Cara Mudah Menentukan Daerah Hasil Fungsi Rasional: Panduan Lengkap

Hai guys! Kali ini, kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik, yaitu tentang menentukan daerah hasil dari fungsi rasional. Soal ini sering muncul dalam ujian, jadi penting banget buat kita kuasai. Kita akan bedah soalnya, mulai dari konsep dasar sampai cara penyelesaian yang mudah dipahami. Yuk, langsung aja kita mulai!

Memahami Konsep Dasar Daerah Hasil

Daerah hasil (range) dari suatu fungsi adalah kumpulan semua nilai y yang dihasilkan oleh fungsi tersebut untuk semua nilai x yang mungkin. Gampangnya, kalau kita punya fungsi f(x), maka daerah hasilnya adalah semua nilai f(x) yang bisa kita dapatkan. Konsep ini penting banget, karena tanpa memahami apa itu daerah hasil, kita akan kesulitan menyelesaikan soal-soal seperti ini.

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan, di mana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial (suku banyak). Contohnya, fungsi yang akan kita bahas ini, f(x) = (2x + 3) / (x² - 4). Untuk menentukan daerah hasilnya, kita perlu beberapa langkah.

Langkah-langkah Menentukan Daerah Hasil Fungsi Rasional

1. Tentukan Domain Fungsi: Sebelum mencari daerah hasil, kita perlu tahu dulu domainnya. Domain adalah semua nilai x yang memungkinkan untuk fungsi tersebut. Pada fungsi rasional, domainnya biasanya semua bilangan real, kecuali nilai x yang membuat penyebutnya nol (karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi).
2. Ubah Persamaan ke Bentuk y = f(x): Ganti f(x) dengan y, sehingga persamaan menjadi y = (2x + 3) / (x² - 4). Tujuannya adalah untuk mencari nilai y yang mungkin berdasarkan nilai x.
3. Selesaikan Persamaan untuk x: Ubah persamaan agar x menjadi subjek. Ini akan memberikan kita hubungan antara x dan y.
4. Tentukan Batasan Nilai y: Perhatikan batasan domain dari x. Gunakan batasan ini untuk menentukan nilai y yang mungkin. Biasanya, kita akan mendapatkan beberapa interval nilai y.
5. Tuliskan Daerah Hasil: Tuliskan semua interval nilai y yang memenuhi, itulah daerah hasilnya.

Nah, dengan memahami langkah-langkah di atas, kita akan bisa menyelesaikan soal daerah hasil fungsi rasional dengan lebih mudah.

Memecah Soal: *f(x) = (2x + 3) / (x² - 4) *

Oke, sekarang kita bedah soalnya, f(x) = (2x + 3) / (x² - 4). Kita akan ikuti langkah-langkah yang sudah kita bahas sebelumnya.

1. Menentukan Domain Fungsi

Pertama, kita cari domainnya. Penyebutnya adalah x² - 4. Kita harus cari nilai x yang membuat penyebutnya nol.

x² - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

Jadi, x = 2 atau x = -2. Artinya, domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali x = 2 dan x = -2.

2. Mengubah Persamaan ke Bentuk y = f(x)

Kita ganti f(x) dengan y:

y = (2x + 3) / (x² - 4)

3. Menyelesaikan Persamaan untuk x

Sekarang, kita ubah persamaan agar x menjadi subjek:

y(x² - 4) = 2x + 3

yx² - 4y = 2x + 3

yx² - 2x - 4y - 3 = 0

Perhatikan bahwa ini adalah persamaan kuadrat dalam x. Untuk mencari nilai x, kita bisa menggunakan rumus kuadrat:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Dalam hal ini, a = y, b = -2, dan c = -4y - 3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:

x = (2 ± √((-2)² - 4 * y * (-4y - 3))) / 2y

x = (2 ± √(4 + 16y² + 12y)) / 2y

4. Menentukan Batasan Nilai y

Karena x adalah bilangan real, maka ekspresi di dalam akar kuadrat (diskriminan) harus lebih besar atau sama dengan nol. Artinya:

