Contoh Soal SPLTV Cerita & Pembahasan Lengkap

May 7, 2026 by ADMIN 46 views

Hai, teman-teman! Kali ini kita bakal kupas tuntas soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dalam bentuk cerita. Buat yang masih bingung gimana sih cara nerapin SPLTV di kehidupan sehari-hari atau pas lagi ngerjain soal ujian, kalian datang ke tempat yang tepat! Kita akan bahas contoh-contoh soalnya biar makin jago.

SPLTV itu kayak teka-teki matematika gitu, guys. Kita dikasih beberapa informasi dalam bentuk kalimat, nah dari kalimat-kalimat itu kita harus bisa bikin model matematika berupa persamaan linear dengan tiga variabel. Variabelnya bisa apa aja, misalnya harga barang, jumlah orang, atau apa pun yang punya nilai belum diketahui. Yang penting, ada tiga hal yang saling berkaitan dan bisa diwakilin pakai huruf (x, y, z, atau huruf lain).

Memahami Konsep Dasar SPLTV Cerita

Sebelum kita masuk ke contoh soalnya, penting banget nih buat kita paham dulu apa sih SPLTV cerita itu dan kenapa kita perlu mempelajarinya. Jadi, SPLTV cerita itu adalah soal matematika yang menyajikan masalah dalam bentuk narasi atau cerita sehari-hari, di mana kita diminta untuk menentukan nilai dari tiga variabel yang saling berhubungan. Konsepnya mirip banget sama cerita detektif, di mana kita harus mengumpulkan petunjuk (informasi dalam cerita) untuk memecahkan misteri (mencari nilai variabel).

Kenapa sih ini penting? Gampangnya gini, guys. Dalam kehidupan nyata, banyak banget masalah yang bisa diselesaikan pakai SPLTV. Misalnya, mau hitung-hitungan untung rugi dalam bisnis, nentuin alokasi sumber daya, atau bahkan sekadar bagi-bagi uang kembalian biar adil. Dengan menguasai SPLTV cerita, kalian akan terlatih untuk berpikir logis, menganalisis masalah, dan mengubah informasi verbal menjadi model matematika yang bisa dihitung. Ini skill yang berharga banget, lho, bukan cuma buat ulangan aja tapi juga buat masa depan kalian. Jadi, mari kita simpulkan, SPLTV cerita itu adalah aplikasi praktis dari persamaan linear tiga variabel dalam skenario dunia nyata, yang mengasah kemampuan analisis dan pemecahan masalah kita. Intinya, kita diajak untuk lebih jeli melihat angka dan hubungan antar angka di sekitar kita. Mulai dari soal belanja di warung, diskusi sama teman tentang pembagian tugas, sampai perhitungan yang lebih kompleks di dunia kerja, semuanya bisa berkaitan dengan SPLTV cerita. Makanya, jangan anggap remeh soal cerita ini, ya! Anggap aja lagi main game strategi, tapi pakai angka. Semakin kita paham konteks ceritanya, semakin mudah kita mengubahnya jadi persamaan yang siap dieksekusi.

Variabel: Ini adalah nilai yang belum kita ketahui, biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x, y, dan z. Dalam soal cerita, variabel ini bisa mewakili harga satu barang, jumlah barang, usia seseorang, atau kuantitas lainnya.
Persamaan: Ini adalah pernyataan matematika yang menunjukkan hubungan antara variabel-variabel tersebut, biasanya menggunakan tanda sama dengan (=).
Sistem: Artinya kita punya lebih dari satu persamaan (dalam SPLTV, ada tiga persamaan) yang harus diselesaikan secara bersamaan untuk menemukan solusi yang tepat.

Contoh paling sederhana adalah kalau kalian belanja beberapa jenis barang. Misalnya, beli buku, pensil, dan penghapus. Harganya beda-beda. Kalau kalian tahu total belanjaan dan ada informasi perbandingan harga antar barang, nah itu potensi jadi soal SPLTV cerita.

