Contoh Soal Fungsi Komposisi & Invers + Pembahasan Lengkap!

by ADMIN 60 views
Iklan Headers

Kalian lagi nyari contoh soal fungsi komposisi dan invers? Pas banget! Artikel ini akan membahas tuntas berbagai contoh soal beserta pembahasannya yang mudah dipahami. Yuk, langsung aja kita bahas!

Apa itu Fungsi Komposisi dan Invers?

Sebelum masuk ke contoh soal, ada baiknya kita refresh dulu konsep dasar fungsi komposisi dan invers. Biar makin mantap, kan?

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi itu, sederhananya, adalah penggabungan dua fungsi (atau lebih) menjadi satu fungsi baru. Jadi, hasil dari suatu fungsi dijadikan input untuk fungsi lainnya. Misalkan kita punya fungsi f(x) dan g(x), maka komposisi fungsi f dan g ditulis sebagai (f ∘ g)(x), yang artinya f(g(x)). Artinya, kita masukkan x ke dalam fungsi g dulu, lalu hasilnya kita masukkan ke dalam fungsi f.

Guys, biar lebih kebayang, bayangin aja kayak gini: kalian punya mesin penggiling kopi (fungsi g) dan mesin pembuat kopi (fungsi f). Biji kopi (x) kalian masukkan ke mesin penggiling (g), hasilnya kopi bubuk (g(x)). Nah, kopi bubuk ini kalian masukkan lagi ke mesin pembuat kopi (f), dan jadilah secangkir kopi (f(g(x))). Begitu deh gambarannya!

Dalam fungsi komposisi, urutan itu penting banget, lho! (f ∘ g)(x) itu beda dengan (g ∘ f)(x). Jadi, jangan sampai ketuker, ya!

Fungsi Invers

Nah, kalau fungsi invers, ini kebalikan dari fungsi aslinya. Misalkan kita punya fungsi f(x), maka fungsi inversnya ditulis sebagai f⁻¹(x). Kalau kita masukkan suatu nilai x ke dalam fungsi f, lalu hasilnya kita masukkan ke dalam fungsi inversnya, kita akan mendapatkan nilai x itu lagi. Jadi, kayak dibalikin gitu, deh!

Contohnya, kalau f(x) = 2x + 1, maka untuk mencari inversnya, kita bisa ikuti langkah-langkah berikut:

  1. Ganti f(x) dengan y: y = 2x + 1
  2. Tukar posisi x dan y: x = 2y + 1
  3. Selesaikan persamaan untuk y: y = (x - 1) / 2
  4. Ganti y dengan f⁻¹(x): f⁻¹(x) = (x - 1) / 2

Jadi, invers dari fungsi f(x) = 2x + 1 adalah f⁻¹(x) = (x - 1) / 2. Simpel, kan?

Oke, sekarang kita udah refresh konsep dasar fungsi komposisi dan invers. Saatnya kita masuk ke bagian yang paling seru: contoh soal!

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Guys, di bagian ini, kita akan membahas beberapa contoh soal fungsi komposisi dengan tingkat kesulitan yang berbeda-beda. Siap?

Contoh Soal 1: Komposisi Dua Fungsi Sederhana

Soal:

Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ∘ g)(x) dan (g ∘ f)(x).

Pembahasan:

  • (f ∘ g)(x) = f(g(x))
    • Pertama, kita masukkan g(x) ke dalam f(x): f(g(x)) = f(3x)
    • Kemudian, kita ganti x di f(x) dengan 3x: f(3x) = 3x + 2
    • Jadi, (f ∘ g)(x) = 3x + 2
  • (g ∘ f)(x) = g(f(x))
    • Pertama, kita masukkan f(x) ke dalam g(x): g(f(x)) = g(x + 2)
    • Kemudian, kita ganti x di g(x) dengan x + 2: g(x + 2) = 3(x + 2)
    • Sederhanakan: 3(x + 2) = 3x + 6
    • Jadi, (g ∘ f)(x) = 3x + 6

Dari contoh ini, kita bisa lihat bahwa (f ∘ g)(x) dan (g ∘ f)(x) itu hasilnya beda. Jadi, urutan komposisi itu penting banget!

Contoh Soal 2: Komposisi Tiga Fungsi

Soal:

Diketahui f(x) = x², g(x) = 2x - 1, dan h(x) = √x. Tentukan (f ∘ g ∘ h)(x).

Pembahasan:

  • (f ∘ g ∘ h)(x) = f(g(h(x)))
    • Pertama, kita cari g(h(x)): g(h(x)) = g(√x) = 2√x - 1
    • Kemudian, kita masukkan hasilnya ke dalam f(x): f(2√x - 1) = (2√x - 1)²
    • Sederhanakan: (2√x - 1)² = 4x - 4√x + 1
    • Jadi, (f ∘ g ∘ h)(x) = 4x - 4√x + 1

Di contoh ini, kita mengkomposisikan tiga fungsi sekaligus. Caranya sama aja, kok. Kita kerjakan dari dalam keluar.

