Cara Menghitung Suku Ke-5 Deret Dengan Rumus $S_n$

$$

Halo, guys! Pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin kepala pusing? Salah satunya soal deret kayak gini nih, yang bunyinya: "Diketahui jumlah $n$ suku pertama suatu deret ditentukan oleh rumus $S_n = n(4n-5)$. Nilai dari suku ke-5 deret tersebut adalah." Terus pilihan jawabannya ada (A) 30, (B) 31, (C) 32, (D) 33, (E) 34. Bingung kan gimana cara nyarinya?

Tenang, tenang! Di artikel ini, kita bakal bedah tuntas cara nyari nilai suku ke-5 dari deret tersebut. Nggak pake lama, nggak pake ribet, pokoknya anti pusing-pusing club! Jadi, siapin catatan kalian, guys, karena kita bakal belajar bareng biar makin jago matematika.

Memahami Konsep Dasar Deret dan Rumus $S_n$

Sebelum kita langsung terjun ke soal, penting banget buat kita ngerti dulu apa itu deret dan apa sih fungsi dari rumus $S_n$. Deret itu intinya adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Nah, kalau $S_n$ itu artinya adalah jumlah dari $n$ suku pertama. Jadi, kalau kita punya $S_1$, itu berarti jumlah suku pertama aja (ya, sama dengan suku pertama itu sendiri). Kalau $S_2$, berarti jumlah dari suku pertama dan suku kedua. Kalau $S_3$, jumlah dari suku pertama, kedua, dan ketiga, dan seterusnya sampai suku ke-$n$.

Rumus $S_n = n(4n-5)$ yang dikasih di soal itu adalah jalan pintas buat ngitung jumlah $n$ suku pertama tanpa harus nyari satu-satu suku barisannya. Keren kan? Dengan rumus ini, kita bisa langsung dapet total penjumlahannya. Tapi, yang ditanya di soal bukan jumlahnya, melainkan nilai dari suku ke-5. Nah, di sinilah kita butuh sedikit trik.

Bagaimana cara mendapatkan nilai suku ke-5 dari rumus jumlah $S_n$? Jawabannya ada pada konsep perbedaan antara jumlah $n$ suku pertama ($S_n$) dan jumlah $(n-1)$ suku pertama ($S_{n-1}$). Perbedaan inilah yang akan memberikan kita nilai suku ke-$n$. Secara matematis, bisa ditulis sebagai:

$U_n = S_n - S_{n-1}$

Dimana:

• $U_n$ adalah suku ke-$n$
• $S_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama
• $S_{n-1}$ adalah jumlah $(n-1)$ suku pertama

Konsep ini berlaku untuk $n > 1$. Untuk $n=1$, suku pertama ($U_1$) sama dengan jumlah satu suku pertama ($S_1$).

Jadi, kalau kita mau cari suku ke-5 ($U_5$), kita bisa pakai rumus:

$U_5 = S_5 - S_4$

Ini adalah kunci utamanya, guys! Dengan memahami konsep ini, soal yang tadinya terlihat rumit jadi terasa lebih sederhana. Ingat ya, kunci utama mencari suku ke-n dari rumus jumlah n suku pertama adalah dengan mengurangkan jumlah n suku pertama dengan jumlah (n-1) suku pertama.

Menghitung $S_5$ dan $S_4$ dengan Rumus yang Diberikan

Oke, guys, setelah kita paham konsepnya, sekarang saatnya kita eksekusi. Rumus yang kita punya adalah $S_n = n(4n-5)$. Kita perlu cari nilai $S_5$ dan $S_4$. Gampang banget, tinggal substitusi nilai $n$ ke dalam rumus.

Menghitung $S_5$

Untuk mencari $S_5$, kita ganti setiap $n$ dalam rumus $S_n = n(4n-5)$ dengan angka 5:

$S_5 = 5(4 imes 5 - 5)$

Sekarang kita hitung bagian dalam kurung dulu, ya:

$4 imes 5 = 20$

Jadi, di dalam kurung jadi:

$20 - 5 = 15$

Terakhir, kita kalikan dengan angka di luar kurung:

$S_5 = 5 imes 15$

$S_5 = 75$

Nah, jadi jumlah 5 suku pertama dari deret ini adalah 75. Tapi, ingat ya, ini belum jawaban akhir. Ini baru setengah jalan.

Menghitung $S_4$

Sekarang, kita lakukan hal yang sama untuk mencari $S_4$. Kita ganti setiap $n$ dalam rumus $S_n = n(4n-5)$ dengan angka 4:

$S_4 = 4(4 imes 4 - 5)$

Kita hitung lagi bagian dalam kurung:

$4 imes 4 = 16$

Jadi, di dalam kurung jadi:

$16 - 5 = 11$

Terakhir, kita kalikan dengan angka di luar kurung:

$S_4 = 4 imes 11$

$S_4 = 44$

Jadi, jumlah 4 suku pertama dari deret ini adalah 44. Sampai sini, kita udah punya modal penting buat nyari suku ke-5.

Ingat lagi, guys, menghitung $S_5$ dan $S_4$ adalah langkah krusial sebelum kita bisa menentukan nilai suku ke-5. Pastikan perhitungan kalian teliti ya, biar hasilnya akurat. Kesalahan kecil di sini bisa berakibat fatal pada jawaban akhir. Jadi, santai tapi fokus, itu kuncinya saat mengerjakan soal-soal seperti ini.

