Cara Menentukan Invers Fungsi Komposisi: (fog)⁻¹(x) & (gof)⁻¹(x)

by ADMIN 65 views
Iklan Headers

Guys, pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin mikir keras? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas cara menentukan invers dari fungsi komposisi. Buat kalian yang lagi belajar atau pengen refresh materi, yuk simak penjelasan berikut ini! Kita akan fokus pada dua bentuk invers fungsi komposisi, yaitu (fog)⁻¹(x) dan (gof)⁻¹(x), dengan contoh soal yang sering muncul. Dijamin, setelah baca artikel ini, kalian bakal lebih pede deh ngerjain soal-soal serupa.

Memahami Konsep Dasar Fungsi Komposisi dan Invers

Sebelum kita masuk ke contoh soal dan cara penyelesaiannya, penting banget buat kita memahami konsep dasar dari fungsi komposisi dan invers fungsi. Ini adalah pondasi utama yang bakal membantu kalian dalam memahami langkah-langkah selanjutnya. Jadi, jangan sampai kelewatan ya!

Apa itu Fungsi Komposisi?

Fungsi komposisi itu sederhananya adalah penggabungan dua fungsi atau lebih. Jadi, hasil dari satu fungsi akan menjadi input untuk fungsi lainnya. Misalkan kita punya dua fungsi, yaitu f(x) dan g(x). Fungsi komposisi (fog)(x) artinya kita memasukkan fungsi g(x) ke dalam fungsi f(x). Secara matematis, bisa ditulis seperti ini:

(fog)(x) = f(g(x))

Begitu juga dengan (gof)(x), yang berarti kita memasukkan fungsi f(x) ke dalam fungsi g(x):

(gof)(x) = g(f(x))

Penting untuk diingat, urutan fungsi dalam komposisi itu penting banget ya. (fog)(x) dan (gof)(x) umumnya akan menghasilkan fungsi yang berbeda. Jadi, jangan sampai ketuker!

Apa itu Invers Fungsi?

Invers fungsi itu bisa dibilang kebalikan dari suatu fungsi. Jadi, kalau kita punya fungsi f(x), inversnya, yang ditulis sebagai f⁻¹(x), akan "membatalkan" efek dari fungsi f(x). Maksudnya gimana? Gampangnya gini, kalau kita memasukkan suatu nilai x ke dalam fungsi f(x) dan mendapatkan hasil y, maka kalau kita memasukkan y ke dalam fungsi inversnya f⁻¹(x), kita akan mendapatkan kembali nilai x.

Secara matematis, hubungan antara fungsi dan inversnya bisa ditulis seperti ini:

f⁻¹(f(x)) = x

f(f⁻¹(x)) = x

Nah, sekarang kita udah paham nih apa itu fungsi komposisi dan invers fungsi. Selanjutnya, kita akan bahas gimana cara mencari invers dari fungsi komposisi.

Cara Menentukan Invers Fungsi Komposisi

Oke guys, sekarang kita masuk ke inti dari pembahasan kita, yaitu cara menentukan invers dari fungsi komposisi. Ada dua cara utama yang bisa kita gunakan, yaitu:

  1. Mencari fungsi komposisinya terlebih dahulu, baru kemudian mencari inversnya.
  2. Mencari invers masing-masing fungsi terlebih dahulu, baru kemudian melakukan komposisi dengan urutan yang dibalik.

Kita akan bahas kedua cara ini satu per satu ya, biar kalian makin paham.

Cara 1: Mencari Fungsi Komposisi Dulu, Baru Inversnya

Cara ini bisa dibilang cara yang paling intuitif. Jadi, langkah-langkahnya adalah:

  1. Tentukan fungsi komposisinya (fog)(x) atau (gof)(x) sesuai dengan soal.
  2. Misalkan fungsi komposisi tersebut dengan variabel baru, misalnya y = (fog)(x) atau y = (gof)(x).
  3. Tukar variabel x dan y.
  4. Selesaikan persamaan untuk y. Hasilnya adalah invers dari fungsi komposisi tersebut, yaitu (fog)⁻¹(x) atau (gof)⁻¹(x).

Cara 2: Mencari Invers Masing-Masing Fungsi Dulu, Baru Komposisi

Cara kedua ini menggunakan sifat invers dari fungsi komposisi. Sifatnya adalah sebagai berikut:

(fog)⁻¹(x) = (g⁻¹ o f⁻¹)(x)

(gof)⁻¹(x) = (f⁻¹ o g⁻¹)(x)

Jadi, langkah-langkahnya adalah:

  1. Cari invers dari masing-masing fungsi, yaitu f⁻¹(x) dan g⁻¹(x).
  2. Lakukan komposisi invers fungsi dengan urutan yang dibalik. Ingat ya, (fog)⁻¹(x) itu sama dengan (g⁻¹ o f⁻¹)(x), bukan (f⁻¹ o g⁻¹)(x). Begitu juga sebaliknya untuk (gof)⁻¹(x).

Contoh Soal dan Pembahasan

Nah, biar makin jelas, sekarang kita coba terapkan kedua cara tadi ke dalam contoh soal ya. Soalnya seperti ini:

Diketahui f⁻¹(x) = 2x/(x-1) dan g(x) = 1-3x. Tentukan:

a. (fog)⁻¹(x) b. (gof)⁻¹(x)

Pembahasan Bagian a: (fog)⁻¹(x)

Kita akan gunakan kedua cara ya, biar kalian bisa bandingkan:

Cara 1: Cari (fog)(x) Dulu

  1. Pertama, kita cari dulu fungsi f(x). Karena yang diketahui adalah f⁻¹(x), kita perlu mencari inversnya lagi. Misalkan y = f⁻¹(x) = 2x/(x-1). Tukar x dan y, jadi x = 2y/(y-1). Sekarang kita selesaikan untuk y: x(y-1) = 2y xy - x = 2y xy - 2y = x y(x-2) = x y = x/(x-2)

Jadi, f(x) = x/(x-2).

