Cara Menemukan Vektor X Dengan Panjang Dan Proyeksi

$$

Hai, teman-teman! Kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik, yaitu tentang vektor. Soalnya, kita punya vektor $\vec{x}$ dengan panjang tertentu dan informasi tentang sudutnya dengan vektor lain, serta proyeksinya. Tujuan kita adalah mencari tahu vektor $\vec{x}$ itu sendiri. Yuk, kita bedah soal ini secara detail!

Memahami Soal dan Konsep Dasar Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki magnitudo (panjang) dan arah. Dalam soal ini, kita diberikan beberapa informasi penting:

• Panjang Vektor $\vec{x}$: Diberikan $\sqrt{5}$. Ini berarti kita tahu seberapa panjang vektor $\vec{x}$.
• Vektor $\vec{y}$: Diberikan sebagai $(3, 4)$. Ini adalah vektor lain yang menjadi acuan.
• Sudut Lancip: Vektor $\vec{x}$ membentuk sudut lancip dengan $\vec{y}$. Artinya, sudut antara kedua vektor ini kurang dari 90 derajat. Ini penting karena akan memengaruhi perhitungan kita.
• Proyeksi Vektor $\vec{x}$ ke $\vec{y}$: Panjang proyeksi adalah 2. Proyeksi ini seperti bayangan vektor $\vec{x}$ pada vektor $\vec{y}$.

Konsep dasar yang perlu kita pahami adalah:

1. Rumus Proyeksi: Panjang proyeksi vektor $\vec{x}$ ke $\vec{y}$ dapat dihitung dengan rumus:

   $\text{Panjang Proyeksi} = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{||\vec{y}||}$

   di mana $\vec{x} \cdot \vec{y}$ adalah dot product (perkalian titik) antara $\vec{x}$ dan $\vec{y}$, dan $||\vec{y}||$ adalah magnitudo (panjang) dari vektor $\vec{y}$.

2. Dot Product: Untuk dua vektor, misalnya $\vec{x} = (x_1, x_2)$ dan $\vec{y} = (y_1, y_2)$, dot product-nya adalah:

   $\vec{x} \cdot \vec{y} = x_1y_1 + x_2y_2$

3. Magnitudo Vektor: Magnitudo (panjang) vektor $\vec{y} = (y_1, y_2)$ adalah:

   $||\vec{y}|| = \sqrt{y_1^2 + y_2^2}$

Dengan memahami konsep-konsep ini, kita siap untuk memecahkan soalnya! So, let's go! Mari kita mulai dengan menghitung beberapa nilai yang sudah bisa kita dapatkan.

Menghitung Magnitudo Vektor $\vec{y}$ dan Menggunakan Informasi Proyeksi

Langkah pertama adalah menghitung magnitudo (panjang) dari vektor $\vec{y}$:

$\vec{y} = (3, 4)$

$||\vec{y}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Selanjutnya, kita gunakan informasi tentang proyeksi. Kita tahu bahwa panjang proyeksi $\vec{x}$ ke $\vec{y}$ adalah 2. Dengan menggunakan rumus proyeksi:

$\text{Panjang Proyeksi} = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{||\vec{y}||}$

Kita bisa substitusikan nilai yang kita ketahui:

$2 = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{5}$

Dari sini, kita bisa mencari nilai dot product $\vec{x} \cdot \vec{y}$:

$\vec{x} \cdot \vec{y} = 2 \times 5 = 10$

Nah, sekarang kita punya dua informasi penting:

1. $\vec{x} \cdot \vec{y} = 10$
2. $||\vec{x}|| = \sqrt{5}$

Informasi ini akan sangat berguna untuk menemukan komponen-komponen dari vektor $\vec{x}$. Keep in mind, kita juga tahu bahwa sudut antara $\vec{x}$ dan $\vec{y}$ adalah lancip. Ini penting untuk memastikan solusi kita sesuai.

Menemukan Komponen Vektor $\vec{x}$ dan Menyelesaikan Soal

Misalkan vektor $\vec{x} = (x_1, x_2)$. Kita bisa menuliskan informasi yang kita punya dalam bentuk persamaan:

1. Dot Product: $\vec{x} \cdot \vec{y} = x_1(3) + x_2(4) = 10$ Ini menyederhanakan menjadi: $3x_1 + 4x_2 = 10$

2. Magnitudo: $||\vec{x}|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{5}$ Ini berarti: $x_1^2 + x_2^2 = 5$

Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel ($x_1$ dan $x_2$). Kita bisa menyelesaikan sistem persamaan ini untuk menemukan nilai $x_1$ dan $x_2$.

