Cari Persamaan Fungsi Y = F(x) Dengan Gradien 2x - 4

Halo, guys! Balik lagi nih di artikel yang bakal ngebahas tuntas soal matematika yang sering bikin pusing. Kali ini, kita bakal ngulik banget soal gradien garis singgung dan gimana cara nyari persamaan fungsi aslinya. Buat kalian yang lagi belajar kalkulus atau persiapan ujian, this is for you! Kita punya soal nih, "Gradien garis singgung dari $y = f(x)$ di setiap titik $(x, y)$ adalah $2x - 4$. Fungsi $y = f(x)$ melalui titik $(1, 5)$. Persamaan dari fungsi tersebut adalah..." Nah, ada pilihan jawabannya juga: A. $y=x^2-4x+2$, B. $y=x^2-4x-2$, C. $y=x^2+4x-2$, D. $y=x^2-4x-8$, E. $y=x^2-4x+8$. Gimana, udah kebayang belum cara nyelesaiinnya? Jangan khawatir, kita bakal bedah satu per satu sampai clear!

Pahami Dulu Konsep Gradien Garis Singgung

Jadi gini, guys, gradien garis singgung dari suatu fungsi $y = f(x)$ di suatu titik $(x, y)$ itu sebenarnya adalah nilai dari turunan pertama fungsi tersebut, atau sering kita tulis sebagai $f'(x)$ atau $\frac{dy}{dx}$. Nah, di soal ini, kita dikasih tahu nih kalau gradiennya adalah $2x - 4$. Ini artinya, kita punya informasi penting: $\frac{dy}{dx} = 2x - 4$. Tujuan utama kita adalah mencari tahu bentuk asli dari fungsi $y = f(x)$ ini. Ingat, kalau gradien itu adalah hasil turunan, berarti untuk mendapatkan fungsi aslinya, kita perlu melakukan operasi kebalikannya, yaitu integrasi. Iya, betul banget, kita akan menggunakan integral tak tentu di sini. Jadi, kita perlu mengintegralkan ekspresi gradiennya untuk mendapatkan fungsi $f(x)$. Proses integrasi ini yang akan mengembalikan fungsi kita ke bentuk semula sebelum diturunkan. Setiap kali kita melakukan integral tak tentu, pasti akan ada konstanta integrasi, biasanya dilambangkan dengan huruf 'C'. Nah, konstanta inilah yang nanti bakal kita cari nilainya menggunakan informasi tambahan yang diberikan di soal.

Integrasi dari $\frac{dy}{dx} = 2x - 4$ akan memberikan kita $y = f(x)$. Yuk, kita coba integralkan bareng-bareng. Integral dari $2x$ terhadap $x$ adalah $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$. Terus, integral dari $-4$ terhadap $x$ adalah $-4x$. Jangan lupa, kita tambahkan konstanta integrasi, yaitu $+ C$. Jadi, persamaan umum dari fungsi $y = f(x)$ kita adalah $y = x^2 - 4x + C$. Sampai sini, kita sudah punya bentuk fungsi, tapi nilai $C$-nya masih belum pasti. Ini yang bakal kita cari pakai informasi titik yang dilalui fungsi tersebut.

Manfaatkan Titik yang Dilalui Fungsi

Nah, di soal kan dikasih tahu tuh, kalau fungsi $y = f(x)$ ini ngelintasi atau melalui titik $(1, 5)$. Apa artinya ini, guys? Artinya, kalau kita substitusikan nilai $x = 1$ ke dalam persamaan fungsi kita, nilai $y$ yang kita dapatkan harus sama dengan $5$. Ini adalah kunci buat kita buat nemuin nilai konstanta $C$ yang tadi kita dapatkan. Jadi, kita ambil persamaan umum fungsi kita yang udah kita dapatkan dari integrasi, yaitu $y = x^2 - 4x + C$. Terus, kita ganti $x$ dengan $1$ dan $y$ dengan $5$. Langsung aja yuk kita substitusi: $5 = (1)^2 - 4(1) + C$. Sekarang, kita hitung deh nilai di sebelah kanan: $5 = 1 - 4 + C$. Sederhanakan lagi: $5 = -3 + C$. Biar $C$ sendirian, kita pindahkan $-3$ ke sisi kiri jadi positif. Jadinya, $5 + 3 = C$, yang berarti $C = 8$. Voila! Kita udah ketemu nilai konstanta integrasinya. Ini keren banget, karena artinya kita udah selangkah lagi buat nyelesaiin soal ini. Sekarang, kita tinggal pasang nilai $C=8$ ini ke dalam persamaan umum fungsi kita tadi.