Menghitung Nilai Suku ke-5 ($U_5$)

Udah siap semua? Kita sudah punya $S_5 = 75$ dan $S_4 = 44$. Sekarang saatnya kita pakai rumus yang udah kita bahas di awal tadi:

$U_n = S_n - S_{n-1}$

Kita mau cari $U_5$, jadi kita substitusi $n=5$:

$U_5 = S_5 - S_4$

Sekarang tinggal masukkan nilai $S_5$ dan $S_4$ yang sudah kita hitung:

$U_5 = 75 - 44$

$U_5 = 31$

Voila! Jadi, nilai dari suku ke-5 deret tersebut adalah 31. Gampang banget kan kalau udah tahu caranya? Nggak perlu panik lagi kalau ketemu soal kayak gini.

Jadi, jawaban yang benar adalah (B) 31. Yeay!

Penting untuk diingat: Ketika menghitung nilai suku ke-n menggunakan rumus $S_n$, pastikan kalian benar-benar teliti dalam setiap langkah perhitungan. Mulai dari substitusi nilai $n$, operasi hitung di dalam kurung, hingga perkalian akhir. Kesalahan kecil dalam menghitung $S_n$ atau $S_{n-1}$ akan langsung mempengaruhi hasil akhir $U_n$. Dengan latihan yang cukup, kalian pasti akan semakin mahir dan cepat dalam menyelesaikan soal-soal seperti ini.

Mengapa Deret ini Mungkin Deret Aritmatika?

Sekadar informasi tambahan, guys, rumus jumlah $n$ suku pertama yang berbentuk $S_n = An^2 + Bn$ (dalam kasus ini $S_n = 4n^2 - 5n$, jadi $A=4$ dan $B=-5$) biasanya mengindikasikan bahwa deret tersebut adalah deret aritmatika. Untuk membuktikannya, mari kita cari beberapa suku pertama.

Kita sudah tahu $U_5 = 31$. Mari kita cari suku-suku sebelumnya:

• $S_1 = 1(4 imes 1 - 5) = 1(4-5) = 1(-1) = -1$. Jadi, $U_1 = S_1 = -1$.
• $S_2 = 2(4 imes 2 - 5) = 2(8-5) = 2(3) = 6$. Maka, $U_2 = S_2 - S_1 = 6 - (-1) = 7$.
• $S_3 = 3(4 imes 3 - 5) = 3(12-5) = 3(7) = 21$. Maka, $U_3 = S_3 - S_2 = 21 - 6 = 15$.
• $S_4 = 44$ (sudah kita hitung sebelumnya). Maka, $U_4 = S_4 - S_3 = 44 - 21 = 23$.

Sekarang kita punya suku-suku awal: $U_1 = -1$ $U_2 = 7$ $U_3 = 15$ $U_4 = 23$ $U_5 = 31$

Mari kita lihat selisih antar suku:

• $U_2 - U_1 = 7 - (-1) = 8$
• $U_3 - U_2 = 15 - 7 = 8$
• $U_4 - U_3 = 23 - 15 = 8$
• $U_5 - U_4 = 31 - 23 = 8$

Karena selisih antar suku konstan yaitu 8, maka ini memang benar adalah deret aritmatika dengan suku pertama ($a$) adalah -1 dan beda ($b$) adalah 8. Rumus suku ke-n untuk deret aritmatika adalah $U_n = a + (n-1)b$. Mari kita cek untuk $U_5$: $U_5 = -1 + (5-1)8 = -1 + 4 imes 8 = -1 + 32 = 31$. Cocok kan? Ini jadi bukti tambahan kalau perhitungan kita sudah benar dan deretnya memang aritmatika.

Memahami sifat deret ini bisa membantu kita dalam memprediksi pola dan cara penyelesaian soal-soal serupa di masa depan. Jadi, selain bisa menjawab soal dengan cepat, kita juga jadi lebih paham dasar matematisnya, guys!

Kesimpulan

Jadi, guys, untuk menjawab soal "Diketahui jumlah $n$ suku pertama suatu deret ditentukan oleh rumus $S_n = n(4n-5)$. Nilai dari suku ke-5 deret tersebut adalah", kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Pahami Rumus $S_n$: $S_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama.
2. Gunakan Konsep $U_n = S_n - S_{n-1}$: Untuk mencari suku ke-$n$, kurangkan jumlah $n$ suku pertama dengan jumlah $(n-1)$ suku pertama.
3. Hitung $S_5$: Substitusikan $n=5$ ke rumus $S_n$. Didapat $S_5 = 75$.
4. Hitung $S_4$: Substitusikan $n=4$ ke rumus $S_n$. Didapat $S_4 = 44$.
5. Hitung $U_5$: $U_5 = S_5 - S_4 = 75 - 44 = 31$.

Dengan demikian, nilai suku ke-5 deret tersebut adalah 31. Pilihan jawaban yang tepat adalah (B).

Semoga penjelasan ini bikin kalian makin pede ya dalam mengerjakan soal-soal deret. Jangan pernah takut sama matematika, karena kalau dipelajari dengan cara yang benar, matematika itu seru banget! Keep practicing, guys!