Cara Mudah Menghitung Logaritma: ⁵log 16 × ²log √3 × ⁹log 5

by ADMIN 60 views

Guys, pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang kelihatannya rumit banget, kayak perhitungan logaritma ini: ⁵log 16 × ²log √3 × ⁹log 5? Nah, kalau iya, kalian gak sendirian! Banyak juga yang merasa pusing lihat soal ginian. Tapi tenang aja, di artikel ini kita bakal bahas tuntas cara menyelesaikannya dengan mudah dan pastinya bikin kalian paham.

Apa Itu Logaritma?

Sebelum kita masuk ke perhitungan, ada baiknya kita review sedikit tentang logaritma itu sendiri. Logaritma itu sebenarnya adalah kebalikan dari eksponen atau perpangkatan. Jadi, kalau kita punya persamaan aᵇ = c, maka dalam bentuk logaritma bisa ditulis sebagai ᵃlog c = b. Bingung? Gak apa-apa, kita kasih contoh biar lebih jelas.

Misalnya, kita punya 2³ = 8. Nah, dalam bentuk logaritma, ini bisa kita tulis jadi ²log 8 = 3. Artinya, 2 pangkat berapa yang hasilnya 8? Jawabannya adalah 3. Simpel kan?

Dalam logaritma, ada beberapa istilah penting yang perlu kalian tahu:

  • Basis (a): Angka yang dipangkatkan. Dalam contoh tadi, basisnya adalah 2.
  • Numerus (c): Hasil dari perpangkatan. Dalam contoh tadi, numerusnya adalah 8.
  • Hasil logaritma (b): Pangkat yang diperlukan. Dalam contoh tadi, hasil logaritmanya adalah 3.

Kenapa sih kita perlu belajar logaritma? Logaritma ini punya banyak banget aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, lho! Mulai dari menghitung skala Richter pada gempa bumi, menentukan tingkat keasaman (pH) suatu larutan, sampai dalam bidang keuangan untuk menghitung pertumbuhan investasi. Keren kan?

Sifat-Sifat Logaritma yang Wajib Kalian Ketahui

Nah, sebelum kita pecahkan soal ⁵log 16 × ²log √3 × ⁹log 5, ada beberapa sifat logaritma yang wajib kalian kuasai. Sifat-sifat ini akan sangat membantu kita dalam menyederhanakan perhitungan. Yuk, kita bahas satu per satu:

  1. Sifat Perkalian:
    • ᵃlog (b × c) = ᵃlog b + ᵃlog c
    • Sifat ini bilang, kalau ada logaritma dari perkalian dua bilangan, kita bisa pecah jadi penjumlahan dua logaritma dengan basis yang sama. Misalnya, ²log (4 × 2) = ²log 4 + ²log 2.
  2. Sifat Pembagian:
    • ᵃlog (b / c) = ᵃlog b - ᵃlog c
    • Mirip dengan sifat perkalian, tapi kalau ini untuk pembagian. Logaritma dari pembagian dua bilangan bisa dipecah jadi pengurangan dua logaritma dengan basis yang sama. Contohnya, ³log (9 / 3) = ³log 9 - ³log 3.
  3. Sifat Perpangkatan Numerus:
    • ᵃlog bⁿ = n × ᵃlog b
    • Kalau numerusnya dipangkatkan, pangkatnya bisa kita pindah ke depan jadi pengali. Misalnya, ²log 8² = 2 × ²log 8.
  4. Sifat Perpangkatan Basis:
    • ᵃⁿlog b = (1/n) × ᵃlog b
    • Kalau basisnya yang dipangkatkan, pangkatnya jadi pecahan dan jadi pengali juga, tapi posisinya jadi seper pangkatnya. Contohnya, 4log 8 = (1/2) × ²log 8 (karena 4 = 2²).
  5. Sifat Perubahan Basis:
    • ᵃlog b = (ᶜlog b) / (ᶜlog a)
    • Nah, ini sifat yang penting banget! Kita bisa mengubah basis logaritma sesuai keinginan kita. Caranya, kita buat pecahan dengan logaritma baru (basis c) dari numerus dibagi logaritma baru dari basis lama. Contohnya, ⁵log 16 = (²log 16) / (²log 5).
  6. Sifat Logaritma dengan Basis dan Numerus yang Sama:
    • ᵃlog a = 1
    • Kalau basis dan numerusnya sama, hasilnya pasti 1. Contohnya, ³log 3 = 1.
  7. Sifat Logaritma dengan Numerus 1:
    • ᵃlog 1 = 0
    • Logaritma dari 1 dengan basis apapun hasilnya pasti 0. Contohnya, ¹⁰log 1 = 0.