Susun Persamaan Fungsi Lengkap

Setelah kita berhasil menemukan nilai konstanta $C = 8$ dari informasi titik $(1, 5)$, sekarang saatnya kita gabungkan kembali dengan hasil integrasi awal. Ingat, bentuk umum fungsi kita sebelum menentukan $C$ adalah $y = x^2 - 4x + C$. Sekarang, kita tinggal mengganti $C$ dengan angka $8$ yang sudah kita temukan. Jadi, persamaan lengkap dari fungsi $y = f(x)$ yang kita cari adalah $y = x^2 - 4x + 8$. Nah, sekarang kita tinggal cocokin nih sama pilihan jawaban yang ada. Mari kita lihat:

A. $y=x^2-4x+2$ B. $y=x^2-4x-2$ C. $y=x^2+4x-2$ D. $y=x^2-4x-8$ E. $y=x^2-4x+8$

Lihat kan, guys? Persamaan yang kita dapatkan, yaitu $y = x^2 - 4x + 8$, persis sama dengan pilihan jawaban yang E. Jadi, jawaban yang benar untuk soal ini adalah E. Keren banget kan? Kita berhasil mecahin soal ini dari awal sampai akhir, cuma dengan memahami konsep turunan, integral, dan cara pakai informasi titik yang dikasih. Ini menunjukkan betapa pentingnya konsep-konsep dasar kalkulus dalam menyelesaikan masalah-masalah yang lebih kompleks. Tetap semangat belajar matematika ya, guys! Jangan lupa untuk terus latihan soal biar makin jago dan nggak gampang nyerah kalau ketemu soal yang kelihatan susah. Ingat, setiap soal itu ada solusinya, kita cuma perlu sabar dan teliti dalam mengerjakannya. Kalau ada soal lain yang mau dibahas, feel free untuk comment di bawah ya! Sampai jumpa di artikel berikutnya!

Rekap Langkah-langkah Penyelesaian

Biar makin mantap, yuk kita rangkum lagi langkah-langkah penting yang udah kita lalui:

1. Pahami Gradien: Gradien garis singgung $f'(x)$ diberikan sebagai $2x - 4$. Ini adalah turunan dari fungsi $f(x)$.
2. Integrasi untuk Mencari Fungsi Asli: Untuk mendapatkan $f(x)$ dari $f'(x)$, kita lakukan integral tak tentu: $\int (2x - 4) dx = x^2 - 4x + C$. Jadi, bentuk umum fungsinya adalah $y = x^2 - 4x + C$.
3. Gunakan Titik yang Dilalui: Fungsi melalui titik $(1, 5)$. Substitusikan $x=1$ dan $y=5$ ke dalam persamaan fungsi: $5 = (1)^2 - 4(1) + C$.
4. Hitung Konstanta Integrasi (C): Selesaikan persamaan untuk menemukan $C$: $5 = 1 - 4 + C \implies 5 = -3 + C \implies C = 8$.
5. Susun Persamaan Lengkap: Ganti nilai $C$ ke dalam persamaan umum fungsi: $y = x^2 - 4x + 8$.
6. Pilih Jawaban yang Tepat: Bandingkan hasil yang didapat dengan pilihan yang tersedia. Jawaban yang sesuai adalah E.

Dengan mengikuti langkah-langkah ini secara sistematis, soal-soal serupa pasti bisa kalian taklukkan. Keep practicing, keep learning!