Cara Menyelesaikan SPLTV: Substitusi & Eliminasi

Oct 15, 2025 by ADMIN 49 views

SPLTV, atau Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, seringkali menjadi momok bagi sebagian siswa. Guys, tenang aja! Sebenarnya, menyelesaikan SPLTV itu nggak sesulit yang dibayangkan kok. Asal kita tahu caranya, semua pasti beres. Nah, di artikel ini, kita akan membahas tuntas cara menyelesaikan SPLTV dengan dua metode yang paling populer: substitusi dan eliminasi. Jadi, simak baik-baik ya!

Memahami Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sebelum kita masuk ke metode penyelesaian, ada baiknya kita pahami dulu apa itu SPLTV. Secara sederhana, SPLTV adalah kumpulan tiga persamaan linear yang masing-masing memiliki tiga variabel (biasanya dilambangkan dengan x, y, dan z). Tujuan kita adalah mencari nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara bersamaan.

Bentuk umum SPLTV bisa dituliskan seperti ini:

ax + by + cz = d
ep + qy + rz = s
mx + ny + oz = p

Di mana a, b, c, d, e, p, q, r, s, m, n, o, dan p adalah konstanta (angka), sedangkan x, y, dan z adalah variabel yang ingin kita cari nilainya.

Kenapa SPLTV penting? SPLTV sering banget muncul dalam berbagai masalah di kehidupan sehari-hari, lho! Misalnya, dalam bidang ekonomi, kita bisa menggunakan SPLTV untuk menghitung harga barang, keuntungan, atau bahkan memprediksi tren pasar. Di bidang teknik, SPLTV bisa dipakai untuk menghitung gaya yang bekerja pada suatu struktur bangunan atau rangkaian listrik. Jadi, pemahaman tentang SPLTV ini penting banget, guys, nggak cuma buat ujian matematika aja!

Metode Substitusi: Mengganti Variabel

Metode substitusi adalah salah satu cara untuk menyelesaikan SPLTV dengan cara mengganti (mensubstitusikan) salah satu variabel dengan persamaan lain. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Persamaan yang sederhana biasanya memiliki koefisien variabel yang kecil atau bahkan 1.
Nyatakan salah satu variabel (misalnya x) dalam bentuk variabel lain (misalnya y dan z). Artinya, kita ubah persamaannya menjadi x = ... (dalam bentuk y dan z).
Substitusikan (gantikan) nilai x yang sudah kita dapatkan ke dalam dua persamaan lainnya. Sekarang, kita akan punya dua persamaan dengan dua variabel (misalnya y dan z).
Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yang baru kita dapatkan. Kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi lagi untuk mencari nilai y dan z.
Substitusikan nilai y dan z yang sudah kita dapatkan ke dalam persamaan x = ... yang tadi kita buat untuk mencari nilai x.

Contoh Soal:

Mari kita coba selesaikan SPLTV berikut dengan metode substitusi:

$x + 2y + z = 8$ ...(1) $2x + 3y + z = 13$ ...(2) $x + y + 2z = 9$ ...(3)

Penyelesaian:

Kita pilih persamaan (1) karena paling sederhana.
Kita nyatakan x dalam bentuk y dan z dari persamaan (1): $x = 8 - 2y - z$ ...(4)
Kita substitusikan nilai x dari persamaan (4) ke persamaan (2) dan (3):
- Persamaan (2): $2(8 - 2y - z) + 3y + z = 13$ $16 - 4y - 2z + 3y + z = 13$ $-y - z = -3$ ...(5)
- Persamaan (3): $(8 - 2y - z) + y + 2z = 9$ $-y + z = 1$ ...(6)
Sekarang kita punya SPLDV dengan persamaan (5) dan (6). Kita bisa selesaikan dengan substitusi atau eliminasi. Misal, kita gunakan eliminasi. Kita jumlahkan persamaan (5) dan (6): $(-y - z) + (-y + z) = -3 + 1$ $-2y = -2$ $y = 1$ Kita substitusikan nilai y = 1 ke persamaan (6): $-1 + z = 1$ $z = 2$
Kita substitusikan nilai y = 1 dan z = 2 ke persamaan (4): $x = 8 - 2(1) - 2$ $x = 4$

Jadi, solusi SPLTV tersebut adalah x = 4, y = 1, dan z = 2.

Metode Eliminasi: Menghilangkan Variabel

Metode eliminasi bekerja dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari persamaan. Caranya adalah dengan mengalikan persamaan dengan konstanta tertentu sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama (atau berlawanan) pada dua persamaan, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan tersebut.

