Contoh Soal Fungsi Komposisi Dan Pembahasannya

by ADMIN 47 views
Iklan Headers

Halo guys! Kali ini kita bakal ngebahas tuntas soal fungsi komposisi, materi yang sering banget muncul di ujian sekolah maupun SBMPTN. Buat kalian yang masih bingung atau ngerasa kesulitan, tenang aja, karena di artikel ini kita bakal kupas tuntas semuanya, mulai dari konsep dasar sampai contoh soal yang super lengkap plus pembahasannya. Siap-siap jadi jago fungsi komposisi ya!

Memahami Konsep Dasar Fungsi Komposisi

Sebelum kita loncat ke contoh soal, penting banget nih buat kita pahamin dulu apa sih sebenernya fungsi komposisi itu. Gampangnya gini, guys, fungsi komposisi itu kayak 'fungsi bersusun'. Jadi, ada satu fungsi yang 'memakan' hasil dari fungsi lain. Kalau diibaratkan, ini kayak pabrik dua tahap. Tahap pertama, bahan baku diolah jadi produk A. Nah, produk A ini kemudian jadi bahan baku lagi buat tahap kedua, di mana dia diolah lagi jadi produk akhir. Nah, si produk akhir inilah yang disebut hasil dari fungsi komposisi.

Secara matematis, kalau kita punya dua fungsi, misalnya fungsi f(x) dan fungsi g(x), maka fungsi komposisinya bisa ditulis sebagai (f o g)(x) atau (g o f)(x). Perhatiin ya urutannya, ini penting banget! Kalau (f o g)(x), artinya fungsi g(x) itu 'dimasukkan' ke dalam fungsi f. Jadi, x dalam fungsi f itu diganti sama seluruh bentuk dari g(x). Sebaliknya, kalau (g o f)(x), artinya fungsi f(x) yang 'dimasukkan' ke dalam fungsi g. Jadi, x dalam fungsi g diganti sama seluruh bentuk dari f(x). Kebayang kan, guys? Jadi urutan penulisan itu bener-bener ngaruh banget sama hasilnya. Kalo salah urutan, ya hasilnya bakal beda jauh.

Biar lebih kebayang, kita pake contoh sederhana. Misal ada fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x - 3. Gimana kalau kita mau nyari (f o g)(x)? Sesuai konsep tadi, kita ganti semua x di f(x) dengan bentuk g(x). Jadi, f(x) = 2x + 1 bakal jadi f(g(x)) = 2(g(x)) + 1. Nah, karena g(x) = x - 3, maka kita substitusi: f(g(x)) = 2(x - 3) + 1. Tinggal kita jabarin deh: 2x - 6 + 1 = 2x - 5. Jadi, (f o g)(x) = 2x - 5. Gampang kan?

Sekarang, coba kita cari (g o f)(x) dari fungsi yang sama. Ingat, sekarang f(x) yang 'masuk' ke g(x). Jadi, g(x) = x - 3 bakal jadi g(f(x)) = f(x) - 3. Karena f(x) = 2x + 1, kita substitusi: g(f(x)) = (2x + 1) - 3. Disederhanain: 2x + 1 - 3 = 2x - 2. Nah, jadi (g o f)(x) = 2x - 2. Liat kan bedanya? Hasil (f o g)(x) itu 2x - 5, sedangkan (g o f)(x) itu 2x - 2. Makanya, urutan itu krusial banget dalam fungsi komposisi.

Penting juga buat dicatat, guys, kalau fungsi komposisi itu tidak selalu komutatif, artinya (f o g)(x) belum tentu sama dengan (g o f)(x). Contoh di atas udah membuktikannya. Jadi, kalau ketemu soal yang nanya, 'Apakah (f o g)(x) = (g o f)(x)?', jawabannya adalah 'belum tentu', kecuali kalau ada syarat-syarat tertentu yang bikin keduanya sama. Memahami konsep dasar ini adalah kunci utama sebelum kita melangkah ke berbagai macam contoh soal fungsi komposisi yang akan kita bahas selanjutnya. Jadi, pastikan bener-bener paham ya!

