Cara Menghitung Luas Daerah Pertidaksamaan: Panduan Lengkap

by ADMIN 60 views
Iklan Headers

Matematika seringkali menghadirkan tantangan yang menarik, guys. Salah satunya adalah mencari luas daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan. Soal ini mungkin terlihat rumit pada awalnya, tetapi dengan pemahaman yang tepat dan langkah-langkah yang sistematis, kita bisa menyelesaikannya dengan mudah. Dalam artikel ini, kita akan membahas secara detail cara menentukan luas daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan linear, khususnya contoh soal di mana pertidaksamaannya adalah x+y ≤ 5, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, dan y ≥ 0. Yuk, kita mulai!

Memahami Konsep Dasar Pertidaksamaan Linear

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting untuk memahami konsep dasar pertidaksamaan linear. Pertidaksamaan linear adalah sebuah pernyataan matematika yang menunjukkan hubungan antara dua ekspresi linear yang tidak sama. Hubungan ini bisa berupa lebih kecil dari (≤), lebih besar dari (≥), lebih kecil dari (<), atau lebih besar dari (>). Dalam konteks geometri, pertidaksamaan linear menggambarkan sebuah daerah pada bidang koordinat.

Setiap pertidaksamaan linear akan menghasilkan sebuah garis lurus pada bidang koordinat. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang berada di salah satu sisi garis tersebut. Untuk menentukan sisi mana yang memenuhi, kita bisa melakukan uji titik. Pilih sebuah titik yang tidak terletak pada garis, lalu substitusikan koordinat titik tersebut ke dalam pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan tersebut benar, maka daerah yang mengandung titik tersebut adalah daerah yang memenuhi. Jika salah, maka daerah sebaliknya yang memenuhi.

Dalam soal kita, kita memiliki empat pertidaksamaan: x+y ≤ 5, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, dan y ≥ 0. Dua pertidaksamaan pertama adalah pertidaksamaan linear yang akan menghasilkan garis lurus, sedangkan dua pertidaksamaan terakhir membatasi daerah pada kuadran pertama (karena x dan y harus non-negatif).

Langkah-Langkah Menentukan Luas Daerah

Berikut adalah langkah-langkah yang perlu kita lakukan untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan:

  1. Gambarkan Grafik Pertidaksamaan

    Langkah pertama adalah menggambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan pada bidang koordinat. Untuk melakukan ini, kita ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan terlebih dahulu. Misalnya, x+y ≤ 5 menjadi x+y = 5. Kita bisa mencari dua titik yang memenuhi persamaan ini, misalnya (5,0) dan (0,5), lalu menghubungkan kedua titik tersebut untuk mendapatkan garis lurus.

    Lakukan hal yang sama untuk pertidaksamaan x + 2y ≤ 6, yang menjadi x + 2y = 6. Kita bisa mencari titik (6,0) dan (0,3), lalu menghubungkannya. Pertidaksamaan x ≥ 0 dan y ≥ 0 akan membatasi daerah pada kuadran pertama.

  2. Tentukan Daerah yang Memenuhi Setiap Pertidaksamaan

    Setelah kita mendapatkan garis-garisnya, kita perlu menentukan daerah mana yang memenuhi setiap pertidaksamaan. Untuk x+y ≤ 5, kita bisa uji titik (0,0). Jika kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan, kita mendapatkan 0+0 ≤ 5, yang benar. Jadi, daerah yang memenuhi pertidaksamaan ini adalah daerah yang berada di bawah garis x+y = 5.

    Untuk x + 2y ≤ 6, kita juga bisa uji titik (0,0). Kita mendapatkan 0 + 2(0) ≤ 6, yang juga benar. Jadi, daerah yang memenuhi pertidaksamaan ini adalah daerah yang berada di bawah garis x + 2y = 6.

    Karena x ≥ 0 dan y ≥ 0, kita hanya mempertimbangkan daerah di kuadran pertama.

  3. Cari Titik Potong Garis

    Daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan tersebut. Daerah ini biasanya berbentuk poligon. Untuk menentukan luas poligon ini, kita perlu mencari koordinat titik-titik sudutnya. Titik-titik sudut ini adalah titik potong dari garis-garis yang membentuk poligon tersebut.

    Dalam kasus kita, kita perlu mencari titik potong antara garis x+y = 5 dan x + 2y = 6. Kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi untuk menyelesaikan sistem persamaan ini. Misalnya, kita bisa mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua: (x + 2y) - (x+y) = 6 - 5, yang menghasilkan y = 1. Kemudian, kita substitusikan y = 1 ke dalam persamaan x+y = 5, sehingga kita mendapatkan x = 4. Jadi, titik potongnya adalah (4,1).

