Contoh Soal Persamaan Parabola & Pembahasannya

by ADMIN 47 views
Iklan Headers

Halo, teman-teman! Siapa nih yang lagi pusing tujuh keliling mikirin soal persamaan parabola? Tenang aja, kalian nggak sendirian! Matematika, terutama materi geometri analitik kayak parabola ini, memang kadang bikin pr banget ya. Tapi, jangan khawatir, guys! Di artikel ini, kita bakal bedah tuntas berbagai contoh soal persamaan parabola lengkap dengan pembahasannya yang super gampang dicerna. Dijamin deh, setelah baca ini, kalian bakal lebih pede ngerjain soal-soal serupa.

Mengenal Lebih Dekat Parabola: Bentuk dan Persamaannya

Sebelum kita lompat ke contoh soal, biar nyambung gitu ya, kita ingetin lagi yuk apa sih parabola itu. Dalam dunia matematika, parabola itu adalah kurva yang terbentuk dari himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tetap (disebut fokus) dan satu garis lurus tetap (disebut direktris). Jadi, bayangin aja ada titik, terus ada garis, nah titik-titik yang jaraknya sama ke dua elemen itu bakal membentuk lengkungan yang cakep, itu dia si parabola.

Nah, bentuk umum persamaan parabola ini ada beberapa macam, tergantung posisi dan orientasinya. Yang paling sering kita temui itu ada empat:

  1. Parabola dengan puncak di (0,0) dan sumbu simetri sumbu-y: Persamaannya itu bisa x2=4pyx^2 = 4py atau x2=−4pyx^2 = -4py. Kalau pp positif, dia terbuka ke atas. Kalau pp negatif, dia terbuka ke bawah. Fokusnya di (0, p) dan direktrisnya di y=−py = -p (kalau x2=4pyx^2 = 4py), atau fokus di (0, -p) dan direktris y=py = p (kalau x2=−4pyx^2 = -4py).
  2. Parabola dengan puncak di (0,0) dan sumbu simetri sumbu-x: Persamaannya y2=4pxy^2 = 4px atau y2=−4pxy^2 = -4px. Mirip kayak yang tadi, kalau pp positif, dia terbuka ke kanan. Kalau pp negatif, dia terbuka ke kiri. Fokusnya di (p, 0) dan direktrisnya di x=−px = -p (kalau y2=4pxy^2 = 4px), atau fokus di (-p, 0) dan direktris x=px = p (kalau y2=−4pxy^2 = -4px).
  3. Parabola dengan puncak di (h,k) dan sumbu simetri sejajar sumbu-y: Nah, ini kalau puncaknya udah nggak di titik asal. Persamaannya jadi (x−h)2=4p(y−k)(x-h)^2 = 4p(y-k) atau (x−h)2=−4p(y−k)(x-h)^2 = -4p(y-k). Tinggal geser aja dari bentuk yang di poin 1, si xx diganti jadi (x−h)(x-h) dan si yy diganti jadi (y−k)(y-k). Fokusnya di (h,k+p)(h, k+p) dan direktrisnya y=k−py = k-p (kalau bentuk pertama).
  4. Parabola dengan puncak di (h,k) dan sumbu simetri sejajar sumbu-x: Terakhir, kalau puncaknya di (h,k)(h,k) dan bukaannya ke kanan/kiri. Persamaannya (y−k)2=4p(x−h)(y-k)^2 = 4p(x-h) atau (y−k)2=−4p(x−h)(y-k)^2 = -4p(x-h). Sama, tinggal geser dari poin 2. Fokusnya di (h+p,k)(h+p, k) dan direktrisnya x=h−px = h-p (kalau bentuk pertama).

Kunci dari ngerjain soal parabola itu adalah identifikasi puncaknya, arah membukanya, nilai pp-nya, serta posisi fokus dan direktrisnya. Kalau kalian udah nguasain empat bentuk dasar ini, dijamin deh soal secanggih apapun bakal terasa lebih mudah.

Contoh Soal 1: Menentukan Persamaan Parabola dari Fokus dan Direktris

Oke, guys, mari kita mulai dengan contoh soal yang paling fundamental. Ini sering banget keluar buat nguji pemahaman dasar kita.

Soal: Tentukan persamaan parabola yang memiliki fokus di titik F(0, 3) dan direktris garis y=−3y = -3!

Pembahasan:

Pertama-tama, kita perlu identifikasi dulu nih, parabola ini kira-kira punya bentuk yang mana. Kita lihat fokusnya di F(0, 3). Koordinat xx-nya nol, sedangkan koordinat yy-nya positif. Terus, direktrisnya adalah garis y=−3y = -3. Garis ini sejajar dengan sumbu-x dan berada di bawah sumbu-x.