Contoh Soal SPLTV Cerita 1: Belanja di Toko Buku

Kita mulai dari yang paling sering ditemui, yaitu soal belanja. Bayangin deh, kalian lagi di toko buku, terus beli beberapa barang. Nah, ini dia soalnya:

Soal 1:

Di sebuah toko buku, Ani membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penghapus dengan total harga Rp15.000. Budi membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penghapus dengan total harga Rp12.000. Citra membeli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 2 penghapus dengan total harga Rp24.000. Berapakah harga satuan untuk satu buku tulis, satu pensil, dan satu penghapus?

Wah, kelihatan lumayan ya? Tapi jangan panik dulu, guys. Kita akan bedah satu per satu. SPLTV cerita ini mengajak kita untuk mengubah informasi belanjaan menjadi model matematika yang sistematis. Langkah pertama adalah mendefinisikan variabelnya. Ini krusial banget biar kita nggak salah langkah di depannya. Kita sepakati dulu apa aja yang mau kita cari. Di soal ini, kita butuh harga satuan dari buku tulis, pensil, dan penghapus. Oke, mari kita tetapkan:

Misalkan harga satu buku tulis = x
Misalkan harga satu pensil = y
Misalkan harga satu penghapus = z

Udah kebayang kan? Sekarang, kita terjemahin setiap kalimat pembelian jadi sebuah persamaan. Ini bagian serunya, mengubah kata-kata jadi angka dan simbol.

Pembelian Ani: Ani beli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp15.000. Kalau diubah jadi persamaan, jadi: 2x + 1y + 1z = 15000 atau lebih simpelnya 2x + y + z = 15000 (Persamaan 1)
Pembelian Budi: Budi beli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp12.000. Jadi persamaannya: 1x + 2y + 1z = 12000 atau x + 2y + z = 12000 (Persamaan 2)
Pembelian Citra: Citra beli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 2 penghapus seharga Rp24.000. Persamaannya: 3x + 2y + 2z = 24000 atau 3x + 2y + 2z = 24000 (Persamaan 3)

Nah, sekarang kita punya sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel. Ini yang disebut Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Tugas kita sekarang adalah mencari nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan ini secara bersamaan. Ada beberapa metode yang bisa kita gunakan, misalnya metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Kita coba pakai metode campuran (eliminasi dan substitusi) yang biasanya lebih cepat.

Langkah Eliminasi:

Kita eliminasi satu variabel dulu, misalnya z. Biar gampang, kita pakai Persamaan 1 dan Persamaan 2 dulu.

(1) 2x + y + z = 15000 (2) x + 2y + z = 12000

Kurangi Persamaan (1) dengan Persamaan (2): (2x - x) + (y - 2y) + (z - z) = 15000 - 12000 x - y = 3000 (Ini kita sebut Persamaan 4)

Sekarang, kita eliminasi z lagi, tapi pakai pasangan persamaan yang lain. Misalnya Persamaan 1 dan Persamaan 3. Kita harus samain dulu koefisien z-nya. Persamaan 1 kita kalikan 2:

2 * (2x + y + z) = 2 * 15000 4x + 2y + 2z = 30000 (Persamaan 1')

(3) 3x + 2y + 2z = 24000

Kurangi Persamaan (1') dengan Persamaan (3): (4x - 3x) + (2y - 2y) + (2z - 2z) = 30000 - 24000 x = 6000

Wah, ternyata kita langsung dapat nilai x = 6000! Keren kan? Ini artinya, harga satu buku tulis adalah Rp6.000. Gampang kan kalau udah tahu kuncinya?

Langkah Substitusi:

Sekarang kita punya nilai x, tinggal cari y dan z. Kita bisa substitusikan nilai x ke Persamaan 4 yang tadi kita dapat:

(4) x - y = 3000 6000 - y = 3000 -y = 3000 - 6000 -y = -3000 y = 3000

Jadi, harga satu pensil adalah Rp3.000. Udah mau selesai nih!

Terakhir, substitusikan nilai x dan y ke salah satu persamaan awal, misalnya Persamaan 1:

(1) 2x + y + z = 15000 2(6000) + 3000 + z = 15000 12000 + 3000 + z = 15000 15000 + z = 15000 z = 15000 - 15000 z = 0

Hmm, ada yang salah nih. Kok harga penghapus nol? Mari kita cek ulang perhitungannya. Sepertinya ada kekeliruan saat eliminasi z antara Persamaan 1' dan 3. Mari kita ulangi bagian itu.