    Selain itu, kita juga memiliki titik potong garis dengan sumbu koordinat, yaitu (0,0), (5,0), dan (0,3).

  4. Hitung Luas Daerah Poligon

    Setelah kita mendapatkan semua titik sudut poligon, kita bisa menghitung luasnya. Ada beberapa cara untuk melakukan ini, tergantung pada bentuk poligonnya. Jika poligonnya sederhana (misalnya, segitiga atau trapesium), kita bisa menggunakan rumus luas yang sesuai.

    Jika poligonnya lebih kompleks, kita bisa membagi poligon tersebut menjadi beberapa segitiga atau trapesium yang lebih kecil, lalu menjumlahkan luasnya. Atau, kita bisa menggunakan rumus luas poligon yang lebih umum, seperti rumus apotema atau rumus determinan.

Penyelesaian Soal: x+y ≤ 5; x + 2y ≤ 6; x ≥ 0; y ≥ 0

Sekarang, mari kita terapkan langkah-langkah di atas untuk menyelesaikan soal yang diberikan. Kita sudah memiliki pertidaksamaannya: x+y ≤ 5, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, dan y ≥ 0.

  1. Gambarkan Grafik

    Kita gambarkan garis x+y = 5 dan x + 2y = 6 pada bidang koordinat. Garis x+y = 5 melewati titik (5,0) dan (0,5), sedangkan garis x + 2y = 6 melewati titik (6,0) dan (0,3). Kita juga memiliki sumbu x (y = 0) dan sumbu y (x = 0).

  2. Tentukan Daerah yang Memenuhi

    Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah daerah yang berada di bawah garis x+y = 5 dan x + 2y = 6, serta berada di kuadran pertama.

  3. Cari Titik Potong

    Kita sudah mencari titik potong antara garis x+y = 5 dan x + 2y = 6, yaitu (4,1). Titik potong lainnya adalah (0,0), (5,0), dan (0,3).

  4. Hitung Luas Daerah

    Daerah yang terbentuk adalah sebuah segi empat dengan titik-titik sudut (0,0), (5,0), (4,1), dan (0,3). Kita bisa membagi segi empat ini menjadi dua bagian: sebuah trapesium dengan titik-titik sudut (0,0), (5,0), dan (0,3); dan sebuah segitiga dengan titik-titik sudut (5,0), (4,1), dan (0,3).

    Luas trapesium adalah 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi = 1/2 * (3 + 0) * 5 = 7.5. Ups, kayaknya ada yang salah nih dengan cara ini. Lebih baik kita hitung luas total segi empat, lalu kita kurangi dengan luas segitiga kecil di luar daerah yang dibatasi.

    Segi empat tersebut bisa kita pandang sebagai trapesium dengan alas bawah 5, alas atas 3, dan tinggi sepanjang sumbu x dari 0 sampai 4. Titik (4,1) adalah titik potong kedua garis, jadi kita bisa hitung luasnya sebagai berikut:

Luas = Luas Trapesium besar (dengan titik (0,0), (5,0), (0,3)) - Luas Segitiga kecil (dibatasi x+y=5, x+2y=6, dan sumbu x).

Luas Trapesium = 1/2 * (3+5) * 5 = 45 = 20*. Nah, kita perlu mengurangi luas segitiga kecil itu. Segitiga ini terbentuk antara titik (5,0), titik potong (4,1) dan perpanjangan garis x+2y=6 sampai memotong garis x+y=5.

Atau, cara termudah adalah dengan menghitung luas bangun datar tersebut menggunakan metode shoelace formula. Titik-titiknya adalah (0,0), (5,0), (4,1), (0,3).

Luas = 0.5 * |(00 + 51 + 43 + 00) - (05 + 04 + 10 + 30)| = 0.5 * |(0 + 5 + 12 + 0) - (0 + 0 + 0 + 0)| = 0.5 * |17| = 8.5.

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan tersebut adalah 8.5 satuan luas.

Kesimpulan

Menentukan luas daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan memang membutuhkan pemahaman konsep dasar dan ketelitian dalam menggambar grafik serta mencari titik potong. But hey, dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasai materi ini, guys! Ingatlah langkah-langkahnya: gambarkan grafik, tentukan daerah yang memenuhi, cari titik potong, dan hitung luas daerah. Semoga panduan ini bermanfaat dan selamat belajar!