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Selain konsep dasarnya, ada beberapa sifat-sifat fungsi komposisi yang perlu banget kalian kuasai, guys. Sifat-sifat ini bakal bantu banget mempercepat pengerjaan soal dan menghindari kesalahan. Yuk, kita bahas satu per satu:

  1. Sifat Asosiatif (Pengelompokan) Kalau kita punya tiga fungsi, misalnya f(x), g(x), dan h(x), maka berlaku sifat asosiatif: (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x) Artinya, urutan pengelompokan komposisi fungsi itu nggak ngaruh sama hasilnya. Kalian bisa aja kompose g sama h dulu, baru hasilnya dikompose sama f, atau kompose f sama g dulu, baru hasilnya dikompose sama h. Hasil akhirnya bakal sama aja. Ini mirip banget sama sifat asosiatif pada perkalian atau penjumlahan bilangan biasa, guys. Misalnya, kalau kita punya angka 1, 2, dan 3, hasil dari (1 x 2) x 3 sama aja dengan 1 x (2 x 3). Nah, di fungsi komposisi juga gitu. Ini ngebantu banget kalau kita mau nyari komposisi dari tiga fungsi atau lebih, kita bisa pilih mana yang paling gampang dihitung duluan.

    Contohnya, biar kebayang nih: Misal f(x) = x+1, g(x) = 2x, h(x) = x-3. Kita mau buktiin (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x). Pertama, kita hitung (g o h)(x). Artinya h(x) masuk ke g(x). g(h(x)) = 2(h(x)) = 2(x-3) = 2x - 6. Sekarang, hasil (g o h)(x) kita masukin ke f(x): (f o (g o h))(x) = f(2x - 6) = (2x - 6) + 1 = 2x - 5. Oke, sekarang sisi kanan. Kita hitung (f o g)(x) dulu. Artinya g(x) masuk ke f(x). f(g(x)) = g(x) + 1 = 2x + 1. Sekarang, hasil (f o g)(x) kita masukin ke h(x): ((f o g) o h)(x) = h(2x + 1) = (2x + 1) - 3 = 2x - 2. Wait, kok beda? Hmm, sepertinya ada yang salah dalam perhitungan contoh saya. Mari kita koreksi. Re-calculate: f(x) = x+1, g(x) = 2x, h(x) = x-3. (g o h)(x) = g(h(x)) = g(x-3) = 2(x-3) = 2x - 6. (f o (g o h))(x) = f(2x - 6) = (2x - 6) + 1 = 2x - 5. Ini sisi kiri. Sekarang sisi kanan: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1. ((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x-3) = 2(x-3) + 1 = 2x - 6 + 1 = 2x - 5. Nah, bener kan! Ternyata sisi kiri dan kanan hasilnya sama, yaitu 2x - 5. Jadi, sifat asosiatif ini bener-bener berlaku. Perlu teliti banget ya guys pas ngitungnya, biar nggak kayak saya tadi yang sempat keliru hehe.

  2. Fungsi Identitas sebagai Komposisi Jika I(x) adalah fungsi identitas (yaitu I(x) = x), maka berlaku:

    • (f o I)(x) = f(x)
    • (I o f)(x) = f(x) Artinya, kalau kita mengomposisikan suatu fungsi dengan fungsi identitas, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Fungsi identitas itu kayak 'netral' gitu, nggak ngubah apa-apa. Ibaratnya kalau dalam perkalian, fungsi identitas itu kayak angka 1. Berapapun dikali 1 hasilnya ya angka itu sendiri. Nah, dalam komposisi fungsi, fungsi identitas I(x) = x punya peran yang sama. Jadi, kalau kalian nemu soal yang ada fungsi identitasnya, pengerjaannya jadi lebih simpel. Misalnya, kalau ditanya (f o I)(x), jawabannya langsung aja f(x), nggak perlu dihitung lagi substitusi-substitusinya.

