Cara Menentukan Matriks B Jika Diketahui Matriks A Dan C

by ADMIN 57 views
Iklan Headers

Hay guys! Kali ini kita akan membahas soal matematika tentang matriks. Soal ini cukup menarik karena kita diminta untuk mencari matriks B jika diketahui matriks A dan C, serta hubungan antara invers matriks-matriks tersebut. Biar lebih jelas, yuk langsung aja kita bahas soalnya!

Soal Lengkap

Diketahui matriks A=(2334)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} dan matriks C=(2−15−3)C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}. Jika C−1=A−1⋅(B+C)−1C^{-1} = A^{-1} \cdot (B+C)^{-1}, maka matriks BB adalah...

Soal ini kelihatan rumit ya? Tapi tenang, guys! Kita akan pecahkan langkah demi langkah biar kalian semua paham.

Memahami Konsep Dasar Matriks

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, ada baiknya kita review sedikit tentang konsep dasar matriks, terutama tentang invers matriks dan operasi perkalian matriks. Ini penting banget buat memahami langkah-langkah selanjutnya.

Apa itu Matriks?

Matriks itu sederhananya adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Bentuknya kayak kotak gitu, dan setiap bilangan di dalamnya disebut elemen matriks. Contohnya, matriks A di soal kita ini punya 2 baris dan 2 kolom, jadi disebut matriks 2x2.

Invers Matriks

Nah, invers matriks ini agak spesial. Kalau kita punya matriks A, inversnya (ditulis A⁻¹) itu adalah matriks yang kalau dikalikan dengan A hasilnya adalah matriks identitas (matriks yang diagonal utamanya 1, elemen lainnya 0). Gampangnya, invers itu kayak kebalikan dalam perkalian bilangan biasa. Misalnya, kebalikan dari 2 adalah ½, karena 2 * ½ = 1. Begitu juga dengan matriks, A * A⁻¹ = Matriks Identitas.

Operasi Perkalian Matriks

Perkalian matriks ini beda dengan perkalian bilangan biasa. Ada aturan khususnya. Kita kalikan baris matriks pertama dengan kolom matriks kedua. Hasilnya dijumlahkan, dan itu jadi elemen matriks hasil perkalian. Kalau kalian lupa caranya, coba refresh lagi ya materi tentang perkalian matriks.

Langkah-Langkah Penyelesaian

Sekarang kita masuk ke inti dari pembahasan kita, yaitu mencari matriks B. Kita akan gunakan persamaan yang diberikan di soal, yaitu C−1=A−1⋅(B+C)−1C^{-1} = A^{-1} \cdot (B+C)^{-1}, dan kita akan manipulasi persamaan ini sampai kita dapat bentuk B = ...

1. Manipulasi Persamaan

Persamaan awal kita adalah:

C−1=A−1⋅(B+C)−1C^{-1} = A^{-1} \cdot (B+C)^{-1}

Untuk menghilangkan A−1A^{-1} di ruas kanan, kita bisa kalikan kedua ruas dari kiri dengan matriks A:

A⋅C−1=A⋅A−1⋅(B+C)−1A \cdot C^{-1} = A \cdot A^{-1} \cdot (B+C)^{-1}

Ingat, A⋅A−1A \cdot A^{-1} adalah matriks identitas (I), jadi persamaan kita menjadi:

A⋅C−1=I⋅(B+C)−1A \cdot C^{-1} = I \cdot (B+C)^{-1}

Karena matriks identitas dikalikan matriks apapun hasilnya matriks itu sendiri, maka:

A⋅C−1=(B+C)−1A \cdot C^{-1} = (B+C)^{-1}

Nah, sekarang kita punya (B+C)−1(B+C)^{-1}. Untuk mendapatkan (B+C)(B+C), kita perlu mencari invers dari kedua ruas:

(A⋅C−1)−1=B+C(A \cdot C^{-1})^{-1} = B + C

Ingat sifat invers matriks: (X⋅Y)−1=Y−1⋅X−1(X \cdot Y)^{-1} = Y^{-1} \cdot X^{-1}. Jadi, ruas kiri bisa kita ubah:

(C−1)−1⋅A−1=B+C(C^{-1})^{-1} \cdot A^{-1} = B + C

Invers dari invers suatu matriks adalah matriks itu sendiri, jadi (C−1)−1=C(C^{-1})^{-1} = C. Persamaan kita sekarang:

C⋅A−1=B+CC \cdot A^{-1} = B + C

2. Isolasi Matriks B

Untuk mendapatkan matriks B, kita tinggal kurangkan kedua ruas dengan matriks C:

C⋅A−1−C=BC \cdot A^{-1} - C = B

Atau bisa kita tulis:

B=C⋅A−1−CB = C \cdot A^{-1} - C

3. Hitung Invers Matriks A

Sekarang kita perlu mencari invers dari matriks A. Matriks A kita adalah A=(2334)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. Untuk mencari invers matriks 2x2, kita bisa gunakan rumus:

Jika A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, maka A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Dalam kasus ini, a = 2, b = 3, c = 3, dan d = 4. Jadi, determinan A (ad-bc) adalah (24) - (33) = 8 - 9 = -1.

Maka, invers matriks A adalah:

A−1=1−1(4−3−32)=(−433−2)A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

4. Hitung C⋅A−1C \cdot A^{-1}

Selanjutnya, kita hitung hasil perkalian matriks C dengan invers matriks A:

C=(2−15−3)C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} dan A−1=(−433−2)A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

C⋅A−1=(2−15−3)⋅(−433−2)C \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

=((2∗−4)+(−1∗3)(2∗3)+(−1∗−2)(5∗−4)+(−3∗3)(5∗3)+(−3∗−2))= \begin{pmatrix} (2*-4) + (-1*3) & (2*3) + (-1*-2) \\ (5*-4) + (-3*3) & (5*3) + (-3*-2) \end{pmatrix}

=(−8−36+2−20−915+6)= \begin{pmatrix} -8 - 3 & 6 + 2 \\ -20 - 9 & 15 + 6 \end{pmatrix}

=(−118−2921)= \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ -29 & 21 \end{pmatrix}

5. Hitung Matriks B

Terakhir, kita hitung matriks B dengan mengurangkan hasil perkalian C⋅A−1C \cdot A^{-1} dengan matriks C:

B=C⋅A−1−C=(−118−2921)−(2−15−3)B = C \cdot A^{-1} - C = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ -29 & 21 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}

=(−11−28−(−1)−29−521−(−3))= \begin{pmatrix} -11 - 2 & 8 - (-1) \\ -29 - 5 & 21 - (-3) \end{pmatrix}

=(−139−3424)= \begin{pmatrix} -13 & 9 \\ -34 & 24 \end{pmatrix}

Jadi, matriks B adalah (−139−3424)\begin{pmatrix} -13 & 9 \\ -34 & 24 \end{pmatrix}.

Kesimpulan

Nah, itu dia guys cara mencari matriks B jika diketahui matriks A dan C serta hubungan inversnya. Kuncinya adalah memahami konsep dasar matriks, terutama invers dan perkalian matriks, serta teliti dalam melakukan perhitungan. Soal matriks memang kadang bikin pusing, tapi kalau kita kerjakan langkah demi langkah, pasti bisa kok!

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Semangat terus belajarnya!