Cara Mencari PQ, QP, P-1, Q-1, (PQ)-1, Q-1P-1, (QP)-1, P-1Q-1

Oke guys, kali ini kita akan membahas tuntas cara mencari hasil operasi matriks, khususnya perkalian dan invers. Soalnya, kita punya dua matriks, yaitu matriks P dan Q, dan kita diminta untuk mencari berbagai macam kombinasinya. Tenang, ini nggak sesulit yang dibayangkan kok! Kita akan pecah satu per satu biar makin jelas.

Soal Matriks yang Akan Kita Pecahkan

Sebelum kita mulai berhitung, kita tulis dulu soalnya biar nggak lupa:

Diketahui matriks:

P =

$$\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$$

Q =

$$\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$$

Kita diminta untuk menentukan:

a. PQ (Matriks P dikalikan Matriks Q) b. QP (Matriks Q dikalikan Matriks P) c. P-1 (Invers dari Matriks P) d. Q-1 (Invers dari Matriks Q) e. (PQ)-1 (Invers dari hasil perkalian Matriks P dan Q) f. Q-1P-1 (Invers Matriks Q dikalikan Invers Matriks P) g. (QP)-1 (Invers dari hasil perkalian Matriks Q dan P) h. P-1Q-1 (Invers Matriks P dikalikan Invers Matriks Q)

Wah, lumayan banyak ya? Tapi jangan khawatir, kita akan bahas satu per satu dengan santai.

a. Mencari PQ (Perkalian Matriks P dan Q)

Perkalian matriks adalah inti dari soal ini. Jadi, kita harus benar-benar paham konsepnya. Ingat, matriks bisa dikalikan kalau jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Nah, matriks P dan Q ini ukurannya 2x2, jadi pasti bisa dikalikan.

Caranya gimana? Begini:

$$\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$$

x

$$\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} (5*6 + 3*5) & (5*5 + 3*4) \\ (7*6 + 4*5) & (7*5 + 4*4) \end{pmatrix}$$

Artinya, elemen baris 1 kolom 1 dari matriks hasil adalah hasil penjumlahan perkalian elemen baris 1 matriks P dengan elemen kolom 1 matriks Q. Begitu juga untuk elemen lainnya. Sekarang kita hitung:

$$\begin{pmatrix} (30 + 15) & (25 + 12) \\ (42 + 20) & (35 + 16) \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} 45 & 37 \\ 62 & 51 \end{pmatrix}$$

Jadi, PQ =

$$\begin{pmatrix} 45 & 37 \\ 62 & 51 \end{pmatrix}$$

b. Mencari QP (Perkalian Matriks Q dan P)

Sekarang kita coba perkalian matriks dengan urutan yang dibalik, yaitu QP. Caranya sama seperti tadi:

$$\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$$

x

$$\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} (6*5 + 5*7) & (6*3 + 5*4) \\ (5*5 + 4*7) & (5*3 + 4*4) \end{pmatrix}$$

Kita hitung lagi:

$$\begin{pmatrix} (30 + 35) & (18 + 20) \\ (25 + 28) & (15 + 16) \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} 65 & 38 \\ 53 & 31 \end{pmatrix}$$

Lihat kan, guys? Hasil PQ dan QP berbeda. Ini nunjukkin kalau perkalian matriks itu nggak komutatif, alias urutan perkaliannya penting!

Jadi, QP =

$$\begin{pmatrix} 65 & 38 \\ 53 & 31 \end{pmatrix}$$

c. Mencari P-1 (Invers Matriks P)

Nah, sekarang kita masuk ke invers matriks. Invers itu kayak kebalikan dari matriks. Jadi, kalau matriks dikalikan inversnya, hasilnya adalah matriks identitas. Gimana cara nyarinya?