  3. Sifat Invers Fungsi Komposisi Ini agak sedikit advance, tapi penting banget buat soal-soal yang lebih menantang. Kalau kita punya komposisi fungsi (g o f)(x), maka invers dari komposisi ini adalah (g o f)^-1(x) = (f^-1 o g^-1)(x). Perhatiin baik-baik urutannya, guys! Inversnya itu 'membalik' urutan fungsi aslinya, terus masing-masing fungsi juga diinverskan. Dari (g o f) jadi (f^-1 o g^-1). Ini kebalikan dari sifat asosiatif tadi yang urutannya tetap. Jadi, kalau kalian disuruh nyari invers dari suatu komposisi fungsi, jangan lupa balik urutannya dan cari invers dari masing-masing fungsinya.

    Contohnya nih, misal kita punya f(x) = x + 2 dan g(x) = 3x - 1. Kalau kita mau cari (g o f)^-1(x), langkahnya:

    • Cari invers dari f(x): f(x) = x + 2. Misal y = x + 2, maka x = y - 2. Jadi, f^-1(x) = x - 2.
    • Cari invers dari g(x): g(x) = 3x - 1. Misal y = 3x - 1, maka 3x = y + 1, sehingga x = (y + 1)/3. Jadi, g^-1(x) = (x + 1)/3.
    • Sekarang susun invers komposisinya sesuai rumus (f^-1 o g^-1)(x). Ini artinya g^-1(x) masuk ke f^-1(x). f-1(g-1(x)) = f^-1((x + 1)/3). Karena f^-1(x) = x - 2, maka kita substitusi: f^-1((x + 1)/3) = ((x + 1)/3) - 2. Samakan penyebutnya: * (x + 1)/3 - 6/3 = (x + 1 - 6)/3 = (x - 5)/3*. Jadi, (g o f)^-1(x) = (x - 5)/3. Kalau mau ngetes kebenarannya, kalian bisa cari dulu (g o f)(x), terus diinverskan. Mari kita coba: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x+2) = 3(x+2) - 1 = 3x + 6 - 1 = 3x + 5. Sekarang invers dari 3x + 5: Misal y = 3x + 5, maka 3x = y - 5, sehingga x = (y - 5)/3. Jadi, (g o f)^-1(x) = (x - 5)/3. Sama kan hasilnya! Mantap!

Memahami sifat-sifat ini akan sangat membantu kalian dalam menyelesaikan berbagai jenis soal fungsi komposisi, guys. Dari yang paling dasar sampai yang rumit sekalipun. Jadi, jangan cuma dihafal, tapi coba pahami logika di baliknya ya!

Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Pembahasannya

Sekarang saatnya kita ke bagian yang paling ditunggu-tunggu: contoh soal fungsi komposisi! Kita akan bahas berbagai tipe soal, mulai dari yang sederhana sampai yang agak tricky, biar kalian siap menghadapi ujian apa pun. Yuk, kita mulai!

Soal 1: Menentukan Hasil Komposisi Fungsi Sederhana

Soal: Diketahui fungsi f(x)=3xβˆ’2f(x) = 3x - 2 dan g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1. Tentukan: a. (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x) b. (gextof)(x)(g ext{ o } f)(x)

Pembahasan: Ini adalah soal paling dasar untuk menguji pemahaman konsep komposisi. Kita akan gunakan definisi yang sudah kita pelajari.

a. Menentukan (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x): Artinya, fungsi g(x)g(x) dimasukkan ke dalam fungsi f(x)f(x). Di fungsi f(x)f(x), setiap ada xx, kita ganti dengan seluruh bentuk dari g(x)g(x). f(x)=3xβˆ’2f(x) = 3x - 2 (fextog)(x)=f(g(x))(f ext{ o } g)(x) = f(g(x)) Substitusikan g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 ke dalam f(x)f(x): f(g(x))=3(g(x))βˆ’2f(g(x)) = 3(g(x)) - 2 f(g(x))=3(x2+1)βˆ’2f(g(x)) = 3(x^2 + 1) - 2 Sekarang tinggal kita jabarkan: (fextog)(x)=3x2+3βˆ’2(f ext{ o } g)(x) = 3x^2 + 3 - 2 (fextog)(x)=3x2+1(f ext{ o } g)(x) = 3x^2 + 1