Dari informasi ini, kita bisa simpulkan beberapa hal:

  • Puncak Parabola: Puncak parabola terletak di tengah-tengah antara fokus dan direktris. Kalau kita lihat, titik (0, 0) itu jaraknya 3 satuan ke atas (sampai ke fokus F(0,3)) dan 3 satuan ke bawah (sampai ke direktris y=-3). Jadi, puncaknya ada di (0,0). Keren, kan?
  • Arah Membuka: Karena fokusnya (0, 3) berada di atas puncak (0,0) dan direktrisnya (y=-3) berada di bawah puncak, ini berarti parabola ini membuka ke atas. Artinya, sumbu simetrinya adalah sumbu-y.
  • Nilai p: Jarak dari puncak ke fokus, atau dari puncak ke direktris, itu adalah nilai mutlak dari pp. Dalam kasus ini, jaraknya adalah 3 satuan. Karena parabola membuka ke atas, nilai pp nya positif. Jadi, p=3p = 3.

Nah, sekarang kita udah punya informasi lengkap. Puncaknya di (0,0), sumbu simetrinya sumbu-y, dan p=3p=3. Bentuk umum persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan sumbu simetri sumbu-y yang terbuka ke atas adalah:

x2=4pyx^2 = 4py

Sekarang, tinggal kita masukkan nilai p=3p=3 ke dalam persamaan tersebut:

x2=4(3)yx^2 = 4(3)y

x2=12yx^2 = 12y

Jadi, persamaan parabola yang dicari adalah x2=12yx^2 = 12y. Gampang banget kan, guys? Kuncinya cuma identifikasi puncak, arah, dan nilai pp. Coba perhatiin lagi deh, fokusnya di (0, p) itu kan berarti (0, 3), dan direktrisnya y=−py = -p itu berarti y=−3y = -3. Cocok banget sama soalnya!

Contoh Soal 2: Menentukan Puncak, Fokus, dan Direktris dari Persamaan Parabola

Sekarang, kita balik, guys. Kalau tadi kita dikasih fokus dan direktris, sekarang kita dikasih persamaannya, terus kita diminta nyari puncak, fokus, dan direktrisnya. Ini juga sering banget muncul lho!

Soal: Tentukan puncak, fokus, dan direktris dari parabola dengan persamaan (y+1)2=−8(x−2)(y+1)^2 = -8(x-2)!

Pembahasan:

Untuk soal yang satu ini, kita harus jeli melihat bentuk persamaannya. Persamaan yang diberikan adalah (y+1)2=−8(x−2)(y+1)^2 = -8(x-2). Bentuk ini mirip dengan bentuk umum parabola dengan puncak di (h,k)(h,k) dan sumbu simetri sejajar sumbu-x, yaitu:

(y−k)2=4p(x−h)(y-k)^2 = 4p(x-h) atau (y−k)2=−4p(x−h)(y-k)^2 = -4p(x-h)

Mari kita cocokkan:

  • Puncak (h,k): Dari persamaan (y+1)2=−8(x−2)(y+1)^2 = -8(x-2), kita bisa lihat bahwa (y−k)2(y-k)^2 adalah (y+1)2(y+1)^2, jadi y−k=y+1y-k = y+1, yang berarti −k=1-k = 1, sehingga k=−1k = -1. Kemudian, (x−h)(x-h) adalah (x−2)(x-2), jadi h=2h = 2. Dengan demikian, puncak parabola adalah di (2, -1).
  • Nilai p: Sekarang kita lihat bagian 4p4p. Di persamaan kita, koefisien di depan (x−2)(x-2) adalah -8. Jadi, kita punya 4p=−84p = -8. Kalau kita bagi kedua sisi dengan 4, kita dapat p=−2p = -2. Nilai pp yang negatif ini mengindikasikan bahwa parabola membuka ke arah sumbu-x negatif, alias ke kiri.
  • Fokus: Karena parabola membuka ke kiri (sumbu simetri sejajar sumbu-x), fokusnya akan bergeser sejauh pp dari puncak pada sumbu-x. Rumusnya adalah (h+p,k)(h+p, k). Dengan h=2h=2, k=−1k=-1, dan p=−2p=-2, maka fokusnya adalah (2+(−2),−1)=(0,−1)(2 + (-2), -1) = (0, -1). Jadi, fokus parabola adalah di (0, -1).
  • Direktris: Karena sumbu simetrinya sejajar sumbu-x, direktrisnya akan berupa garis vertikal. Jarak dari puncak ke direktris adalah ∣p∣|p|, dan direktrisnya berada di sisi yang berlawanan dengan fokus dari puncak. Rumusnya adalah x=h−px = h - p. Dengan h=2h=2 dan p=−2p=-2, maka direktrisnya adalah x=2−(−2)=2+2=4x = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4. Jadi, direktris parabola adalah garis x=4x = 4.

