n g)(x)) itu sama dengan ${4x^2 + 3}$, maka kita bisa menyamakan kedua persamaan ini. Yap, betul banget! Kita akan dapat persamaan:

${(g(x))^2 - 2(g(x)) + 4 = 4x^2 + 3}$.

Nah, dari persamaan inilah kita akan mencari bentuk ${g(x)}$ yang sebenarnya. Step-by-step-nya memang perlu ketelitian, tapi kalau udah ditunjukin, pasti kalian bakal ngerti.

Langkah-langkah Mencari g(x)

Oke, guys, sekarang kita masuk ke bagian yang paling penting, yaitu langkah-langkah step-by-step untuk mencari ${g(x)}$. Ingat, kita punya persamaan:

${(g(x))^2 - 2(g(x)) + 4 = 4x^2 + 3}$.

Perhatikan persamaan ini baik-baik. Di sisi kiri, kita punya bentuk yang mirip banget sama ${f(x)}$, tapi ${x}$-nya diganti sama ${g(x)}$. Nah, di sisi kanan, kita punya hasil komposisinya. Tujuan kita sekarang adalah mengisolasi ${g(x)}$ biar kita bisa tahu bentuknya.

Langkah 1: Susun Ulang Persamaan

Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyederhanakan persamaan tersebut. Kita pindahkan semua suku ke satu sisi, atau kita coba bikin bentuknya lebih rapi. Biar lebih gampang, kita coba susun ulang persamaan tadi:

${(g(x))^2 - 2(g(x)) + 4 - (4x^2 + 3) = 0}$

${(g(x))^2 - 2(g(x)) + 4 - 4x^2 - 3 = 0}$

${(g(x))^2 - 2(g(x)) + 1 - 4x^2 = 0}$

Nah, lihat! Di bagian ${(g(x))^2 - 2(g(x)) + 1}$ itu familiar banget kan? Itu adalah bentuk kuadrat sempurna dari ${(g(x) - 1)^2}$. Jadi, persamaan kita jadi:

${(g(x) - 1)^2 - 4x^2 = 0}$

Langkah 2: Menggunakan Konsep Selisih Dua Kuadrat

Sekarang kita punya bentuk ${(g(x) - 1)^2 - 4x^2 = 0}$. Perhatikan lagi bentuk ini. Kita punya sesuatu dikuadratkan dikurangi sesuatu yang lain dikuadratkan. Ingat rumus selisih dua kuadrat, yaitu ${a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}$? Nah, di sini kita bisa pakai rumus itu!

Kita bisa anggap ${a = (g(x) - 1)}$ dan ${b = 2x}$ (karena ${4x^2 = (2x)^2}$).

Jadi, kita bisa faktorkan persamaan tadi menjadi:

${((g(x) - 1) - 2x)((g(x) - 1) + 2x) = 0}$

Ini artinya, salah satu dari dua faktor ini harus bernilai nol agar hasil perkaliannya nol.

${ ext{Faktor 1:} n (g(x) - 1) - 2x = 0 }$

Atau

${ ext{Faktor 2:} n (g(x) - 1) + 2x = 0 }$

Langkah 3: Menyelesaikan untuk g(x)

Sekarang kita tinggal menyelesaikan masing-masing faktor untuk mencari ${g(x)}$. Kita ambil Faktor 1 dulu:

${g(x) - 1 - 2x = 0}$

Pindahkan suku-suku lain ke sisi kanan:

${g(x) = 1 + 2x}$

Sekarang kita ambil Faktor 2:

${g(x) - 1 + 2x = 0}$

Pindahkan suku-suku lain ke sisi kanan:

${g(x) = 1 - 2x}$

Jadi, kita punya dua kemungkinan solusi untuk ${g(x)}$, yaitu ${g(x) = 2x + 1}$ atau ${g(x) = -2x + 1}$. Biasanya, dalam soal seperti ini, kita perlu mengecek kedua kemungkinan ini untuk memastikan.

Verifikasi Solusi

Setelah kita mendapatkan dua kemungkinan jawaban, yaitu ${g(x) = 2x + 1}$ dan ${g(x) = -2x + 1}$, nggak ada salahnya kita lakukan verifikasi. Ini penting banget biar kita yakin kalau jawaban kita itu benar. Verifikasi ini ibarat ngecek ulang kerjaan kita.

