Cara Menghitung Logaritma: Contoh Soal Dan Pembahasan

by ADMIN 54 views

Hai guys! Kalian lagi belajar tentang logaritma? Nah, logaritma ini memang salah satu materi matematika yang penting banget, lho. Biar kalian makin jago, yuk kita bahas contoh soal dan cara menghitung logaritma yang sering muncul. Dijamin, setelah baca artikel ini, soal logaritma bukan lagi jadi momok!

1. Menentukan Nilai Logaritma

Logaritma, guys, sederhananya adalah kebalikan dari eksponen atau perpangkatan. Jadi, kalau kita punya persamaan ab=ca^b = c, bentuk logaritmanya adalah alog⁡c=b{}^a\log c = b. Di sini, 'a' disebut basis, 'c' adalah numerus (bilangan yang dicari logaritmanya), dan 'b' adalah hasil logaritmanya. Memahami konsep dasar ini penting banget sebelum kita lanjut ke soal.

a. 3log⁡729{}^3\log 729

Oke, pertama-tama, kita harus memahami apa sih arti dari 3log⁡729{}^3\log 729? Ini artinya, kita mencari pangkat berapa yang harus diberikan ke angka 3 supaya hasilnya 729. Nah, untuk menyelesaikannya, kita bisa coba-coba atau faktorkan 729.

Kita coba faktorkan 729:

  • 729 : 3 = 243
  • 243 : 3 = 81
  • 81 : 3 = 27
  • 27 : 3 = 9
  • 9 : 3 = 3
  • 3 : 3 = 1

Ternyata, 729 bisa kita tulis sebagai 363^6. Jadi, 3log⁡729=6{}^3\log 729 = 6 karena 36=7293^6 = 729. Gimana, guys? Mudah kan?

b. 5log⁡255{}^5\log 25\sqrt{5}

Soal yang ini sedikit lebih menantang nih, tapi tenang aja, kita pecahkan bareng-bareng! Di sini, kita punya numerusnya dalam bentuk perkalian dan akar. Ingat, kita harus ubah semuanya ke bentuk pangkat dulu.

Pertama, kita ubah 25525\sqrt{5} ke bentuk pangkat. Kita tahu kalau 25 itu 525^2 dan 5\sqrt{5} itu 5125^{\frac{1}{2}}. Jadi, 255=52⋅51225\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}.

Nah, kalau ada perkalian dengan basis yang sama, pangkatnya tinggal kita jumlahkan. Jadi, 52⋅512=52+12=5525^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}.

Sekarang, kita punya 5log⁡552{}^5\log 5^{\frac{5}{2}}. Dari definisi logaritma, kita tahu kalau hasilnya adalah pangkatnya, yaitu 52\frac{5}{2}. Jadi, 5log⁡255=52{}^5\log 25\sqrt{5} = \frac{5}{2}. Mantap!

2. Menghitung Hasil Operasi Logaritma

Selain menentukan nilai logaritma, kita juga sering ketemu soal yang melibatkan operasi antar logaritma. Nah, di sini kita perlu mengingat beberapa sifat penting logaritma, guys. Beberapa di antaranya adalah:

  • alog⁡b+alog⁡c=alog⁡(b⋅c){}^a\log b + {}^a\log c = {}^a\log (b \cdot c)
  • alog⁡b−alog⁡c=alog⁡(bc){}^a\log b - {}^a\log c = {}^a\log (\frac{b}{c})
  • alog⁡bn=n⋅alog⁡b{}^a\log b^n = n \cdot {}^a\log b
  • alog⁡b⋅blog⁡c=alog⁡c{}^a\log b \cdot {}^b\log c = {}^a\log c
  • alog⁡1b=−alog⁡b{}^a\log \frac{1}{b} = -{}^a\log b

Dengan memahami sifat-sifat ini, kita bisa menyederhanakan soal-soal yang kelihatannya rumit.

a. 3log⁡25⋅15log⁡81−8log⁡164{}^3\log 25 \cdot {}^{\frac{1}{5}}\log 81 - {}^8\log \frac{1}{64}

Soal ini menggabungkan perkalian logaritma dengan basis yang berbeda dan juga pengurangan. Langkah pertama, kita coba sederhanakan masing-masing suku dulu.

  • 3log⁡25⋅15log⁡81{}^3\log 25 \cdot {}^{\frac{1}{5}}\log 81: Di sini, kita punya perkalian logaritma dengan basis yang berbeda. Kita bisa ubah basis 15log⁡81{}^{\frac{1}{5}}\log 81 menggunakan sifat perubahan basis. Tapi, untuk soal ini, lebih mudah kalau kita ubah semuanya ke bentuk pangkat.

    • 25=5225 = 5^2
    • 81=3481 = 3^4
    • 15=5−1\frac{1}{5} = 5^{-1}

    Jadi, 3log⁡25⋅15log⁡81=3log⁡52⋅5−1log⁡34=2⋅3log⁡5⋅4⋅5−1log⁡3{}^3\log 25 \cdot {}^{\frac{1}{5}}\log 81 = {}^3\log 5^2 \cdot {}^{5^{-1}}\log 3^4 = 2 \cdot {}^3\log 5 \cdot 4 \cdot {}^{5^{-1}}\log 3. Nah, kita punya 5−1log⁡3{}^{5^{-1}}\log 3. Ingat sifat anlog⁡b=1nalog⁡b{}^{a^n}\log b = \frac{1}{n} {}^a\log b. Jadi, 5−1log⁡3=−1⋅5log⁡3=−5log⁡3{}^{5^{-1}}\log 3 = -1 \cdot {}^5\log 3 = -{}^5\log 3.