Mari kita selesaikan persamaan pertama untuk $x_1$:

$3x_1 = 10 - 4x_2$

$x_1 = \frac{10 - 4x_2}{3}$

Substitusikan nilai $x_1$ ini ke dalam persamaan kedua:

$\left(\frac{10 - 4x_2}{3}\right)^2 + x_2^2 = 5$

$\frac{100 - 80x_2 + 16x_2^2}{9} + x_2^2 = 5$

Kalikan seluruh persamaan dengan 9 untuk menghilangkan pecahan:

$100 - 80x_2 + 16x_2^2 + 9x_2^2 = 45$

Sederhanakan:

$25x_2^2 - 80x_2 + 55 = 0$

Bagi seluruh persamaan dengan 5:

$5x_2^2 - 16x_2 + 11 = 0$

Sekarang kita punya persamaan kuadrat. Kita bisa menyelesaikannya menggunakan rumus kuadrat:

$x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

di mana $a = 5$, $b = -16$, dan $c = 11$.

$x_2 = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(5)(11)}}{2(5)}$

$x_2 = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 220}}{10}$

$x_2 = \frac{16 \pm \sqrt{36}}{10}$

$x_2 = \frac{16 \pm 6}{10}$

Jadi, kita punya dua kemungkinan nilai untuk $x_2$:

1. $x_2 = \frac{16 + 6}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$
2. $x_2 = \frac{16 - 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Sekarang kita cari nilai $x_1$ untuk masing-masing nilai $x_2$:

1. Jika $x_2 = \frac{11}{5}$: $x_1 = \frac{10 - 4(\frac{11}{5})}{3} = \frac{10 - \frac{44}{5}}{3} = \frac{\frac{50 - 44}{5}}{3} = \frac{\frac{6}{5}}{3} = \frac{2}{5}$
2. Jika $x_2 = 1$: $x_1 = \frac{10 - 4(1)}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Jadi, kita punya dua kemungkinan vektor $\vec{x}$:

1. $\vec{x} = (\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$
2. $\vec{x} = (2, 1)$

Voila! Kita sudah menemukan dua kemungkinan vektor $\vec{x}$ yang memenuhi semua kondisi soal.

Memeriksa Jawaban dan Kesimpulan

Untuk memastikan jawaban kita benar, mari kita periksa:

1. Panjang Vektor: Pastikan panjang kedua vektor $\vec{x}$ adalah $\sqrt{5}$.

   • Untuk $(\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$: $||\vec{x}|| = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (\frac{11}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{121}{25}} = \sqrt{\frac{125}{25}} = \sqrt{5}$
   • Untuk $(2, 1)$: $||\vec{x}|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

   Keduanya memenuhi.

2. Dot Product: Pastikan $\vec{x} \cdot \vec{y} = 10$.

   • Untuk $(\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$: $(\frac{2}{5} \times 3) + (\frac{11}{5} \times 4) = \frac{6}{5} + \frac{44}{5} = \frac{50}{5} = 10$
   • Untuk $(2, 1)$: $(2 \times 3) + (1 \times 4) = 6 + 4 = 10$

   Keduanya juga memenuhi.

3. Sudut Lancip: Pastikan sudut antara $\vec{x}$ dan $\vec{y}$ adalah lancip. Kita bisa memeriksa ini dengan melihat tanda dari dot product. Karena dot product positif, sudutnya memang lancip.

Kesimpulan: Jadi, vektor $\vec{x}$ yang memenuhi kondisi soal adalah $(\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$ atau $(2, 1)$. Great job, guys! Kita sudah berhasil memecahkan soal ini dengan teliti. Ingat, pemahaman konsep dasar dan ketelitian dalam perhitungan adalah kunci sukses dalam menyelesaikan soal matematika. Teruslah berlatih, ya!

Semoga panduan ini bermanfaat. Good luck untuk belajar dan mengerjakan soal-soal matematika lainnya! Sampai jumpa di pembahasan soal berikutnya! Jangan ragu untuk bertanya jika ada yang kurang jelas, ya!