b. Menentukan (gextof)(x)(g ext{ o } f)(x): Sekarang kebalikannya, fungsi f(x)f(x) yang dimasukkan ke dalam fungsi g(x)g(x). Di fungsi g(x)g(x), setiap ada xx, kita ganti dengan seluruh bentuk dari f(x)f(x). g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 (gextof)(x)=g(f(x))(g ext{ o } f)(x) = g(f(x)) Substitusikan f(x)=3xβˆ’2f(x) = 3x - 2 ke dalam g(x)g(x): g(f(x))=(f(x))2+1g(f(x)) = (f(x))^2 + 1 g(f(x))=(3xβˆ’2)2+1g(f(x)) = (3x - 2)^2 + 1 Ingat rumus (aβˆ’b)2=a2βˆ’2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Jadi, (3xβˆ’2)2=(3x)2βˆ’2(3x)(2)+22=9x2βˆ’12x+4(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4. Sekarang kita masukkan kembali ke persamaan: (gextof)(x)=(9x2βˆ’12x+4)+1(g ext{ o } f)(x) = (9x^2 - 12x + 4) + 1 (gextof)(x)=9x2βˆ’12x+5(g ext{ o } f)(x) = 9x^2 - 12x + 5

Dari soal ini, kita bisa lihat lagi kalau (fextog)(x)eq(gextof)(x)(f ext{ o } g)(x) eq (g ext{ o } f)(x). Ini membuktikan sifat tidak komutatif pada fungsi komposisi.

Soal 2: Menentukan Nilai Fungsi Komposisi pada Angka Tertentu

Soal: Jika diketahui fungsi f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5 dan g(x)=xβˆ’3g(x) = x - 3. Tentukan nilai dari (fextog)(4)(f ext{ o } g)(4)!

Pembahasan: Ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini. Cara pertama adalah dengan mencari dulu bentuk umum (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x), lalu substitusikan x=4x=4. Cara kedua adalah dengan menghitung nilai g(4)g(4) terlebih dahulu, lalu hasilnya dimasukkan ke fungsi f(x)f(x). Cara kedua biasanya lebih cepat untuk soal seperti ini.

Cara 1: Mencari Bentuk Umum Terlebih Dahulu (fextog)(x)=f(g(x))(f ext{ o } g)(x) = f(g(x)) f(g(x))=f(xβˆ’3)f(g(x)) = f(x - 3) f(g(x))=2(xβˆ’3)+5f(g(x)) = 2(x - 3) + 5 f(g(x))=2xβˆ’6+5f(g(x)) = 2x - 6 + 5 (fextog)(x)=2xβˆ’1(f ext{ o } g)(x) = 2x - 1 Sekarang substitusikan x=4x=4: (fextog)(4)=2(4)βˆ’1(f ext{ o } g)(4) = 2(4) - 1 (fextog)(4)=8βˆ’1(f ext{ o } g)(4) = 8 - 1 (fextog)(4)=7(f ext{ o } g)(4) = 7

Cara 2: Menghitung Nilai g(4) Terlebih Dahulu Pertama, hitung nilai dari g(4)g(4): g(x)=xβˆ’3g(x) = x - 3 g(4)=4βˆ’3g(4) = 4 - 3 g(4)=1g(4) = 1 Sekarang, hasil g(4)=1g(4) = 1 ini kita masukkan ke fungsi f(x)f(x): f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5 f(g(4))=f(1)f(g(4)) = f(1) f(1)=2(1)+5f(1) = 2(1) + 5 f(1)=2+5f(1) = 2 + 5 f(g(4))=7f(g(4)) = 7

Kedua cara memberikan hasil yang sama, yaitu 7. Jadi, nilai dari (fextog)(4)(f ext{ o } g)(4) adalah 7.

Soal 3: Menentukan Salah Satu Fungsi Jika Hasil Komposisi Diketahui

Soal: Diketahui fungsi f(x)=x+4f(x) = x + 4 dan (fextog)(x)=3x2+2(f ext{ o } g)(x) = 3x^2 + 2. Tentukan fungsi g(x)g(x)!

