Cara Menghitung Operasi Bilangan Kompleks P Dan Q

Hai guys! Kali ini kita akan membahas soal matematika tentang bilangan kompleks. Soal ini sering banget muncul di ujian, jadi penting banget buat kita pahami konsepnya. Kita akan membahas cara menghitung operasi bilangan kompleks, khususnya perkalian, penjumlahan kuadrat, dan penjumlahan kuadrat masing-masing bilangan.

Soal Bilangan Kompleks: Jika p = 3-2i dan q = 2+i

Soalnya adalah:

Jika $p = 3-2i$ dan $q = 2+i$, maka tentukan hasil dari:

a) $p imes q$ b) $(p+q)^2$ c) $p^2 + q^2$

Sebelum kita mulai membahas satu per satu, penting untuk mengingat kembali apa itu bilangan kompleks. Bilangan kompleks adalah bilangan yang memiliki dua bagian, yaitu bagian real dan bagian imajiner. Bagian real adalah bilangan biasa yang kita kenal, sedangkan bagian imajiner adalah bilangan yang dikalikan dengan satuan imajiner $i$, di mana $i^2 = -1$. Bentuk umum bilangan kompleks adalah $z = a + bi$, di mana $a$ adalah bagian real dan $b$ adalah bagian imajiner.

Oke deh, tanpa berlama-lama lagi, yuk langsung kita bahas cara penyelesaian soal di atas!

Pembahasan Soal a) p × q

Untuk mencari hasil perkalian dua bilangan kompleks, kita akan menggunakan sifat distributif perkalian. Jadi, setiap suku pada bilangan kompleks pertama akan dikalikan dengan setiap suku pada bilangan kompleks kedua. Mari kita lihat langkah-langkahnya:

$p imes q = (3 - 2i) imes (2 + i)$

Kita kalikan setiap suku:

$= (3 imes 2) + (3 imes i) + (-2i imes 2) + (-2i imes i)$

$= 6 + 3i - 4i - 2i^2$

Ingat ya guys, $i^2 = -1$, jadi kita substitusikan:

$= 6 + 3i - 4i - 2(-1)$

$= 6 + 3i - 4i + 2$

Sekarang kita kelompokkan bagian real dan bagian imajiner:

$= (6 + 2) + (3i - 4i)$

$= 8 - i$

Jadi, hasil dari $p imes q$ adalah $8 - i$. Gimana guys, mudah kan? Kuncinya adalah teliti dalam mengalikan setiap suku dan jangan lupa dengan nilai $i^2$. Memahami konsep perkalian bilangan kompleks ini sangat penting karena menjadi dasar untuk operasi bilangan kompleks lainnya. Selain itu, dengan latihan yang cukup, kita akan semakin terbiasa dan bisa mengerjakan soal serupa dengan lebih cepat dan akurat.

Pembahasan Soal b) (p + q)²

Soal kedua ini meminta kita untuk mencari hasil kuadrat dari penjumlahan dua bilangan kompleks. Ada dua cara yang bisa kita gunakan di sini. Cara pertama adalah dengan menjumlahkan $p$ dan $q$ terlebih dahulu, baru kemudian hasilnya kita kuadratkan. Cara kedua adalah dengan menjabarkan bentuk $(p+q)^2$ menjadi $p^2 + 2pq + q^2$, lalu kita hitung masing-masing suku dan menjumlahkannya. Kita akan menggunakan cara pertama, tapi cara kedua juga bisa kalian coba sebagai latihan ya!

Langkah pertama, kita jumlahkan dulu $p$ dan $q$:

$p + q = (3 - 2i) + (2 + i)$

Kita kelompokkan bagian real dan bagian imajiner:

$= (3 + 2) + (-2i + i)$

$= 5 - i$

Nah, sekarang kita sudah dapat hasil penjumlahan $p$ dan $q$. Selanjutnya, kita kuadratkan hasilnya:

$(p + q)^2 = (5 - i)^2$

Sama seperti perkalian sebelumnya, kita akan menggunakan sifat distributif:

$= (5 - i) imes (5 - i)$

$= (5 imes 5) + (5 imes -i) + (-i imes 5) + (-i imes -i)$

$= 25 - 5i - 5i + i^2$

Ingat lagi, $i^2 = -1$, jadi kita substitusikan:

$= 25 - 5i - 5i - 1$

Kita kelompokkan lagi bagian real dan bagian imajiner:

$= (25 - 1) + (-5i - 5i)$

$= 24 - 10i$

Jadi, hasil dari $(p + q)^2$ adalah $24 - 10i$. Dalam menyelesaikan soal ini, kunci utamanya adalah ketelitian dalam melakukan operasi penjumlahan dan perkalian, serta mengingat kembali identitas $i^2 = -1$. Jangan sampai ada tanda yang salah atau suku yang terlewat, ya!

Pembahasan Soal c) p² + q²

Untuk soal yang terakhir ini, kita diminta untuk mencari hasil penjumlahan kuadrat masing-masing bilangan kompleks. Artinya, kita harus menghitung $p^2$ dan $q^2$ terlebih dahulu, baru kemudian kita jumlahkan hasilnya. Yuk, kita mulai!

Kita hitung $p^2$ terlebih dahulu:

$p^2 = (3 - 2i)^2$

$= (3 - 2i) imes (3 - 2i)$

$= (3 imes 3) + (3 imes -2i) + (-2i imes 3) + (-2i imes -2i)$

$= 9 - 6i - 6i + 4i^2$

Substitusikan $i^2 = -1$:

$= 9 - 6i - 6i - 4$

$= (9 - 4) + (-6i - 6i)$

$= 5 - 12i$

Selanjutnya, kita hitung $q^2$:

$q^2 = (2 + i)^2$

$= (2 + i) imes (2 + i)$

$= (2 imes 2) + (2 imes i) + (i imes 2) + (i imes i)$

$= 4 + 2i + 2i + i^2$

Substitusikan $i^2 = -1$:

$= 4 + 2i + 2i - 1$

$= (4 - 1) + (2i + 2i)$

$= 3 + 4i$

Terakhir, kita jumlahkan $p^2$ dan $q^2$:

$p^2 + q^2 = (5 - 12i) + (3 + 4i)$

$= (5 + 3) + (-12i + 4i)$

$= 8 - 8i$

Jadi, hasil dari $p^2 + q^2$ adalah $8 - 8i$. Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu teliti dalam menghitung kuadrat masing-masing bilangan kompleks, serta menggabungkan bagian real dan imajiner dengan benar. Dengan latihan yang rutin, kita akan semakin mahir dalam mengerjakan soal-soal seperti ini.

Kesimpulan

Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang cara menghitung operasi bilangan kompleks $p$ dan $q$. Dari soal ini, kita belajar tentang perkalian bilangan kompleks, penjumlahan kuadrat, dan penjumlahan kuadrat masing-masing bilangan. Kunci utama dalam mengerjakan soal bilangan kompleks adalah ketelitian, pemahaman konsep dasar, dan latihan yang cukup. Jangan lupa untuk selalu mengingat identitas $i^2 = -1$, ya!

Semoga pembahasan ini bermanfaat buat kalian semua. Jika ada pertanyaan atau materi lain yang ingin dibahas, jangan ragu untuk tulis di kolom komentar ya. Semangat terus belajarnya guys!