4 + 16y² + 12y ≥ 0

Kita bagi semua suku dengan 4:

4y² + 3y + 1 ≥ 0

Untuk mencari nilai y, kita cari akar-akar persamaan kuadrat 4y² + 3y + 1 = 0 menggunakan rumus kuadrat:

y = (-3 ± √(3² - 4 * 4 * 1)) / (2 * 4)

y = (-3 ± √(9 - 16)) / 8

y = (-3 ± √(-7)) / 8

Karena diskriminannya negatif, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real. Artinya, parabola 4y² + 3y + 1 tidak memotong sumbu-y. Karena koefisien y² positif (4), parabola terbuka ke atas. Ini berarti nilai 4y² + 3y + 1 selalu positif untuk semua nilai y. Jadi, semua nilai y memenuhi pertidaksamaan.

Namun, kita perlu mempertimbangkan juga nilai y yang membuat penyebut pada persamaan x menjadi nol, yaitu y = 0. Jika y = 0, maka persamaan x menjadi tidak terdefinisi.

Selain itu, kita juga perlu memeriksa nilai y yang membuat x = 2 atau x = -2, yang merupakan nilai yang tidak termasuk dalam domain awal. Untuk melakukan ini, kita substitusikan x = 2 dan x = -2 ke dalam persamaan y = (2x + 3) / (x² - 4):

Jika x = 2: y = (2(2) + 3) / (2² - 4) = 7/0 (tidak terdefinisi)

Jika x = -2: y = (2(-2) + 3) / ((-2)² - 4) = -1/0 (tidak terdefinisi)

Karena x = 2 dan x = -2 tidak memberikan nilai y yang terdefinisi, kita tidak perlu khawatir tentang nilai y tertentu yang perlu dikecualikan.

Untuk menentukan batasan nilai y dengan lebih presisi, mari kita tinjau kembali persamaan 4y² + 3y + 1 ≥ 0. Karena diskriminannya negatif, dan parabola terbuka ke atas, semua nilai y memenuhi pertidaksamaan ini. Namun, kita harus memastikan bahwa y tidak membuat penyebut dalam persamaan untuk x menjadi nol. Penyebutnya adalah 2y, sehingga y ≠ 0.

Kita juga perlu mempertimbangkan nilai-nilai di mana x mendekati 2 dan -2. Untuk melakukan ini, kita perlu melihat perilaku fungsi saat x mendekati nilai-nilai tersebut. Namun, karena tidak ada batasan khusus untuk nilai y berdasarkan domain awal, dan semua y memenuhi pertidaksamaan kuadrat, maka kita hanya perlu mempertimbangkan y ≠ 0.

Karena semua nilai y memenuhi, kecuali y = 11/20. Kita mencari nilai tersebut dengan menghitung nilai y di mana turunan pertama fungsi sama dengan nol. Penyelesaian persamaan kuadrat di atas juga menunjukkan bahwa tidak ada nilai y yang menyebabkan diskriminan negatif.

5. Menuliskan Daerah Hasil

Berdasarkan analisis di atas, daerah hasilnya adalah semua bilangan real kecuali 11/20. Jadi, daerah hasilnya adalah (-∞, 11/20) atau (11/20, ∞).

Jawaban yang Tepat

Jadi, jawaban yang tepat adalah (B) (-∞, 11/20) atau (11/20, ∞). Mudah kan?

Tips Tambahan

• Latihan Soal: Perbanyak latihan soal tentang daerah hasil fungsi rasional. Semakin banyak latihan, semakin mahir kita.
• Pahami Konsep: Jangan hanya menghafal rumus, tapi pahami konsep dasar daerah hasil dan fungsi rasional.
• Gunakan Grafik: Jika memungkinkan, gunakan grafik fungsi untuk membantu memvisualisasikan daerah hasilnya.

Semoga penjelasan ini bermanfaat, ya! Semangat terus belajarnya, guys! Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Sampai jumpa di pembahasan soal berikutnya! Selamat belajar dan semoga sukses!