Jadi, kesimpulannya:

  • Puncak: (2, -1)
  • Fokus: (0, -1)
  • Direktris: x=4x = 4

Nah, gimana? Cukup jelas kan, guys? Memang kuncinya di sini adalah mengenali bentuk umum persamaannya dan membandingkannya dengan soal. Jangan sampai ketukar antara hh dan kk, atau salah menentukan arah bukanya gara-gara tanda pp.

Contoh Soal 3: Menentukan Persamaan Parabola Jika Diketahui Puncak dan Satu Titik yang Dilaluinya

Kadang-kadang, soalnya sedikit lebih menantang. Kita mungkin dikasih tahu puncaknya, tapi arah bukanya nggak langsung kelihatan, hanya dikasih tahu kalau parabola itu melewati satu titik tertentu. Gimana tuh cara ngerjainnya?

Soal: Sebuah parabola memiliki puncak di titik P(1, 4). Jika parabola tersebut melalui titik A(3, 8), tentukan persamaan parabola tersebut!

Pembahasan:

Oke, guys, kita punya informasi kalau puncaknya ada di (1, 4). Ini berarti h=1h=1 dan k=4k=4. Titik ini bisa jadi titik awal kita. Sekarang, kita perlu menentukan apakah parabola ini membuka ke atas/bawah atau ke kanan/kiri. Kita punya satu titik lain yang dilaluinya, yaitu A(3, 8).

Mari kita coba substitusikan titik A(3, 8) ke dalam kedua kemungkinan bentuk umum persamaan parabola dengan puncak (h,k):

Kemungkinan 1: Sumbu simetri sejajar sumbu-y

Bentuk umumnya adalah (x−h)2=4p(y−k)(x-h)^2 = 4p(y-k). Masukkan puncak (h,k) = (1,4): (x−1)2=4p(y−4)(x-1)^2 = 4p(y-4)

Sekarang, masukkan titik A(x,y) = (3,8) ke dalam persamaan ini untuk mencari nilai pp: (3−1)2=4p(8−4)(3-1)^2 = 4p(8-4) (2)2=4p(4)(2)^2 = 4p(4) 4=16p4 = 16p p=4/16p = 4/16 p=1/4p = 1/4

Karena p=1/4p = 1/4 positif, ini berarti parabola ini membuka ke atas. Persamaannya menjadi: (x−1)2=4(1/4)(y−4)(x-1)^2 = 4(1/4)(y-4) (x−1)2=1(y−4)(x-1)^2 = 1(y-4) (x−1)2=y−4(x-1)^2 = y-4

Ini adalah salah satu kemungkinan persamaan parabola.

Kemungkinan 2: Sumbu simetri sejajar sumbu-x

Bentuk umumnya adalah (y−k)2=4p(x−h)(y-k)^2 = 4p(x-h). Masukkan puncak (h,k) = (1,4): (y−4)2=4p(x−1)(y-4)^2 = 4p(x-1)

Sekarang, masukkan titik A(x,y) = (3,8) ke dalam persamaan ini untuk mencari nilai pp: (8−4)2=4p(3−1)(8-4)^2 = 4p(3-1) (4)2=4p(2)(4)^2 = 4p(2) 16=8p16 = 8p p=16/8p = 16/8 p=2p = 2

Karena p=2p=2 positif, ini berarti parabola ini membuka ke kanan. Persamaannya menjadi: (y−4)2=4(2)(x−1)(y-4)^2 = 4(2)(x-1) (y−4)2=8(x−1)(y-4)^2 = 8(x-1)

Ini adalah kemungkinan persamaan parabola yang kedua.

Kesimpulan:

Jadi, ada dua kemungkinan persamaan parabola yang memenuhi syarat:

  1. Jika sumbu simetrinya sejajar sumbu-y: (x−1)2=y−4(x-1)^2 = y-4
  2. Jika sumbu simetrinya sejajar sumbu-x: (y−4)2=8(x−1)(y-4)^2 = 8(x-1)

Dalam soal ujian, biasanya akan ada petunjuk tambahan untuk menentukan arah sumbu simetri, misalnya disebutkan