Cari Konstanta A & B: Fungsi Kontinu

Hai, teman-teman matematikawan! Kali ini kita akan bahas tuntas soal menentuikan konstanta $a$ dan $b$ agar sebuah fungsi yang terdefinisi secara piecewise alias terpecah-pecah bisa jadi kontinu di seluruh bilangan real ($\mathbb{R}$). Ini topik yang seru banget, lho, karena menyangkut pemahaman fundamental tentang kekontinuan fungsi. Siap? Yuk, kita mulai petualangan matematika kita!

Memahami Konsep Kekontinuan Fungsi

Sebelum kita terjun ke soalnya, penting banget nih buat kita inget-inget lagi apa sih artinya fungsi kontinu itu? Gampangnya gini, guys, sebuah fungsi itu disebut kontinu di suatu titik kalau kita bisa menggambarnya tanpa mengangkat pensil. Nah, secara matematis, ada tiga syarat utama yang harus dipenuhi agar fungsi $f(x)$ kontinu di titik $x=c$:

1. $f(c)$ terdefinisi. Alias, nilai fungsi di titik $c$ itu ada.
2. Limit $\lim_{x \to c} f(x)$ ada. Ini artinya, limit dari kiri dan limit dari kanan di titik $c$ itu nilainya sama.
3. Nilai fungsi di titik $c$ sama dengan limitnya, yaitu $f(c) = \lim_{x \to c} f(x)$.

Kalau ketiga syarat ini terpenuhi di setiap titik, barulah fungsinya bisa dibilang kontinu di seluruh domainnya. Untuk soal kita kali ini, kita punya fungsi yang definisinya berubah di $x=2$ dan $x=3$. Jadi, kita harus memastikan kekontinuan fungsi ini di kedua titik krusial tersebut. Fokus di sini adalah bagaimana kita memanfaatkan syarat-syarat kekontinuan ini untuk mencari nilai $a$ dan $b$ yang tidak diketahui.

Menganalisis Fungsi yang Diberikan

Oke, mari kita lihat fungsi yang dikasih:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, & x < 2 \\ ax^2 - bx + 3, & 2 \le x < 3 \\ 2x - a + b, & x \ge 3 \end{cases}$

Fungsi ini punya tiga bagian. Bagian pertama berlaku untuk $x$ yang lebih kecil dari 2. Bagian kedua berlaku untuk $x$ yang berada di antara 2 sampai sebelum 3. Dan bagian ketiga berlaku untuk $x$ yang sama dengan atau lebih besar dari 3. Nah, agar fungsi ini kontinu di $\mathbb{R}$, kita harus memastikan dia kontinu di titik-titik di mana definisinya berubah, yaitu di $x=2$ dan $x=3$.

Memastikan Kontinuitas di $x=2$

Di titik $x=2$, kita punya dua bagian definisi fungsi yang 'bertemu': bagian pertama (rac{x^2-4}{x-2}) dan bagian kedua ($ax^2 - bx + 3$). Agar kontinu di $x=2$, syarat-syarat di atas harus terpenuhi. Mari kita cek:

• Syarat 1: $f(2)$ terdefinisi. Menurut definisi fungsi, untuk $x=2$, kita gunakan bagian kedua: $f(2) = a(2)^2 - b(2) + 3 = 4a - 2b + 3$. Jadi, $f(2)$ terdefinisi.

• Syarat 2: $\lim_{x \to 2} f(x)$ ada. Ini berarti limit dari kiri harus sama dengan limit dari kanan.

  • Limit dari kiri ($x \to 2^-$): Kita gunakan bagian pertama karena $x < 2$. Tapi hati-hati, rac{x^2-4}{x-2} ini kalau disubstitusi langsung $x=2$ jadinya rac{0}{0}, bentuk tak tentu. Kita perlu menyederhanakannya dulu. Ingat selisih kuadrat: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Jadi, untuk $x \ne 2$, $\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$. Maka, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x+2) = 2+2 = 4$.
  • Limit dari kanan ($x \to 2^+$): Kita gunakan bagian kedua karena $x \ge 2$. Jadi, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (ax^2 - bx + 3) = a(2)^2 - b(2) + 3 = 4a - 2b + 3$.

  Agar limitnya ada, limit kiri harus sama dengan limit kanan: $4 = 4a - 2b + 3$.