Contoh Soal 3: Mencari Fungsi Jika Komposisi Diketahui

Soal:

Diketahui f(x) = x + 3 dan (f ∘ g)(x) = 2x² + 5. Tentukan g(x).

Pembahasan:

  • (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2x² + 5
    • Kita tahu f(x) = x + 3, jadi f(g(x)) = g(x) + 3
    • Kita samakan dengan (f ∘ g)(x): g(x) + 3 = 2x² + 5
    • Kurangkan kedua ruas dengan 3: g(x) = 2x² + 2
    • Jadi, g(x) = 2x² + 2

Nah, di contoh ini, kita mencari salah satu fungsi yang membentuk komposisi. Caranya, kita gunakan informasi yang diketahui dan manipulasi aljabar.

Contoh Soal Fungsi Invers

Sekarang, kita lanjut ke contoh soal fungsi invers, ya!

Contoh Soal 1: Mencari Invers Fungsi Linear

Soal:

Diketahui f(x) = 4x - 7. Tentukan f⁻¹(x).

Pembahasan:

Ikuti langkah-langkah mencari invers yang sudah kita bahas di atas:

  1. Ganti f(x) dengan y: y = 4x - 7
  2. Tukar posisi x dan y: x = 4y - 7
  3. Selesaikan persamaan untuk y: 4y = x + 7 --> y = (x + 7) / 4
  4. Ganti y dengan f⁻¹(x): f⁻¹(x) = (x + 7) / 4

Jadi, invers dari fungsi f(x) = 4x - 7 adalah f⁻¹(x) = (x + 7) / 4

Contoh Soal 2: Mencari Invers Fungsi Pecahan

Soal:

Diketahui f(x) = (2x + 1) / (x - 3), x ≠ 3. Tentukan f⁻¹(x).

Pembahasan:

  1. Ganti f(x) dengan y: y = (2x + 1) / (x - 3)
  2. Tukar posisi x dan y: x = (2y + 1) / (y - 3)
  3. Selesaikan persamaan untuk y:
    • Kalikan kedua ruas dengan (y - 3): x(y - 3) = 2y + 1
    • Distribusi: xy - 3x = 2y + 1
    • Kumpulkan suku y di satu sisi: xy - 2y = 3x + 1
    • Faktorkan y: y(x - 2) = 3x + 1
    • Bagi kedua ruas dengan (x - 2): y = (3x + 1) / (x - 2)
  4. Ganti y dengan f⁻¹(x): f⁻¹(x) = (3x + 1) / (x - 2)

Jadi, invers dari fungsi f(x) = (2x + 1) / (x - 3) adalah f⁻¹(x) = (3x + 1) / (x - 2)

Contoh Soal 3: Invers dari Fungsi Komposisi

Soal:

Diketahui f(x) = x - 2 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ∘ g)⁻¹(x).

Pembahasan:

Ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini:

Cara 1: Cari (f ∘ g)(x) dulu, baru cari inversnya

  • Cari (f ∘ g)(x): (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 3x - 2
  • Cari invers dari 3x - 2 (seperti contoh sebelumnya): (f ∘ g)⁻¹(x) = (x + 2) / 3

Cara 2: Gunakan rumus (f ∘ g)⁻¹(x) = (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x)

  • Cari f⁻¹(x): f⁻¹(x) = x + 2
  • Cari g⁻¹(x): g⁻¹(x) = x / 3
  • Cari (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x): (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x) = g⁻¹(f⁻¹(x)) = g⁻¹(x + 2) = (x + 2) / 3

Kedua cara ini menghasilkan jawaban yang sama, yaitu (f ∘ g)⁻¹(x) = (x + 2) / 3

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Fungsi Komposisi dan Invers

  • Pahami Konsep Dasar: Ini kunci utama! Pastikan kalian benar-benar paham definisi dan sifat-sifat fungsi komposisi dan invers.
  • Teliti dalam Aljabar: Banyak soal yang melibatkan manipulasi aljabar. Jadi, hati-hati dengan tanda dan urutan operasi.
  • Latihan Soal: Semakin banyak latihan, semakin terbiasa kalian dengan berbagai tipe soal.
  • Gunakan Diagram: Kalau kesulitan membayangkan, coba gambar diagram alur untuk memvisualisasikan komposisi fungsi.
  • Periksa Jawaban: Setelah selesai, selalu periksa kembali jawaban kalian. Pastikan tidak ada kesalahan hitung atau konsep.

Kesimpulan

Guys, fungsi komposisi dan invers memang terlihat agak rumit, tapi kalau kalian paham konsep dasarnya dan banyak latihan, pasti bisa! Jangan takut salah, karena kesalahan adalah bagian dari proses belajar. Semoga artikel ini membantu kalian memahami materi ini dengan lebih baik, ya! Selamat belajar dan semoga sukses!

Jangan lupa, kalau ada pertanyaan atau kesulitan, jangan ragu untuk bertanya ke guru atau teman kalian. Semangat terus!