Cara Mudah Menemukan Solusi Irasional Persamaan Kuadrat

Nov 12, 2025 by ADMIN 56 views

Guys, mari kita selami dunia matematika yang menarik! Kali ini, kita akan membahas soal yang melibatkan persamaan kuadrat. Soal ini terlihat menantang, tapi jangan khawatir, kita akan menyelesaikannya dengan cara yang mudah dipahami. Kita akan fokus pada pencarian solusi irasional dan bagaimana cara menemukan hasil kali dari solusi-solusi tersebut. Jadi, siapkan diri kalian untuk petualangan matematika yang seru!

Memahami Soal dan Strategi Penyelesaian

Soal yang akan kita pecahkan adalah: Perhatikan persamaan berikut: $(x^2 + 2x - 20)(x^2 + 2x - 18) = 15$ . Pertanyaannya adalah, apa hasil kali dari solusi irasionalnya? Nah, sebelum kita mulai, mari kita pahami dulu apa itu solusi irasional. Solusi irasional adalah solusi yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan sederhana, biasanya berupa akar kuadrat yang tidak sempurna. Strategi kita adalah dengan melakukan substitusi untuk menyederhanakan persamaan, menemukan solusi, dan kemudian mengidentifikasi solusi irasionalnya.

Langkah pertama, mari kita perhatikan persamaan $(x^2 + 2x - 20)(x^2 + 2x - 18) = 15$ . Perhatikan bahwa ada bagian yang sama, yaitu $x^2 + 2x$ . Untuk menyederhanakan, kita bisa melakukan substitusi. Misalkan $y = x^2 + 2x$ . Maka, persamaan tersebut menjadi $(y - 20)(y - 18) = 15$ . Sekarang, kita punya persamaan kuadrat yang lebih sederhana dalam variabel $y$ . Mari kita jabarkan dan selesaikan persamaan ini. Setelah mendapatkan nilai $y$ , kita bisa kembali mencari nilai $x$ dengan mensubstitusi balik nilai $y$ ke persamaan awal. Dengan cara ini, kita akan menemukan semua solusi, termasuk yang irasional. Setelah itu, kita hanya perlu mengalikan solusi-solusi irasional tersebut.

Sekarang, mari kita jabarkan persamaan $(y - 20)(y - 18) = 15$ . Hasilnya adalah $y^2 - 38y + 360 = 15$ . Kemudian, kita kurangi kedua sisi dengan 15, sehingga menjadi $y^2 - 38y + 345 = 0$ . Kita bisa mencari solusi untuk $y$ dengan menggunakan rumus kuadrat atau dengan memfaktorkan. Dalam kasus ini, kita akan mencoba memfaktorkan. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 345 dan jika dijumlahkan hasilnya -38. Bilangan-bilangan tersebut adalah -15 dan -23. Jadi, persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi $(y - 15)(y - 23) = 0$ . Dari sini, kita mendapatkan dua nilai $y$ : $y = 15$ atau $y = 23$ . Ingat, kita belum selesai! Kita harus kembali mencari nilai $x$ dari nilai $y$ ini.

Mencari Nilai x dan Solusi Irasional

Setelah kita mendapatkan nilai $y$ , sekarang saatnya mencari nilai $x$ . Kita akan menggunakan substitusi balik dari $y = x^2 + 2x$ .

Kasus 1: y = 15

Maka, $x^2 + 2x = 15$ . Kita ubah menjadi persamaan kuadrat $x^2 + 2x - 15 = 0$ . Persamaan ini bisa difaktorkan menjadi $(x + 5)(x - 3) = 0$ . Jadi, kita mendapatkan solusi $x = -5$ atau $x = 3$ . Kedua solusi ini adalah bilangan rasional.

Kasus 2: y = 23

Maka, $x^2 + 2x = 23$ . Kita ubah menjadi persamaan kuadrat $x^2 + 2x - 23 = 0$ . Persamaan ini tidak mudah difaktorkan. Kita akan menggunakan rumus kuadrat untuk mencari solusinya. Rumus kuadrat adalah $x = rac{-b an plusmn an sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Dalam persamaan $x^2 + 2x - 23 = 0$ , $a = 1$ , $b = 2$ , dan $c = -23$ . Maka,

$x = rac{-2 an plusmn an sqrt{2^2 - 4(1)(-23)}}{2(1)}$

$x = rac{-2 an plusmn an sqrt{4 + 92}}{2}$

$x = rac{-2 an plusmn an sqrt{96}}{2}$

$x = rac{-2 an plusmn an sqrt{16 an times 6}}{2}$

$x = rac{-2 an plusmn an 4 an sqrt{6}}{2}$

$x = -1 an plusmn an 2 an sqrt{6}$

Jadi, kita mendapatkan dua solusi: $x = -1 + 2 an sqrt{6}$ dan $x = -1 - 2 an sqrt{6}$ . Kedua solusi ini adalah solusi irasional karena melibatkan akar kuadrat dari 6.

Menghitung Hasil Kali Solusi Irasional

Sekarang, setelah kita menemukan solusi irasionalnya, yaitu $x = -1 + 2 an sqrt{6}$ dan $x = -1 - 2 an sqrt{6}$ , kita akan menghitung hasil kali dari kedua solusi ini. Mari kita kalikan:

$(-1 + 2 an sqrt{6})(-1 - 2 an sqrt{6}) = (-1)^2 - (2 an sqrt{6})^2 = 1 - 4 an times 6 = 1 - 24 = -23$

Jadi, hasil kali dari solusi irasionalnya adalah -23. Pilihan yang benar adalah D. -23. Gimana, guys? Gampang, kan?

Kesimpulan dan Tips Tambahan

Guys, melalui soal ini, kita telah belajar bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat yang terlihat rumit dengan strategi substitusi dan pemfaktoran. Kita juga belajar bagaimana mengidentifikasi solusi irasional dan menghitung hasil kali mereka. Kunci utama dalam menyelesaikan soal seperti ini adalah:

Sederhanakan Persamaan: Gunakan substitusi untuk menyederhanakan persamaan awal.
Faktorkan atau Gunakan Rumus Kuadrat: Temukan solusi untuk variabel yang telah disubstitusi.
Substitusi Balik: Kembalikan substitusi untuk mencari solusi variabel asli.
Identifikasi Solusi Irasional: Kenali solusi yang berupa akar kuadrat yang tidak sempurna.
Hitung Hasil Kali: Kalikan solusi irasional yang telah ditemukan.

Tips tambahan: Selalu periksa kembali pekerjaan kalian. Pastikan tidak ada kesalahan dalam perhitungan. Jika kalian kesulitan memfaktorkan, jangan ragu untuk menggunakan rumus kuadrat. Latihan secara teratur akan membuat kalian semakin mahir dalam menyelesaikan soal-soal matematika seperti ini. Teruslah berlatih dan jangan menyerah! Dengan latihan yang konsisten, kalian pasti bisa menguasai materi ini. Semangat terus, dan jangan takut untuk mencoba soal-soal yang lebih menantang!