  1. Selanjutnya, kita cari (fog)(x) = f(g(x)). Kita masukkan g(x) = 1-3x ke dalam f(x): (fog)(x) = f(1-3x) = (1-3x)/((1-3x)-2) = (1-3x)/(-1-3x)

  2. Sekarang kita cari inversnya. Misalkan y = (fog)(x) = (1-3x)/(-1-3x). Tukar x dan y, jadi x = (1-3y)/(-1-3y). Kita selesaikan untuk y: x(-1-3y) = 1-3y -x - 3xy = 1 - 3y 3y - 3xy = 1 + x y(3-3x) = 1 + x y = (1+x)/(3-3x)

Jadi, (fog)⁻¹(x) = (1+x)/(3-3x).

Cara 2: Cari g⁻¹(x) dan f⁻¹(x), Lalu Komposisi

  1. Kita sudah punya f⁻¹(x) = 2x/(x-1). Sekarang kita cari g⁻¹(x). Misalkan y = g(x) = 1-3x. Tukar x dan y, jadi x = 1-3y. Kita selesaikan untuk y: 3y = 1 - x y = (1-x)/3

Jadi, g⁻¹(x) = (1-x)/3.

  1. Sekarang kita cari (g⁻¹ o f⁻¹)(x) = g⁻¹(f⁻¹(x)). Kita masukkan f⁻¹(x) = 2x/(x-1) ke dalam g⁻¹(x): (g⁻¹ o f⁻¹)(x) = g⁻¹(2x/(x-1)) = (1 - (2x/(x-1)))/3 = ((x-1-2x)/(x-1))/3 = (-x-1)/(3(x-1)) = -(x+1)/(3(x-1)) = (1+x)/(3-3x)

Jadi, (fog)⁻¹(x) = (1+x)/(3-3x).

Terlihat kan, hasilnya sama antara cara pertama dan cara kedua? Kalian bisa pilih cara mana yang paling kalian kuasai.

Pembahasan Bagian b: (gof)⁻¹(x)

Kita juga akan gunakan kedua cara:

Cara 1: Cari (gof)(x) Dulu

  1. Kita sudah punya f(x) = x/(x-2). Sekarang kita cari (gof)(x) = g(f(x)). Kita masukkan f(x) ke dalam g(x): (gof)(x) = g(x/(x-2)) = 1 - 3(x/(x-2)) = (x-2-3x)/(x-2) = (-2x-2)/(x-2)

  2. Sekarang kita cari inversnya. Misalkan y = (gof)(x) = (-2x-2)/(x-2). Tukar x dan y, jadi x = (-2y-2)/(y-2). Kita selesaikan untuk y: x(y-2) = -2y-2 xy - 2x = -2y - 2 xy + 2y = 2x - 2 y(x+2) = 2x - 2 y = (2x-2)/(x+2)

Jadi, (gof)⁻¹(x) = (2x-2)/(x+2).

Cara 2: Cari f⁻¹(x) dan g⁻¹(x), Lalu Komposisi

  1. Kita sudah punya f⁻¹(x) = 2x/(x-1) dan g⁻¹(x) = (1-x)/3.

  2. Sekarang kita cari (f⁻¹ o g⁻¹)(x) = f⁻¹(g⁻¹(x)). Kita masukkan g⁻¹(x) = (1-x)/3 ke dalam f⁻¹(x): (f⁻¹ o g⁻¹)(x) = f⁻¹((1-x)/3) = 2((1-x)/3)/(((1-x)/3)-1) = (2(1-x)/3)/((1-x-3)/3) = (2-2x)/(1-x-3) = (2-2x)/(-x-2) = (2x-2)/(x+2)

Jadi, (gof)⁻¹(x) = (2x-2)/(x+2).

Sama lagi kan hasilnya? Mantap!

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Invers Fungsi Komposisi

Biar kalian makin jago ngerjain soal-soal invers fungsi komposisi, ada beberapa tips dan trik yang bisa kalian terapkan:

  • Pahami konsep dasar: Pastikan kalian benar-benar paham apa itu fungsi komposisi dan invers fungsi. Ini adalah kunci utama untuk bisa menyelesaikan soal dengan benar.
  • Teliti dalam perhitungan: Hindari kesalahan perhitungan, terutama saat menyederhanakan pecahan atau menyelesaikan persamaan. Satu kesalahan kecil bisa bikin hasil akhirnya salah semua.
  • Gunakan kedua cara: Kalau ada waktu, coba kerjakan soal dengan kedua cara. Ini bisa jadi cara untuk mengecek jawaban kalian.
  • Latihan soal: Semakin banyak kalian latihan soal, semakin terbiasa kalian dengan berbagai jenis soal dan cara penyelesaiannya.

Kesimpulan

Menentukan invers fungsi komposisi memang butuh pemahaman konsep dan ketelitian. Tapi, dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasainya. Ingat, ada dua cara utama yang bisa digunakan, yaitu mencari fungsi komposisi dulu baru inversnya, atau mencari invers masing-masing fungsi dulu baru komposisi. Pilih cara yang paling kalian pahami dan jangan lupa untuk selalu teliti dalam perhitungan. Semoga artikel ini bermanfaat ya, guys! Selamat belajar dan semoga sukses!