Dengan memahami sifat-sifat ini, kita bakal lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal logaritma. Sekarang, yuk kita coba terapkan sifat-sifat ini untuk memecahkan soal kita tadi!

Memecahkan Soal: ⁵log 16 × ²log √3 × ⁹log 5

Oke, sekarang kita kembali ke soal awal kita: ⁵log 16 × ²log √3 × ⁹log 5. Kelihatan rumit ya? Tapi jangan khawatir, kita bakal pecahkan langkah demi langkah.

  1. Ubah Bentuk Numerus:

    • Pertama, kita ubah dulu bentuk numerus yang bisa disederhanakan. Kita tahu bahwa 16 itu sama dengan 2⁴ dan √3 itu sama dengan 3¹/². Jadi, soalnya bisa kita tulis ulang jadi:
      • ⁵log 2⁴ × ²log 3¹/² × ⁹log 5

  2. Gunakan Sifat Perpangkatan Numerus:

    • Selanjutnya, kita gunakan sifat perpangkatan numerus (ᵃlog bⁿ = n × ᵃlog b) untuk memindahkan pangkat-pangkat di numerus ke depan:
      • 4 × ⁵log 2 × (1/2) × ²log 3 × ⁹log 5
      • Sederhanakan jadi:
      • 2 × ⁵log 2 × ²log 3 × ⁹log 5

  3. Ubah Basis Logaritma (Jika Perlu):

    • Nah, di sini kita perlu sedikit trik. Kita lihat basis-basis logaritmanya beda semua. Biar gampang, kita coba ubah basisnya jadi sama. Kita bisa pakai sifat perubahan basis (ᵃlog b = (ᶜlog b) / (ᶜlog a)). Tapi, kita juga bisa pakai sifat lain yang lebih praktis, yaitu sifat:
      • ᵃlog b × ᵇlog c = ᵃlog c
    • Sifat ini bilang, kalau ada perkalian dua logaritma dengan numerus logaritma pertama sama dengan basis logaritma kedua, hasilnya adalah logaritma dengan basis logaritma pertama dan numerus logaritma kedua.
    • Coba kita terapkan sifat ini ke soal kita. Kita punya ⁵log 2 dan ²log 3. Kalau kita kalikan, hasilnya adalah ⁵log 3:
      • ⁵log 2 × ²log 3 = ⁵log 3
    • Jadi, soal kita sekarang jadi:
      • 2 × ⁵log 3 × ⁹log 5

  4. Ubah Lagi Basis Logaritma:

    • Kita masih punya ⁵log 3 dan ⁹log 5. Basisnya masih beda. Kita coba ubah lagi. Kita bisa ubah ⁹log 5 jadi bentuk lain. Kita tahu bahwa 9 itu sama dengan 3², jadi kita bisa tulis ⁹log 5 jadi:
      • ³²log 5
    • Pakai sifat perpangkatan basis (ᵃⁿlog b = (1/n) × ᵃlog b), kita dapat:
      • ³²log 5 = (1/2) × ³log 5
    • Jadi, soal kita sekarang jadi:
      • 2 × ⁵log 3 × (1/2) × ³log 5
      • Sederhanakan jadi:
      • ⁵log 3 × ³log 5

  5. Sederhanakan Lagi:

    • Nah, sekarang kita punya ⁵log 3 × ³log 5. Bentuknya mirip kayak sifat yang tadi kita pakai (ᵃlog b × ᵇlog c = ᵃlog c). Jadi, kita bisa langsung sederhanakan jadi:
      • ⁵log 3 × ³log 5 = ⁵log 5

  6. Hasil Akhir:

    • Terakhir, kita punya ⁵log 5. Ingat sifat logaritma dengan basis dan numerus yang sama (ᵃlog a = 1)? Jadi, ⁵log 5 = 1.
    • Selesai! Hasil dari perhitungan ⁵log 16 × ²log √3 × ⁹log 5 adalah 1.

Kesimpulan

Gimana guys, gak terlalu susah kan? Kunci dari menyelesaikan soal logaritma adalah memahami sifat-sifatnya dan berlatih terus. Dengan sering latihan, kalian bakal makin jago dan bisa lihat pola-pola soalnya. So, jangan menyerah ya! Matematika itu sebenarnya seru kok, asalkan kita tahu triknya.

Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian. Kalau ada pertanyaan atau mau request pembahasan soal lainnya, jangan ragu tulis di kolom komentar ya! Sampai jumpa di artikel selanjutnya!