Cara Mudah Menghitung Nilai 'a' Dalam Turunan Fungsi

Hai guys! Kali ini, kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik, nih. Soalnya, kita akan mencari nilai 'a' dari suatu fungsi turunan. Tenang aja, caranya nggak sesulit yang dibayangkan kok! Kita akan kupas tuntas langkah demi langkah, sehingga kalian bisa memahami konsepnya dengan mudah. Jadi, siapkan diri kalian untuk belajar matematika yang seru dan menantang! Yuk, langsung aja kita mulai!

Memahami Soal dan Konsep Dasar

Diketahui kita punya dua fungsi, yaitu $f(x) = ax^2 - x + 1$ dan $g(x) = x^2 - ax + 2$. Kemudian, kita juga tahu bahwa ada fungsi $h(x)$ yang merupakan hasil bagi dari $f(x)$ dan $g(x)$, atau bisa ditulis h(x) = rac{f(x)}{g(x)}. Nah, yang bikin menarik, kita diberi informasi tambahan bahwa turunan pertama dari $h(x)$ pada saat $x = 0$, atau $h'(0)$, nilainya adalah $-1$. Tugas kita adalah mencari nilai 'a' yang memenuhi kondisi tersebut. Gampang kan?

Sebelum kita mulai, ada baiknya kita ingat-ingat kembali konsep dasar turunan fungsi. Turunan fungsi adalah konsep penting dalam kalkulus yang menggambarkan bagaimana suatu fungsi berubah seiring dengan perubahan nilai inputnya. Dalam konteks soal ini, kita akan menggunakan aturan turunan hasil bagi. Aturan ini sangat penting untuk menyelesaikan soal ini. Aturan turunan hasil bagi menyatakan bahwa jika kita memiliki fungsi h(x) = rac{u(x)}{v(x)}, maka turunan pertamanya, $h'(x)$, dapat dihitung dengan rumus: h'(x) = rac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}.

Penting banget buat kalian pahami konsep ini, karena tanpa pemahaman yang baik, kita akan kesulitan menyelesaikan soal ini. Jadi, pastikan kalian sudah paham betul sebelum melanjutkan ke langkah berikutnya. Selain itu, jangan lupa juga konsep turunan dari fungsi-fungsi dasar seperti turunan dari $x^n$ yang hasilnya adalah $nx^{n-1}$. Dengan mengingat konsep-konsep dasar ini, kita akan bisa menyelesaikan soal ini dengan lebih mudah dan efisien. Jadi, siapkan catatan kalian, dan mari kita mulai petualangan matematika ini!

Menghitung Turunan Fungsi f(x) dan g(x)

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah menghitung turunan dari fungsi $f(x)$ dan $g(x)$. Hal ini penting karena kita akan menggunakan turunan-turunan ini dalam rumus turunan hasil bagi. Kita mulai dari $f(x) = ax^2 - x + 1$. Untuk mencari turunan $f(x)$, atau $f'(x)$, kita akan turunkan setiap suku dalam fungsi tersebut. Ingat, turunan dari $ax^2$ adalah $2ax$, turunan dari $-x$ adalah $-1$, dan turunan dari konstanta $1$ adalah $0$. Jadi, turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x) = 2ax - 1$. Gampang, kan?

Selanjutnya, kita akan mencari turunan dari $g(x) = x^2 - ax + 2$. Sama seperti sebelumnya, kita turunkan setiap suku. Turunan dari $x^2$ adalah $2x$, turunan dari $-ax$ adalah $-a$, dan turunan dari konstanta $2$ adalah $0$. Jadi, turunan dari $g(x)$ adalah $g'(x) = 2x - a$. Nah, sekarang kita sudah punya semua yang kita butuhkan untuk menyelesaikan soal ini. Kita sudah punya $f(x)$, $g(x)$, $f'(x)$, dan $g'(x)$. Mantap!

Ingat ya, ketelitian dalam menghitung turunan sangat penting. Kesalahan kecil saja bisa membuat perhitungan kita menjadi salah. Jadi, pastikan kalian teliti dalam menghitung turunan setiap suku. Jika perlu, ulangi lagi perhitungan kalian untuk memastikan tidak ada kesalahan. Jangan terburu-buru, dan nikmati prosesnya. Dengan begitu, kalian akan semakin mahir dalam menyelesaikan soal-soal turunan. Ingat, latihan adalah kunci! Semakin sering kalian berlatih, semakin mudah kalian memahami konsep dan menyelesaikan soal-soal matematika. Semangat!