Kita punya ${f(x) = x^2 - 2x + 4}$ dan ((f n ext{ o } n g)(x) = 4x^2 + 3).

Kasus 1: Misalkan ${g(x) = 2x + 1}$

Kita substitusikan ${g(x) = 2x + 1}$ ke dalam ${f(x)}$. Ingat, ${f(g(x)) = (g(x))^2 - 2(g(x)) + 4}$.

${f(2x+1) = (2x+1)^2 - 2(2x+1) + 4}$

Sekarang kita jabarkan:

${f(2x+1) = (4x^2 + 4x + 1) - (4x + 2) + 4}$

${f(2x+1) = 4x^2 + 4x + 1 - 4x - 2 + 4}$

Sederhanakan dengan menjumlahkan suku-suku yang sejenis:

${f(2x+1) = 4x^2 + (4x - 4x) + (1 - 2 + 4)}$

${f(2x+1) = 4x^2 + 0 + 3}$

${f(2x+1) = 4x^2 + 3}$

Voila! Hasilnya sama persis dengan ((f n ext{ o } n g)(x)) yang diberikan di soal. Jadi, ${g(x) = 2x + 1}$ adalah solusi yang valid.

Kasus 2: Misalkan ${g(x) = -2x + 1}$

Sekarang kita coba substitusikan ${g(x) = -2x + 1}$ ke dalam ${f(x)}$.

${f(-2x+1) = (-2x+1)^2 - 2(-2x+1) + 4}$

Jabarkan kuadratnya:

${f(-2x+1) = (4x^2 - 4x + 1) - (-4x + 2) + 4}$

Buka kurung:

${f(-2x+1) = 4x^2 - 4x + 1 + 4x - 2 + 4}$

Sederhanakan:

${f(-2x+1) = 4x^2 + (-4x + 4x) + (1 - 2 + 4)}$

${f(-2x+1) = 4x^2 + 0 + 3}$

${f(-2x+1) = 4x^2 + 3}$

Wow! Ternyata, ${g(x) = -2x + 1}$ juga memberikan hasil yang sama persis dengan ((f n ext{ o } n g)(x)). Ini menunjukkan bahwa kedua solusi yang kita temukan itu benar.

Dalam konteks soal matematika standar, biasanya jika ada dua solusi seperti ini, keduanya diterima kecuali ada syarat tambahan yang membatasi. Misalnya, jika diminta ${g(x)}$ yang bernilai positif untuk ${x > 0}$, baru kita bisa memilih salah satu. Tapi kalau tidak ada batasan, ya keduanya sah!

Kenapa Bisa Ada Dua Solusi?

Pertanyaan bagus nih, guys! Kenapa kok ${g(x)}$ bisa punya dua kemungkinan jawaban? Ini semua gara-gara bentuk kuadrat yang muncul di tengah-tengah proses penyelesaian kita. Ingat kan, kita sampai di tahap ${(g(x) - 1)^2 - 4x^2 = 0}$?

Nah, ketika kita punya bentuk ${A^2 = B^2}$, ini berarti ${A = B}$ atau ${A = -B}$. Dalam kasus kita, ${A = g(x) - 1}$ dan ${B = 2x}$. Makanya, kita dapat dua kemungkinan:

1. ${g(x) - 1 = 2x}$ ( ightarrow) ${g(x) = 2x + 1}$
2. ${g(x) - 1 = -2x}$ ( ightarrow) ${g(x) = -2x + 1}$

Fungsi ${f(x) = x^2 - 2x + 4}$ itu sendiri bersifat kuadratik, yang artinya dia itu simetris terhadap sumbu tertentu. Ketika kita memasukkan fungsi ${g(x)}$ yang linear, seperti ${2x+1}$ atau ${-2x+1}$, ke dalam fungsi kuadratik ${f(x)}$, hasil akhirnya bisa sama karena simetri ini. Bayangin aja grafik ${f(x)}$ kayak parabola. Nah, dua fungsi ${g(x)}$ yang berbeda ini, saat