Pembahasan: Soal tipe ini agak berbeda, kita sudah tahu hasil komposisinya dan salah satu fungsinya, lalu kita diminta mencari fungsi yang lain. Kuncinya adalah menggunakan definisi komposisi dan melakukan manipulasi aljabar.

Kita tahu bahwa (fextog)(x)=f(g(x))(f ext{ o } g)(x) = f(g(x)). Dalam soal ini, kita punya: (fextog)(x)=3x2+2(f ext{ o } g)(x) = 3x^2 + 2 Dan fungsi f(x)=x+4f(x) = x + 4.

Substitusikan bentuk umum f(g(x))f(g(x)) menggunakan f(x)=x+4f(x) = x + 4: f(g(x))=g(x)+4f(g(x)) = g(x) + 4

Sekarang, kita samakan hasil substitusi ini dengan hasil komposisi yang diketahui: g(x)+4=3x2+2g(x) + 4 = 3x^2 + 2

Untuk mencari g(x)g(x), kita tinggal pindahkan angka 4 ke sisi kanan persamaan: g(x)=3x2+2βˆ’4g(x) = 3x^2 + 2 - 4 g(x)=3x2βˆ’2g(x) = 3x^2 - 2

Jadi, fungsi g(x)g(x) adalah 3x2βˆ’23x^2 - 2. Untuk memverifikasi, kita bisa coba komposisikan f(x)f(x) dengan g(x)g(x) yang baru kita temukan: (fextog)(x)=f(g(x))=f(3x2βˆ’2)=(3x2βˆ’2)+4=3x2+2(f ext{ o } g)(x) = f(g(x)) = f(3x^2 - 2) = (3x^2 - 2) + 4 = 3x^2 + 2. Hasilnya cocok dengan yang diberikan di soal!

Soal 4: Menentukan Salah Satu Fungsi Jika Komposisi dan Fungsi Lain Diketahui (Tipe Lain)

Soal: Diketahui fungsi g(x)=2xβˆ’1g(x) = 2x - 1 dan (fextog)(x)=4x2βˆ’6x+3(f ext{ o } g)(x) = 4x^2 - 6x + 3. Tentukan fungsi f(x)f(x)!

Pembahasan: Soal ini mirip dengan soal sebelumnya, tapi sekarang yang diketahui adalah g(x)g(x) dan hasil komposisi (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x), kita diminta mencari f(x)f(x). Ini sedikit lebih menantang karena kita harus melakukan substitusi mundur.

Kita punya: (fextog)(x)=f(g(x))=4x2βˆ’6x+3(f ext{ o } g)(x) = f(g(x)) = 4x^2 - 6x + 3 Dan g(x)=2xβˆ’1g(x) = 2x - 1.

Artinya, f(2xβˆ’1)=4x2βˆ’6x+3f(2x - 1) = 4x^2 - 6x + 3.

Nah, sekarang kita perlu mencari bentuk f(y)f(y) di mana y=2xβˆ’1y = 2x - 1. Langkah pertama adalah mencari hubungan xx dalam bentuk yy. Dari y=2xβˆ’1y = 2x - 1, kita dapatkan: y+1=2xy + 1 = 2x x = rac{y + 1}{2}

Sekarang, substitusikan x = rac{y + 1}{2} ke dalam persamaan 4x2βˆ’6x+34x^2 - 6x + 3: f(y) = 4ig( rac{y + 1}{2}ig)^2 - 6ig( rac{y + 1}{2}ig) + 3

Sederhanakan setiap bagian:

  • 4ig( rac{y + 1}{2}ig)^2 = 4 rac{(y+1)^2}{4} = (y+1)^2 = y^2 + 2y + 1
  • 6ig( rac{y + 1}{2}ig) = 3(y+1) = 3y + 3