Langkah-langkah metode eliminasi adalah sebagai berikut:

Pilih dua persamaan dari SPLTV.
Perhatikan koefisien salah satu variabel (misalnya x) pada kedua persamaan. Jika koefisiennya belum sama, kita kalikan masing-masing persamaan dengan konstanta yang sesuai sehingga koefisien x menjadi sama atau berlawanan.
Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan tersebut. Jika koefisien x sama, kita kurangkan persamaannya. Jika koefisien x berlawanan, kita jumlahkan persamaannya. Tujuannya adalah menghilangkan variabel x dari persamaan.
Ulangi langkah 1-3 untuk dua persamaan yang berbeda (misalnya persamaan 1 dan 3, atau persamaan 2 dan 3) untuk menghilangkan variabel yang sama (x).
Sekarang kita akan punya dua persamaan dengan dua variabel (misalnya y dan z). Selesaikan SPLDV ini dengan metode eliminasi atau substitusi.
Substitusikan nilai variabel yang sudah kita dapatkan ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel yang tersisa.

Contoh Soal:

Mari kita coba selesaikan SPLTV yang sama dengan contoh sebelumnya, tapi kali ini menggunakan metode eliminasi:

$x + 2y + z = 8$ ...(1) $2x + 3y + z = 13$ ...(2) $x + y + 2z = 9$ ...(3)

Penyelesaian:

Kita pilih persamaan (1) dan (2). Kita akan eliminasi variabel x.
Kita kalikan persamaan (1) dengan 2: $2(x + 2y + z) = 2(8)$ $2x + 4y + 2z = 16$ ...(4) Sekarang kita punya persamaan (2) dan (4) dengan koefisien x yang sama (2).
Kita kurangkan persamaan (4) dengan persamaan (2): $(2x + 4y + 2z) - (2x + 3y + z) = 16 - 13$ $y + z = 3$ ...(5)
Kita pilih persamaan (1) dan (3). Kita akan eliminasi variabel x lagi. Koefisien x sudah sama, jadi kita langsung kurangkan: $(x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 8 - 9$ $y - z = -1$ ...(6)
Sekarang kita punya SPLDV dengan persamaan (5) dan (6). Kita bisa selesaikan dengan eliminasi lagi. Kita jumlahkan persamaan (5) dan (6): $(y + z) + (y - z) = 3 + (-1)$ $2y = 2$ $y = 1$ Kita substitusikan nilai y = 1 ke persamaan (5): $1 + z = 3$ $z = 2$
Kita substitusikan nilai y = 1 dan z = 2 ke persamaan (1): $x + 2(1) + 2 = 8$ $x = 4$

Jadi, solusi SPLTV tersebut tetap sama, yaitu x = 4, y = 1, dan z = 2.

Kapan Menggunakan Substitusi dan Eliminasi?

Kedua metode ini sama-sama ampuh untuk menyelesaikan SPLTV, tapi ada beberapa situasi di mana salah satu metode mungkin lebih efisien:

Substitusi: Cocok digunakan jika salah satu persamaan memiliki variabel dengan koefisien 1 atau -1. Ini akan memudahkan kita untuk menyatakan variabel tersebut dalam bentuk variabel lain.
Eliminasi: Cocok digunakan jika tidak ada variabel dengan koefisien 1 atau -1, atau jika kita merasa lebih nyaman menghilangkan variabel secara bertahap.

Intinya, guys, nggak ada aturan baku. Kalian bisa pilih metode yang paling kalian pahami dan kuasai. Yang penting, teliti dan hati-hati dalam melakukan perhitungan!

Tips dan Trik Menyelesaikan SPLTV

Selain memahami metode substitusi dan eliminasi, ada beberapa tips dan trik yang bisa membantu kalian menyelesaikan SPLTV dengan lebih mudah:

Perhatikan persamaan yang paling sederhana: Pilih persamaan yang memiliki koefisien kecil atau variabel yang mudah diisolasi.
Teliti dalam perhitungan: Kesalahan kecil dalam perhitungan bisa membuat jawaban jadi salah total. Jadi, periksa kembali setiap langkah yang kalian lakukan.
Gunakan kertas buram: Jangan ragu untuk menggunakan kertas buram untuk mencoret-coret dan menghitung. Ini akan membantu kalian menghindari kesalahan.
Latihan soal: Semakin banyak kalian latihan soal, semakin mahir kalian dalam menyelesaikan SPLTV. Cari berbagai contoh soal dan coba kerjakan sendiri.

Kesimpulan

Menyelesaikan SPLTV memang butuh ketelitian dan pemahaman konsep yang baik. Tapi, dengan menguasai metode substitusi dan eliminasi, serta menerapkan tips dan trik yang sudah kita bahas, guys pasti bisa menaklukkan soal-soal SPLTV. Jangan lupa untuk terus berlatih dan jangan mudah menyerah, ya! Semangat!