Untuk matriks 2x2, rumusnya gini:

Kalau kita punya matriks

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Inversnya adalah:

1/(ad - bc)

$$\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Bagian (ad - bc) ini disebut determinan. Jadi, pertama kita cari dulu determinan matriks P:

Determinan P = (5 * 4) - (3 * 7) = 20 - 21 = -1

Karena determinannya nggak nol, berarti matriks P punya invers. Sekarang kita pakai rumusnya:

P-1 = 1/(-1)

$$\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -7 & 5 \end{pmatrix}$$

P-1 =

$$\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7 & -5 \end{pmatrix}$$

d. Mencari Q-1 (Invers Matriks Q)

Caranya sama kayak tadi, guys! Kita cari dulu determinan matriks Q:

Determinan Q = (6 * 4) - (5 * 5) = 24 - 25 = -1

Sama kayak P, determinan Q juga nggak nol, jadi inversnya ada. Sekarang kita hitung inversnya:

Q-1 = 1/(-1)

$$\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$$

Q-1 =

$$\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}$$

e. Mencari (PQ)-1 (Invers dari Hasil Perkalian PQ)

Nah, untuk mencari invers dari hasil perkalian matriks, kita punya dua cara nih:

1. Kita udah punya hasil PQ di bagian a, jadi tinggal kita cari inversnya pakai rumus yang tadi.
2. Kita bisa pakai sifat invers: (PQ)-1 = Q-1P-1. Jadi, kita tinggal kalikan Q-1 dan P-1 yang udah kita cari.

Kita coba cara pertama dulu ya. Kita cari determinan dari PQ:

Determinan PQ = (45 * 51) - (37 * 62) = 2295 - 2294 = 1

Sekarang kita hitung inversnya:

(PQ)-1 = 1/1

$$\begin{pmatrix} 51 & -37 \\ -62 & 45 \end{pmatrix}$$

(PQ)-1 =

$$\begin{pmatrix} 51 & -37 \\ -62 & 45 \end{pmatrix}$$

f. Mencari Q-1P-1 (Invers Q dikalikan Invers P)

Nah, ini cara kedua untuk mencari (PQ)-1. Kita kalikan Q-1 dan P-1 yang udah kita dapat:

$$\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}$$

x

$$\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7 & -5 \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} (-4*-4 + 5*7) & (-4*3 + 5*-5) \\ (5*-4 + -6*7) & (5*3 + -6*-5) \end{pmatrix}$$

Kita hitung:

$$\begin{pmatrix} (16 + 35) & (-12 - 25) \\ (-20 - 42) & (15 + 30) \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} 51 & -37 \\ -62 & 45 \end{pmatrix}$$

Tuh kan, sama hasilnya! Ini membuktikan sifat invers matriks memang benar.

g. Mencari (QP)-1 (Invers dari Hasil Perkalian QP)

Sama kayak tadi, kita bisa pakai dua cara:

1. Cari invers dari hasil QP yang udah kita dapat.
2. Pakai sifat invers: (QP)-1 = P-1Q-1.

Kita coba cara pertama. Cari determinan QP:

Determinan QP = (65 * 31) - (38 * 53) = 2015 - 2014 = 1

Hitung inversnya:

(QP)-1 = 1/1

$$\begin{pmatrix} 31 & -38 \\ -53 & 65 \end{pmatrix}$$

(QP)-1 =

$$\begin{pmatrix} 31 & -38 \\ -53 & 65 \end{pmatrix}$$

h. Mencari P-1Q-1 (Invers P dikalikan Invers Q)

Ini cara kedua untuk mencari (QP)-1. Kita kalikan P-1 dan Q-1:

$$\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7 & -5 \end{pmatrix}$$

x

$$\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} (-4*-4 + 3*5) & (-4*5 + 3*-6) \\ (7*-4 + -5*5) & (7*5 + -5*-6) \end{pmatrix}$$

Kita hitung:

$$\begin{pmatrix} (16 + 15) & (-20 - 18) \\ (-28 - 25) & (35 + 30) \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} 31 & -38 \\ -53 & 65 \end{pmatrix}$$

Sama lagi kan hasilnya? Mantap!

Kesimpulan

Nah, guys, kita udah berhasil menyelesaikan semua soal tentang matriks ini. Kita udah belajar cara perkalian matriks dan mencari invers matriks, serta membuktikan beberapa sifat pentingnya. Ingat, perkalian matriks itu nggak komutatif, dan invers dari perkalian matriks bisa dicari dengan membalik urutan perkalian inversnya. Semoga penjelasan ini mudah dipahami ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat tanya.