Sekarang masukkan kembali ke persamaan f(y)f(y): f(y)=(y2+2y+1)βˆ’(3y+3)+3f(y) = (y^2 + 2y + 1) - (3y + 3) + 3 f(y)=y2+2y+1βˆ’3yβˆ’3+3f(y) = y^2 + 2y + 1 - 3y - 3 + 3 f(y)=y2+(2yβˆ’3y)+(1βˆ’3+3)f(y) = y^2 + (2y - 3y) + (1 - 3 + 3) f(y)=y2βˆ’y+1f(y) = y^2 - y + 1

Jadi, fungsi f(x)f(x) adalah f(x)=x2βˆ’x+1f(x) = x^2 - x + 1. Untuk verifikasi, kita coba komposisikan f(x)=x2βˆ’x+1f(x) = x^2 - x + 1 dengan g(x)=2xβˆ’1g(x) = 2x - 1: (fextog)(x)=f(g(x))=f(2xβˆ’1)(f ext{ o } g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 1) =(2xβˆ’1)2βˆ’(2xβˆ’1)+1= (2x - 1)^2 - (2x - 1) + 1 =(4x2βˆ’4x+1)βˆ’2x+1+1= (4x^2 - 4x + 1) - 2x + 1 + 1 =4x2βˆ’4xβˆ’2x+1+1+1= 4x^2 - 4x - 2x + 1 + 1 + 1 =4x2βˆ’6x+3= 4x^2 - 6x + 3 Hasilnya cocok dengan yang diberikan di soal! Keren kan?

Soal 5: Fungsi Komposisi dengan Tiga Fungsi

Soal: Jika diketahui f(x)=x+1f(x) = x + 1, g(x)=2xg(x) = 2x, dan h(x)=xβˆ’3h(x) = x - 3. Tentukan (fextogextoh)(x)(f ext{ o } g ext{ o } h)(x)!

Pembahasan: Untuk komposisi tiga fungsi atau lebih, kita bisa mengerjakannya secara bertahap, pakai sifat asosiatif yang udah kita bahas tadi. Kita bisa mulai dari dua fungsi di depan, atau dua fungsi di belakang. Mari kita coba kerjakan dari dua fungsi di belakang: (gextoh)(x)(g ext{ o } h)(x) dulu.

Langkah 1: Cari (gextoh)(x)(g ext{ o } h)(x). (gextoh)(x)=g(h(x))(g ext{ o } h)(x) = g(h(x)) g(h(x))=g(xβˆ’3)g(h(x)) = g(x - 3) Karena g(x)=2xg(x) = 2x, maka: g(xβˆ’3)=2(xβˆ’3)g(x - 3) = 2(x - 3) (gextoh)(x)=2xβˆ’6(g ext{ o } h)(x) = 2x - 6

Langkah 2: Komposisikan hasil (gextoh)(x)(g ext{ o } h)(x) dengan f(x)f(x). (fexto(gextoh))(x)=f((gextoh)(x))(f ext{ o } (g ext{ o } h))(x) = f((g ext{ o } h)(x)) Kita punya hasil (gextoh)(x)=2xβˆ’6(g ext{ o } h)(x) = 2x - 6. Masukkan ke f(x)f(x): f(2xβˆ’6)f(2x - 6) Karena f(x)=x+1f(x) = x + 1, maka: f(2xβˆ’6)=(2xβˆ’6)+1f(2x - 6) = (2x - 6) + 1 (fextogextoh)(x)=2xβˆ’5(f ext{ o } g ext{ o } h)(x) = 2x - 5

Jadi, hasil dari (fextogextoh)(x)(f ext{ o } g ext{ o } h)(x) adalah 2xβˆ’52x - 5. Kalian juga bisa coba mengerjakannya dengan urutan lain, misalnya (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x) dulu, lalu hasilnya dikomposisikan dengan h(x)h(x). Pasti hasilnya akan sama karena sifat asosiatif.

Soal 6: Fungsi Komposisi dengan Fungsi Invers

Soal: Diketahui f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 dan g(x)=xβˆ’2g(x) = x - 2. Tentukan (fextog)βˆ’1(x)(f ext{ o } g)^{-1}(x)!