    Kita lanjutkan perhitungannya: 2⋅3log⁡5⋅4⋅(−5log⁡3)=−8⋅3log⁡5⋅5log⁡32 \cdot {}^3\log 5 \cdot 4 \cdot (-{}^5\log 3) = -8 \cdot {}^3\log 5 \cdot {}^5\log 3. Sekarang, kita bisa pakai sifat alog⁡b⋅blog⁡c=alog⁡c{}^a\log b \cdot {}^b\log c = {}^a\log c. Jadi, −8⋅3log⁡5⋅5log⁡3=−8⋅3log⁡3=−8⋅1=−8-8 \cdot {}^3\log 5 \cdot {}^5\log 3 = -8 \cdot {}^3\log 3 = -8 \cdot 1 = -8.

  • 8log⁡164{}^8\log \frac{1}{64}: Kita ubah 164\frac{1}{64} ke bentuk pangkat. Kita tahu kalau 64=8264 = 8^2, jadi 164=8−2\frac{1}{64} = 8^{-2}. Maka, 8log⁡164=8log⁡8−2=−2{}^8\log \frac{1}{64} = {}^8\log 8^{-2} = -2.

Terakhir, kita masukkan kembali ke persamaan awal: 3log⁡25⋅15log⁡81−8log⁡164=−8−(−2)=−8+2=−6{}^3\log 25 \cdot {}^{\frac{1}{5}}\log 81 - {}^8\log \frac{1}{64} = -8 - (-2) = -8 + 2 = -6.

Jadi, hasil dari 3log⁡25⋅15log⁡81−8log⁡164{}^3\log 25 \cdot {}^{\frac{1}{5}}\log 81 - {}^8\log \frac{1}{64} adalah -6. Panjang ya? Tapi, kalau kita pecah-pecah dan pakai sifat logaritma, jadi lebih mudah kan?

b. 7log⁡149+5log⁡2⋅8log⁡125{}^7\log \frac{1}{49} + {}^5\log 2 \cdot {}^8\log 125

Sama seperti soal sebelumnya, kita sederhanakan masing-masing suku dulu, guys.

  • 7log⁡149{}^7\log \frac{1}{49}: Kita ubah 149\frac{1}{49} ke bentuk pangkat. Kita tahu kalau 49=7249 = 7^2, jadi 149=7−2\frac{1}{49} = 7^{-2}. Maka, 7log⁡149=7log⁡7−2=−2{}^7\log \frac{1}{49} = {}^7\log 7^{-2} = -2.

  • 5log⁡2⋅8log⁡125{}^5\log 2 \cdot {}^8\log 125: Kita ubah 125 ke bentuk pangkat. Kita tahu kalau 125=53125 = 5^3. Jadi, 5log⁡2⋅8log⁡125=5log⁡2⋅8log⁡53=3⋅5log⁡2⋅8log⁡5{}^5\log 2 \cdot {}^8\log 125 = {}^5\log 2 \cdot {}^8\log 5^3 = 3 \cdot {}^5\log 2 \cdot {}^8\log 5.

    Nah, di sini kita punya perkalian logaritma dengan basis yang beda lagi. Sayangnya, kita nggak bisa langsung pakai sifat alog⁡b⋅blog⁡c=alog⁡c{}^a\log b \cdot {}^b\log c = {}^a\log c karena basisnya nggak berurutan. Untuk soal seperti ini, kita bisa coba ubah basisnya ke basis yang sama, misalnya basis 10, tapi sepertinya nggak akan menyederhanakan soal ini. Jadi, kita biarkan saja bentuk ini: 3⋅5log⁡2⋅8log⁡53 \cdot {}^5\log 2 \cdot {}^8\log 5.

Terakhir, kita masukkan kembali ke persamaan awal: 7log⁡149+5log⁡2⋅8log⁡125=−2+3⋅5log⁡2⋅8log⁡5{}^7\log \frac{1}{49} + {}^5\log 2 \cdot {}^8\log 125 = -2 + 3 \cdot {}^5\log 2 \cdot {}^8\log 5.

Jadi, hasil dari 7log⁡149+5log⁡2⋅8log⁡125{}^7\log \frac{1}{49} + {}^5\log 2 \cdot {}^8\log 125 adalah −2+3⋅5log⁡2⋅8log⁡5-2 + 3 \cdot {}^5\log 2 \cdot {}^8\log 5. Bentuk ini sudah paling sederhana, guys. Kita nggak bisa hitung lebih lanjut tanpa kalkulator atau tabel logaritma.

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, contoh soal dan pembahasan cara menghitung logaritma. Kuncinya adalah memahami definisi logaritma, sifat-sifatnya, dan berlatih soal sebanyak-banyaknya. Semakin sering kalian latihan, semakin jago deh kalian! Jangan lupa, kalau ada soal yang susah, jangan ragu untuk bertanya atau mencari referensi lain. Semangat terus belajarnya!