Cara Mudah Menentukan Persamaan Bayangan Lingkaran Dengan Dilatasi

Guys, kali ini kita akan membahas tuntas tentang cara menentukan persamaan bayangan lingkaran. Tepatnya, kita akan fokus pada soal yang melibatkan dilatasi. Dilatasi itu sendiri adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu objek tanpa mengubah bentuknya. Dalam konteks soal ini, kita akan mencari bayangan lingkaran $L$ dengan persamaan $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0$ setelah mengalami dilatasi. Tapi tenang, caranya gampang kok! Mari kita bedah bersama.

Memahami Konsep Dilatasi

Pertama-tama, mari kita pahami dulu apa itu dilatasi. Dilatasi itu seperti kita menggunakan kaca pembesar pada sebuah gambar. Pusat dilatasi adalah titik acuan kita, dan faktor skala menentukan seberapa besar gambar diperbesar atau diperkecil. Jika faktor skalanya lebih dari 1, gambar akan diperbesar; jika kurang dari 1, gambar akan diperkecil; dan jika sama dengan 1, maka gambar tidak berubah ukurannya. Dalam soal kita, pusat dilatasinya adalah $O(0, 0)$ dan faktor skalanya adalah 2. Artinya, setiap titik pada lingkaran $L$ akan “ditarik” menjauhi titik pusat $O$ sebanyak dua kali lipat.

Secara matematis, jika kita punya titik $(x, y)$ dan didilatasikan dengan pusat $O(0, 0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangannya adalah $(kx, ky)$. Jadi, kalau kita punya titik $P(x, y)$ pada lingkaran $L$, maka bayangan titik $P$ setelah dilatasi adalah $P'(2x, 2y)$ karena faktor skalanya 2. Sekarang, bagaimana cara kita menemukan persamaan bayangan lingkarannya?

Langkah-Langkah Menentukan Persamaan Bayangan

Oke, langsung saja ke langkah-langkahnya! Kita akan mulai dengan persamaan lingkaran awal, $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0$. Tujuan kita adalah mendapatkan persamaan baru yang merepresentasikan bayangan lingkaran setelah dilatasi.

1. Tentukan hubungan antara titik awal dan bayangan. Seperti yang sudah kita bahas, jika $P(x, y)$ adalah titik pada lingkaran awal dan $P'(x', y')$ adalah bayangannya setelah dilatasi dengan faktor skala 2, maka berlaku:

   • $x' = 2x$
   • $y' = 2y$

2. Nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $x'$ dan $y'$. Dari persamaan di atas, kita bisa peroleh:

   • x = rac{x'}{2}
   • y = rac{y'}{2}

3. Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan lingkaran awal. Ganti setiap $x$ dan $y$ dalam persamaan $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0$ dengan rac{x'}{2} dan rac{y'}{2}:

   (rac{x'}{2})^2 + (rac{y'}{2})^2 - 6(rac{x'}{2}) - 4(rac{y'}{2}) + 9 = 0

4. Sederhanakan persamaan. Sekarang, kita sederhanakan persamaan yang kita dapatkan:

   rac{(x')^2}{4} + rac{(y')^2}{4} - 3x' - 2y' + 9 = 0

   Kalikan semua suku dengan 4 untuk menghilangkan pecahan:

   $(x')^2 + (y')^2 - 12x' - 8y' + 36 = 0$

5. Tuliskan persamaan bayangan. Terakhir, ganti $x'$ dengan $x$ dan $y'$ dengan $y$ untuk mendapatkan persamaan bayangan lingkaran dalam bentuk yang lebih umum:

   $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 36 = 0$

Voila! Kita sudah berhasil menemukan persamaan bayangan lingkaran setelah dilatasi.

Tips Tambahan dan Contoh Soal

Supaya makin jago, yuk kita bahas beberapa tips dan contoh soal tambahan. Ingat, kunci dari soal dilatasi adalah memahami hubungan antara titik awal, pusat dilatasi, faktor skala, dan bayangan.

• Pentingnya Pusat Dilatasi. Pusat dilatasi akan sangat mempengaruhi letak bayangan lingkaran. Jika pusatnya bukan $O(0, 0)$, maka perhitungan kita akan sedikit berbeda, namun prinsipnya tetap sama: cari hubungan antara titik awal dan bayangan, lalu substitusikan.
• Faktor Skala Negatif. Kalau faktor skalanya negatif, bayangan akan mengalami pembalikan. Misalnya, jika faktor skalanya -2, maka lingkaran akan diperbesar dua kali lipat dan terbalik terhadap pusat dilatasi.
• Latihan Soal. Guys, jangan cuma baca teori saja. Kerjakan banyak soal latihan untuk mengasah kemampuanmu. Coba ubah-ubah soalnya, misalnya dengan mengganti pusat dilatasi atau faktor skalanya. Semakin banyak latihan, semakin mahir kamu!

Contoh Soal Lain:

Misalkan kita punya lingkaran $L: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ dan didilatasikan dengan pusat $(2, -1)$ dan faktor skala 3. Gimana cara menyelesaikannya?

1. Tentukan hubungan antara titik awal dan bayangan. Jika $P(x, y)$ adalah titik pada lingkaran awal dan $P'(x', y')$ adalah bayangannya setelah dilatasi, maka berlaku:

   • $x' - 2 = 3(x - 2)$ => $x' = 3x - 4$
   • $y' + 1 = 3(y + 1)$ => $y' = 3y + 2$

2. Nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $x'$ dan $y'$:

   • x = rac{x' + 4}{3}
   • y = rac{y' - 2}{3}

3. Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan lingkaran awal:

   (rac{x' + 4}{3} - 1)^2 + (rac{y' - 2}{3} + 2)^2 = 4

4. Sederhanakan persamaan:

   (rac{x' + 1}{3})^2 + (rac{y' + 4}{3})^2 = 4

   rac{(x' + 1)^2}{9} + rac{(y' + 4)^2}{9} = 4

   $(x' + 1)^2 + (y' + 4)^2 = 36$

5. Tuliskan persamaan bayangan:

   $(x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 36$

Kesimpulan

Jadi, guys, menentukan persamaan bayangan lingkaran dengan dilatasi itu sebenarnya tidak sulit. Kuncinya adalah memahami konsep dilatasi, mengetahui bagaimana hubungan antara titik awal dan bayangan, serta teliti dalam melakukan perhitungan. Dengan latihan yang cukup, kamu pasti bisa menguasai materi ini dengan mudah! Jangan ragu untuk mencoba berbagai variasi soal dan teruslah belajar. Semangat! Semoga artikel ini bermanfaat.