Pembahasan: Untuk soal ini, kita bisa pakai dua cara: pertama, cari dulu hasil (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x), baru kemudian cari inversnya. Kedua, gunakan sifat invers komposisi fungsi: (fextog)βˆ’1(x)=(gβˆ’1extofβˆ’1)(x)(f ext{ o } g)^{-1}(x) = (g^{-1} ext{ o } f^{-1})(x). Cara kedua ini seringkali lebih efisien.

Cara 1: Cari Komposisi Dulu, Lalu Inverskan Langkah 1: Cari (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x). (fextog)(x)=f(g(x))(f ext{ o } g)(x) = f(g(x)) f(g(x))=f(xβˆ’2)f(g(x)) = f(x - 2) f(xβˆ’2)=3(xβˆ’2)+1f(x - 2) = 3(x - 2) + 1 (fextog)(x)=3xβˆ’6+1(f ext{ o } g)(x) = 3x - 6 + 1 (fextog)(x)=3xβˆ’5(f ext{ o } g)(x) = 3x - 5

Langkah 2: Cari invers dari (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x). Misal y=3xβˆ’5y = 3x - 5. y+5=3xy + 5 = 3x x = rac{y + 5}{3} Jadi, (f ext{ o } g)^{-1}(x) = rac{x + 5}{3}.

Cara 2: Gunakan Sifat Invers Komposisi Langkah 1: Cari invers dari masing-masing fungsi.

  • Invers dari f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1: Misal y = 3x + 1 ightarrow y - 1 = 3x ightarrow x = rac{y - 1}{3}. Jadi, f^{-1}(x) = rac{x - 1}{3}.
  • Invers dari g(x)=xβˆ’2g(x) = x - 2: Misal y=xβˆ’2ightarrowx=y+2y = x - 2 ightarrow x = y + 2. Jadi, gβˆ’1(x)=x+2g^{-1}(x) = x + 2.

Langkah 2: Gunakan rumus (fextog)βˆ’1(x)=(gβˆ’1extofβˆ’1)(x)(f ext{ o } g)^{-1}(x) = (g^{-1} ext{ o } f^{-1})(x). Artinya, fβˆ’1(x)f^{-1}(x) dimasukkan ke dalam gβˆ’1(x)g^{-1}(x). (gβˆ’1extofβˆ’1)(x)=gβˆ’1(fβˆ’1(x))(g^{-1} ext{ o } f^{-1})(x) = g^{-1}(f^{-1}(x)) g^{-1}ig( rac{x - 1}{3}ig) Karena gβˆ’1(x)=x+2g^{-1}(x) = x + 2, maka: g^{-1}ig( rac{x - 1}{3}ig) = ig( rac{x - 1}{3}ig) + 2 Samakan penyebutnya: rac{x - 1}{3} + rac{6}{3} = rac{x - 1 + 6}{3} (g^{-1} ext{ o } f^{-1})(x) = rac{x + 5}{3}

Kedua cara menghasilkan jawaban yang sama, yaitu rac{x + 5}{3}. Ini membuktikan bahwa sifat invers komposisi memang sangat berguna dan bisa mempercepat pengerjaan.

Kesimpulan

Nah, guys, gimana? Udah lebih tercerahkan kan soal fungsi komposisi? Intinya, kunci utama dalam mengerjakan soal fungsi komposisi adalah memahami definisinya dan teliti dalam substitusi serta manipulasi aljabar. Ingat, urutan penulisan (fextog)(x)(f ext{ o } g)(x) dan (gextof)(x)(g ext{ o } f)(x) itu penting banget dan hasilnya belum tentu sama.

Jangan lupa juga untuk menguasai sifat-sifat fungsi komposisi, seperti asosiatif, fungsi identitas, dan sifat inversnya. Sifat-sifat ini akan jadi 'senjata' andalan kalian untuk menyelesaikan soal-soal yang lebih kompleks dengan cepat dan tepat. Terus berlatih dengan berbagai contoh soal fungsi komposisi yang berbeda-beda, mulai dari yang sederhana sampai yang menantang. Semakin banyak kalian latihan, semakin terbiasa dan semakin jago kalian dalam materi ini. Semangat terus belajarnya, guys! Kalian pasti bisa!