Cara Mudah Menghitung Sisa Pembagian Suku Banyak

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika tentang suku banyak. Soal ini sering muncul, jadi penting banget untuk dipahami. Kita akan mencari sisa pembagian suatu suku banyak $P(x)$ jika dibagi oleh $(x^2-4x+3)$. Nah, informasi yang kita punya adalah sisa pembagian $P(x)$ saat dibagi oleh $(x^2-3x)$ dan $(x^2-1)$. Yuk, kita bedah soalnya!

Memahami Soal dan Konsep Dasar

Pertama-tama, mari kita pahami dulu apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan. Kita punya suku banyak $P(x)$, dan kita tahu beberapa informasi penting tentang sisa pembagiannya. Kalau $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-3x)$, sisanya $(2x-9)$. Lalu, kalau $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-1)$, sisanya $(-5x-6)$. Pertanyaannya, kalau $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-4x+3)$, berapa sisanya?

Konsep dasar yang perlu diingat adalah teorema sisa. Teorema sisa mengatakan bahwa jika suatu suku banyak $P(x)$ dibagi oleh $(x-k)$, maka sisanya adalah $P(k)$. Konsep ini akan sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal ini. Selain itu, kita juga perlu memahami bahwa jika pembagi adalah suku banyak berderajat dua (seperti pada soal ini), maka sisa pembagiannya akan berbentuk suku banyak berderajat satu, yaitu $ax + b$. Jadi, tujuan kita adalah mencari nilai $a$ dan $b$.

Mari kita pecah soal ini menjadi beberapa langkah supaya lebih mudah dipahami. Kita akan menggunakan informasi yang diberikan untuk menemukan persamaan-persamaan yang akan membantu kita mencari sisa pembagian yang ditanyakan. Jangan khawatir, kita akan lakukan ini langkah demi langkah, jadi pasti bisa dipahami, guys!

Langkah-langkah Penyelesaian Soal

Langkah 1: Menggunakan Informasi Sisa Pembagian Pertama

Kita mulai dengan informasi pertama: $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-3x)$ sisanya $(2x-9)$. Kita bisa tuliskan persamaan ini sebagai:

$P(x) = (x^2 - 3x) imes H_1(x) + (2x - 9)$

Di mana $H_1(x)$ adalah hasil bagi dari pembagian tersebut. Kita bisa faktorkan $(x^2 - 3x)$ menjadi $x(x-3)$. Ini akan berguna nanti. Kita bisa substitusi nilai $x = 0$ dan $x = 3$ ke dalam persamaan di atas untuk mendapatkan informasi lebih lanjut.

• Untuk x = 0: $P(0) = (0^2 - 3 imes 0) imes H_1(0) + (2 imes 0 - 9)$, yang menyederhanakan menjadi $P(0) = -9$.
• Untuk x = 3: $P(3) = (3^2 - 3 imes 3) imes H_1(3) + (2 imes 3 - 9)$, yang menyederhanakan menjadi $P(3) = -3$.

Kita simpan informasi ini, karena akan kita gunakan nanti untuk menyelesaikan soal.

Langkah 2: Menggunakan Informasi Sisa Pembagian Kedua

Selanjutnya, kita gunakan informasi kedua: $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-1)$ sisanya $(-5x-6)$. Kita bisa tuliskan persamaan ini sebagai:

$P(x) = (x^2 - 1) imes H_2(x) + (-5x - 6)$

Di mana $H_2(x)$ adalah hasil bagi dari pembagian tersebut. Kita bisa faktorkan $(x^2 - 1)$ menjadi $(x-1)(x+1)$. Sama seperti sebelumnya, kita akan substitusi nilai $x = 1$ dan $x = -1$ ke dalam persamaan di atas.

• Untuk x = 1: $P(1) = (1^2 - 1) imes H_2(1) + (-5 imes 1 - 6)$, yang menyederhanakan menjadi $P(1) = -11$.
• Untuk x = -1: $P(-1) = ((-1)^2 - 1) imes H_2(-1) + (-5 imes -1 - 6)$, yang menyederhanakan menjadi $P(-1) = -1$.

Kita punya dua informasi lagi yang akan kita gunakan nanti.

Langkah 3: Menentukan Sisa Pembagian yang Ditanyakan

Sekarang, kita fokus pada pertanyaan utama: jika $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-4x+3)$, berapa sisanya? Kita bisa faktorkan $(x^2 - 4x + 3)$ menjadi $(x-1)(x-3)$. Karena pembagi berderajat dua, maka sisanya akan berbentuk $ax + b$. Jadi, kita bisa tuliskan:

$P(x) = (x^2 - 4x + 3) imes H_3(x) + (ax + b)$

Di mana $H_3(x)$ adalah hasil bagi dari pembagian tersebut. Kita akan gunakan informasi yang sudah kita dapatkan di langkah-langkah sebelumnya.

Perhatikan, $(x^2 - 4x + 3) = (x-1)(x-3)$. Artinya, jika kita substitusi $x = 1$ dan $x = 3$ ke dalam persamaan di atas, maka suku yang mengandung $H_3(x)$ akan menjadi nol.

• Untuk x = 1: $P(1) = (1 - 1)(1 - 3) imes H_3(1) + (a imes 1 + b)$, yang menyederhanakan menjadi $P(1) = a + b$. Kita sudah tahu bahwa $P(1) = -11$ (dari langkah 2), jadi kita punya persamaan $a + b = -11$.
• Untuk x = 3: $P(3) = (3 - 1)(3 - 3) imes H_3(3) + (a imes 3 + b)$, yang menyederhanakan menjadi $P(3) = 3a + b$. Kita sudah tahu bahwa $P(3) = -3$ (dari langkah 1), jadi kita punya persamaan $3a + b = -3$.

Sekarang, kita punya dua persamaan dengan dua variabel: $a + b = -11$ dan $3a + b = -3$. Kita bisa selesaikan sistem persamaan ini untuk mencari nilai $a$ dan $b$.

Langkah 4: Menyelesaikan Sistem Persamaan

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, misalnya dengan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi. Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:

$(3a + b) - (a + b) = -3 - (-11)$

Yang menyederhanakan menjadi:

$2a = 8$

Maka, $a = 4$. Sekarang, substitusi nilai $a$ ke salah satu persamaan awal. Misalnya, kita gunakan persamaan $a + b = -11$:

$4 + b = -11$

Maka, $b = -15$. Jadi, kita dapatkan $a = 4$ dan $b = -15$.

Langkah 5: Menentukan Sisa Pembagian Akhir

Ingat, sisa pembagiannya berbentuk $ax + b$. Karena kita sudah menemukan $a = 4$ dan $b = -15$, maka sisa pembagiannya adalah $4x - 15$. Voila! Kita sudah menemukan jawabannya.

Kesimpulan

Jadi, jika suku banyak $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-4x+3)$, sisa pembagiannya adalah $4x - 15$. Jawaban yang benar adalah A. $(4x-15)$. Gimana guys, mudah kan? Kuncinya adalah memahami konsep teorema sisa, memecah soal menjadi langkah-langkah yang lebih kecil, dan jangan takut untuk mencoba. Dengan latihan, soal-soal seperti ini pasti bisa dikuasai!

Tips: Selalu perhatikan bentuk pembagi dan sisa pembagiannya. Jika pembagi berderajat dua, maka sisa pembagiannya pasti berderajat satu. Gunakan informasi yang diberikan untuk mencari persamaan-persamaan yang relevan. Jangan lupa untuk berlatih soal-soal serupa agar semakin mahir. Semangat belajar, guys!