• Syarat 3: $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$. Karena kita sudah membuat limit kiri = limit kanan = $f(2)$, syarat ketiga ini otomatis terpenuhi jika syarat kedua terpenuhi. Jadi, dari kontinuitas di $x=2$, kita dapatkan persamaan pertama:

  $4a - 2b + 3 = 4$ $4a - 2b = 1$ (Persamaan 1)

Memastikan Kontinuitas di $x=3$

Selanjutnya, kita pindah ke titik $x=3$. Di sini, dua bagian fungsi yang 'bertemu' adalah bagian kedua ($ax^2 - bx + 3$) dan bagian ketiga ($2x - a + b$). Agar kontinu di $x=3$, syarat-syarat kekontinuan harus terpenuhi lagi.

• Syarat 1: $f(3)$ terdefinisi. Menurut definisi fungsi, untuk $x=3$, kita gunakan bagian ketiga: $f(3) = 2(3) - a + b = 6 - a + b$. Jadi, $f(3)$ terdefinisi.

• Syarat 2: $\lim_{x \to 3} f(x)$ ada. Lagi-lagi, ini berarti limit dari kiri dan limit dari kanan harus sama.

  • Limit dari kiri ($x \to 3^-$): Kita gunakan bagian kedua karena $2 \le x < 3$. Jadi, $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (ax^2 - bx + 3) = a(3)^2 - b(3) + 3 = 9a - 3b + 3$.
  • Limit dari kanan ($x \to 3^+$): Kita gunakan bagian ketiga karena $x \ge 3$. Jadi, $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x - a + b) = 2(3) - a + b = 6 - a + b$.

  Agar limitnya ada, limit kiri harus sama dengan limit kanan: $9a - 3b + 3 = 6 - a + b$.

• Syarat 3: $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$. Sama seperti sebelumnya, jika syarat kedua terpenuhi, syarat ketiga otomatis terpenuhi. Jadi, dari kontinuitas di $x=3$, kita dapatkan persamaan kedua:

  $9a - 3b + 3 = 6 - a + b$ $9a + a - 3b - b = 6 - 3$ $10a - 4b = 3$ (Persamaan 2)

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Nah, sekarang kita punya dua persamaan linear dengan dua variabel $a$ dan $b$:

1. $4a - 2b = 1$
2. $10a - 4b = 3$

Kita bisa pakai metode substitusi atau eliminasi untuk mencari nilai $a$ dan $b$. Yuk, kita pakai metode eliminasi biar cepet!

Kita bisa kalikan Persamaan 1 dengan 2 agar koefisien $b$ sama (tapi berlawanan tanda jika kita mengurangkan, atau sama jika kita menambah). Atau, kita kalikan Persamaan 1 dengan 2, lalu kurangi dengan Persamaan 2.

Kalikan Persamaan 1 dengan 2: $2 imes (4a - 2b) = 2 imes 1$ $8a - 4b = 2$ (Persamaan 3)

Sekarang, kita kurangi Persamaan 2 dengan Persamaan 3: $(10a - 4b) - (8a - 4b) = 3 - 2$ $10a - 4b - 8a + 4b = 1$ $2a = 1$ $a = \frac{1}{2}$

Asik! Kita sudah dapat nilai $a$. Sekarang, kita substitusikan nilai $a = \frac{1}{2}$ ke salah satu persamaan awal, misalnya Persamaan 1:

$4a - 2b = 1$ $4(\frac{1}{2}) - 2b = 1$ $2 - 2b = 1$ $-2b = 1 - 2$ $-2b = -1$ $b = \frac{-1}{-2}$ $b = \frac{1}{2}$

Jadi, kita dapatkan $a = \frac{1}{2}$ dan $b = \frac{1}{2}$.

Verifikasi dan Kesimpulan

Untuk memastikan jawaban kita benar, kita bisa substitusikan kembali nilai $a$ dan $b$ ke dalam persamaan yang kita dapatkan saat mengecek kontinuitas.

Di $x=2$: Kita harus punya $4a - 2b = 1$. Dengan $a=\frac{1}{2}$ dan $b=\frac{1}{2}$, maka $4(\frac{1}{2}) - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$. Sesuai!

Di $x=3$: Kita harus punya $10a - 4b = 3$. Dengan $a=\frac{1}{2}$ dan $b=\frac{1}{2}$, maka $10(\frac{1}{2}) - 4(\frac{1}{2}) = 5 - 2 = 3$. Sesuai juga!

Dengan demikian, konstanta yang membuat fungsi $f(x)$ kontinu di $\mathbb{R}$ adalah $a = \frac{1}{2}$ dan $b = \frac{1}{2}$. Gimana, guys? Ternyata tidak sesulit yang dibayangkan, kan? Kuncinya adalah memahami konsep kekontinuan dan teliti saat menghitung. Terus semangat belajar matematika, ya!