Mengaplikasikan Aturan Turunan Hasil Bagi

Sekarang, saatnya kita mengaplikasikan aturan turunan hasil bagi untuk mencari $h'(x)$. Ingat rumus yang sudah kita sebutkan di awal: h'(x) = rac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}. Kita sudah punya semua komponen yang dibutuhkan, jadi tinggal kita substitusikan saja.

Substitusikan $f'(x) = 2ax - 1$, $g(x) = x^2 - ax + 2$, $f(x) = ax^2 - x + 1$, dan $g'(x) = 2x - a$ ke dalam rumus tersebut. Maka, kita akan mendapatkan:

h'(x) = rac{(2ax - 1)(x^2 - ax + 2) - (ax^2 - x + 1)(2x - a)}{(x^2 - ax + 2)^2}.

Nah, sekarang kita punya ekspresi untuk $h'(x)$. Langkah selanjutnya adalah menyederhanakan ekspresi ini. Kita akan melakukan ekspansi dan penyederhanaan aljabar. Perhatikan dengan seksama, karena di sinilah letak ketelitian kita diuji. Jangan sampai ada kesalahan dalam perkalian atau pengurangan. Kerjakan dengan hati-hati, dan pastikan setiap langkah kalian benar. Setelah kita menyederhanakan ekspresi ini, kita akan mendapatkan bentuk yang lebih mudah untuk dianalisis. Jadi, siapkan kertas dan pensil kalian, dan mari kita mulai menyederhanakan.

Setelah kita melakukan ekspansi dan penyederhanaan, kita akan mendapatkan:

h'(x) = rac{(2ax^3 - 2a^2x^2 + 4ax - x^2 + ax - 2) - (2ax^3 - a^2x^2 - 2x^2 + ax - a)}{(x^2 - ax + 2)^2}

Sederhanakan lagi, maka:

h'(x) = rac{-a^2x^2 + 4ax - x^2 + ax - 2 + a^2x^2 + 2x^2 - ax + a}{(x^2 - ax + 2)^2}

h'(x) = rac{x^2 + 4ax + a - 2}{(x^2 - ax + 2)^2}

Good job, guys! Kita sudah berhasil menyederhanakan ekspresi $h'(x)$. Sekarang, kita sudah selangkah lebih dekat untuk menemukan nilai 'a'.

Mencari Nilai 'a' dengan Kondisi h'(0) = -1

Kita sudah punya ekspresi untuk $h'(x)$. Sekarang, kita akan menggunakan informasi tambahan yang diberikan dalam soal, yaitu $h'(0) = -1$. Artinya, jika kita substitusikan $x = 0$ ke dalam $h'(x)$, hasilnya harus sama dengan $-1$. Mari kita lakukan!

Substitusikan $x = 0$ ke dalam h'(x) = rac{x^2 + 4ax + a - 2}{(x^2 - ax + 2)^2}. Maka, kita akan mendapatkan:

h'(0) = rac{0^2 + 4a(0) + a - 2}{(0^2 - a(0) + 2)^2}

h'(0) = rac{a - 2}{4}

Kita tahu bahwa $h'(0) = -1$. Jadi, kita bisa menuliskan persamaan:

rac{a - 2}{4} = -1

Untuk mencari nilai 'a', kita tinggal menyelesaikan persamaan ini. Kalikan kedua sisi dengan 4, maka kita akan mendapatkan:

$a - 2 = -4$

Tambahkan 2 ke kedua sisi, maka:

$a = -2$

Yesss! Kita sudah menemukan nilai 'a'. Jadi, nilai 'a' yang memenuhi kondisi $h'(0) = -1$ adalah $-2$. Kita sudah menyelesaikan soal ini dengan tuntas! Keren

Kesimpulan dan Pilihan Jawaban

Jadi, berdasarkan perhitungan yang sudah kita lakukan, nilai 'a' yang memenuhi adalah $-2$. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah (A) $-2$. Selamat bagi kalian yang sudah berhasil mengikuti langkah-langkah di atas dan menemukan jawaban yang benar! Ini adalah bukti bahwa kalian memiliki kemampuan yang luar biasa dalam memahami konsep turunan dan mengaplikasikannya dalam menyelesaikan soal-soal matematika.

Sebagai penutup, ingatlah bahwa matematika adalah tentang latihan dan ketekunan. Jangan pernah menyerah, teruslah belajar, dan jangan takut untuk mencoba. Dengan terus berlatih, kalian akan semakin mahir dalam menyelesaikan soal-soal matematika, dan kalian akan semakin mencintai matematika. Sampai jumpa di pembahasan soal-soal matematika lainnya, ya! Semoga sukses selalu dalam belajar! Jika ada yang ingin ditanyakan, jangan ragu untuk bertanya, ya!