Cara Mudah Menghitung Vektor Satuan Yang Tegak Lurus: Panduan Lengkap

by ADMIN 70 views

Selamat datang, guys! Kali ini, kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik, yaitu tentang vektor satuan yang tegak lurus dengan dua vektor lain. Soalnya kira-kira seperti ini: Jika A⃗=4i^−j^+3k^\vec{A} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} dan B⃗=−2i^+j^−2k^\vec{B} = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}, tentukan vektor satuan yang tegak lurus pada vektor A⃗\vec{A} dan tegak lurus vektor B⃗\vec{B}. Jangan khawatir, kita akan membahasnya dengan santai dan mudah dipahami, kok.

Memahami Konsep Dasar: Vektor, Perkalian Silang, dan Vektor Satuan

Sebelum kita mulai berhitung, ada baiknya kita review sedikit konsep dasar yang akan kita gunakan. Pertama, apa itu vektor? Sederhananya, vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam soal ini, kita berurusan dengan vektor dalam ruang tiga dimensi, yang biasanya dinyatakan dalam bentuk komponen i^\hat{i}, j^\hat{j}, dan k^\hat{k}, yang masing-masing mewakili arah sumbu x, y, dan z. Jadi, ketika kita melihat A⃗=4i^−j^+3k^\vec{A} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}, itu artinya vektor A⃗\vec{A} memiliki komponen 4 pada arah x, -1 pada arah y, dan 3 pada arah z. Paham, ya?

Nah, untuk mencari vektor yang tegak lurus dengan dua vektor lainnya, kita akan menggunakan konsep perkalian silang (cross product). Perkalian silang dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor awal. Rumusnya mungkin terlihat sedikit rumit pada awalnya, tapi tenang saja, kita akan pelan-pelan.

Terakhir, kita perlu tahu apa itu vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang (magnitude) sebesar 1 dan arah yang sama dengan vektor aslinya. Jadi, jika kita sudah menemukan vektor yang tegak lurus, kita perlu mencari vektor satuannya agar panjangnya menjadi 1. Caranya adalah dengan membagi setiap komponen vektor dengan panjang vektor tersebut.

Jadi, secara singkat, langkah-langkah yang akan kita lakukan adalah:

  1. Mencari vektor hasil perkalian silang A⃗\vec{A} dan B⃗\vec{B}.
  2. Mencari panjang (magnitude) dari vektor hasil perkalian silang.
  3. Membagi setiap komponen vektor hasil perkalian silang dengan panjangnya untuk mendapatkan vektor satuan.

Gimana, siap untuk mulai berhitung? Yuk, kita mulai!

Langkah-Langkah Menghitung Vektor Satuan yang Tegak Lurus

Oke, sekarang kita masuk ke inti dari pembahasan kita, yaitu menghitung vektor satuan yang tegak lurus terhadap A⃗\vec{A} dan B⃗\vec{B}. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, kita akan menggunakan perkalian silang. Rumus perkalian silang A⃗×B⃗\vec{A} \times \vec{B} adalah:

A⃗×B⃗=(AyBz−AzBy)i^−(AxBz−AzBx)j^+(AxBy−AyBx)k^\vec{A} \times \vec{B} = (A_yB_z - A_zB_y)\hat{i} - (A_xB_z - A_zB_x)\hat{j} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{k}

Dengan A⃗=4i^−j^+3k^\vec{A} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} dan B⃗=−2i^+j^−2k^\vec{B} = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}, kita bisa substitusikan nilai-nilai komponennya:

  • Ax=4A_x = 4, Ay=−1A_y = -1, Az=3A_z = 3
  • Bx=−2B_x = -2, By=1B_y = 1, Bz=−2B_z = -2

Substitusikan ke dalam rumus:

A⃗×B⃗=((−1)(−2)−(3)(1))i^−((4)(−2)−(3)(−2))j^+((4)(1)−(−1)(−2))k^\vec{A} \times \vec{B} = ((-1)(-2) - (3)(1))\hat{i} - ((4)(-2) - (3)(-2))\hat{j} + ((4)(1) - (-1)(-2))\hat{k} A⃗×B⃗=(2−3)i^−(−8+6)j^+(4−2)k^\vec{A} \times \vec{B} = (2 - 3)\hat{i} - (-8 + 6)\hat{j} + (4 - 2)\hat{k} A⃗×B⃗=−1i^+2j^+2k^\vec{A} \times \vec{B} = -1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}

Yess! Kita sudah menemukan vektor hasil perkalian silangnya. Sekarang, kita perlu mencari panjang (magnitude) dari vektor ini. Rumus untuk mencari panjang vektor adalah:

∣V⃗∣=Vx2+Vy2+Vz2|\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2}

Dengan V⃗=−1i^+2j^+2k^\vec{V} = -1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}, maka:

∣V⃗∣=(−1)2+22+22|\vec{V}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} ∣V⃗∣=1+4+4|\vec{V}| = \sqrt{1 + 4 + 4} ∣V⃗∣=9|\vec{V}| = \sqrt{9} ∣V⃗∣=3|\vec{V}| = 3

Nah, sekarang kita sudah tahu panjang vektornya adalah 3. Langkah terakhir adalah mencari vektor satuannya. Caranya adalah dengan membagi setiap komponen vektor hasil perkalian silang dengan panjangnya.

u^=V⃗∣V⃗∣\hat{u} = \frac{\vec{V}}{|\vec{V}|} u^=−1i^+2j^+2k^3\hat{u} = \frac{-1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3} u^=−13i^+23j^+23k^\hat{u} = -\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}

Jadi, vektor satuan yang tegak lurus dengan A⃗\vec{A} dan B⃗\vec{B} adalah −13i^+23j^+23k^- \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}.

Tapi tunggu dulu! Dalam soal, jawabannya adalah ±(i^−2j^−2k^)/3\pm(\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})/3. Kenapa bisa begitu?

Memahami Dua Kemungkinan Vektor Satuan

Nah, ini dia bagian yang menarik! Sebenarnya, ada dua vektor satuan yang memenuhi syarat tegak lurus terhadap A⃗\vec{A} dan B⃗\vec{B}. Kenapa bisa begitu?

Perhatikan bahwa perkalian silang A⃗×B⃗\vec{A} \times \vec{B} menghasilkan vektor yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh A⃗\vec{A} dan B⃗\vec{B}. Tetapi, ada dua arah yang tegak lurus terhadap bidang tersebut: satu ke atas dan satu lagi ke bawah. Oleh karena itu, kita mendapatkan dua kemungkinan vektor satuan.

Jika kita mengganti urutan perkalian silang, yaitu B⃗×A⃗\vec{B} \times \vec{A}, maka kita akan mendapatkan vektor yang arahnya berlawanan dengan A⃗×B⃗\vec{A} \times \vec{B}. Jadi, vektor satuannya juga akan berlawanan.

Mari kita hitung B⃗×A⃗\vec{B} \times \vec{A}:

B⃗×A⃗=(ByAz−BzAy)i^−(BxAz−BzAx)j^+(BxAy−ByAx)k^\vec{B} \times \vec{A} = (B_yA_z - B_zA_y)\hat{i} - (B_xA_z - B_zA_x)\hat{j} + (B_xA_y - B_yA_x)\hat{k} B⃗×A⃗=((1)(3)−(−2)(−1))i^−((−2)(3)−(−2)(4))j^+((−2)(−1)−(1)(4))k^\vec{B} \times \vec{A} = ((1)(3) - (-2)(-1))\hat{i} - ((-2)(3) - (-2)(4))\hat{j} + ((-2)(-1) - (1)(4))\hat{k} B⃗×A⃗=(3−2)i^−(−6+8)j^+(2−4)k^\vec{B} \times \vec{A} = (3 - 2)\hat{i} - (-6 + 8)\hat{j} + (2 - 4)\hat{k} B⃗×A⃗=1i^−2j^−2k^\vec{B} \times \vec{A} = 1\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}

Sekarang, cari panjang vektornya:

∣V⃗∣=12+(−2)2+(−2)2=1+4+4=3|\vec{V}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

Terakhir, cari vektor satuannya:

u^=1i^−2j^−2k^3=13i^−23j^−23k^\hat{u} = \frac{1\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}\hat{i} - \frac{2}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k}

Jadi, salah satu kemungkinan vektor satuannya adalah 13i^−23j^−23k^\frac{1}{3}\hat{i} - \frac{2}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k}, atau bisa juga ditulis ±(i^−2j^−2k^)/3\pm(\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})/3. Voila! Sekarang kita tahu kenapa ada dua jawaban.

Kesimpulan dan Tips Tambahan

  • Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1, yang mengindikasikan arah tanpa mempertimbangkan besaran.
  • Perkalian silang menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan dua vektor awal.
  • Ada dua kemungkinan vektor satuan yang memenuhi syarat tegak lurus.

Guys, matematika memang kadang terlihat rumit, tapi dengan memahami konsep dasar dan berlatih secara konsisten, semuanya akan menjadi lebih mudah. Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain dan terus belajar. Semangat! Jika ada pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya. Sampai jumpa di pembahasan soal berikutnya! See ya!