Kita gunakan Persamaan 1 dan Persamaan 3: (1) 2x + y + z = 15000 (3) 3x + 2y + 2z = 24000

Untuk mengeliminasi z, kita kalikan Persamaan (1) dengan 2: 2 * (2x + y + z) = 2 * 15000 4x + 2y + 2z = 30000 (Persamaan 1'')

Sekarang kurangi Persamaan (1'') dengan Persamaan (3): (4x - 3x) + (2y - 2y) + (2z - 2z) = 30000 - 24000 x = 6000

Oke, nilai x = 6000 masih benar. Mari kita coba eliminasi z menggunakan Persamaan 2 dan 3.

(2) x + 2y + z = 12000 (3) 3x + 2y + 2z = 24000

Kalikan Persamaan (2) dengan 2: 2 * (x + 2y + z) = 2 * 12000 2x + 4y + 2z = 24000 (Persamaan 2')

Sekarang kurangi Persamaan (2') dengan Persamaan (3): (2x - 3x) + (4y - 2y) + (2z - 2z) = 24000 - 24000 -x + 2y = 0

Nah, ini persamaan baru yang kita dapat.

Menghitung ulang nilai y: Kita punya Persamaan 4: x - y = 3000 dan persamaan baru ini: -x + 2y = 0. Kita bisa menjumlahkan kedua persamaan ini untuk mengeliminasi x:

(x - y) + (-x + 2y) = 3000 + 0 x - y - x + 2y = 3000 y = 3000

Nilai y = 3000 masih sama. Oke, sekarang substitusikan nilai x = 6000 dan y = 3000 ke Persamaan 1:

(1) 2x + y + z = 15000 2(6000) + 3000 + z = 15000 12000 + 3000 + z = 15000 15000 + z = 15000 z = 0

Sepertinya ada yang salah dengan angka di soalnya, guys, karena menghasilkan harga penghapus 0. Mari kita ubah sedikit angka di soalnya agar lebih masuk akal. Misalnya, total belanja Citra adalah Rp26.000.

Soal 1 (Revisi):

Di sebuah toko buku, Ani membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penghapus dengan total harga Rp15.000. Budi membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penghapus dengan total harga Rp12.000. Citra membeli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 2 penghapus dengan total harga Rp26.000. Berapakah harga satuan untuk satu buku tulis, satu pensil, dan satu penghapus?

Dengan perubahan ini, Persamaan 3 menjadi: 3x + 2y + 2z = 26000.

Mari kita ulangi eliminasi z menggunakan Persamaan 1 dan 3 yang baru:

(1) 2x + y + z = 15000 (3) 3x + 2y + 2z = 26000

Kalikan Persamaan (1) dengan 2: 4x + 2y + 2z = 30000 (Persamaan 1'')

Kurangi Persamaan (1'') dengan Persamaan (3): (4x - 3x) + (2y - 2y) + (2z - 2z) = 30000 - 26000 x = 4000

Oke, sekarang x = 4000. Harga buku tulis Rp4.000.

Sekarang kita eliminasi z menggunakan Persamaan 2 dan 3.

(2) x + 2y + z = 12000 (3) 3x + 2y + 2z = 26000

Kalikan Persamaan (2) dengan 2: 2x + 4y + 2z = 24000 (Persamaan 2')

Kurangi Persamaan (2') dengan Persamaan (3): (2x - 3x) + (4y - 2y) + (2z - 2z) = 24000 - 26000 -x + 2y = -2000

Sekarang kita punya sistem baru dengan dua persamaan: (4) x - y = 3000 (didapat dari eliminasi z pada P1 dan P2 sebelumnya) (5) -x + 2y = -2000

Jumlahkan Persamaan (4) dan (5): (x - y) + (-x + 2y) = 3000 + (-2000) y = 1000

Jadi, y = 1000. Harga pensil Rp1.000.

Terakhir, substitusikan x = 4000 dan y = 1000 ke Persamaan 1:

(1) 2x + y + z = 15000 2(4000) + 1000 + z = 15000 8000 + 1000 + z = 15000 9000 + z = 15000 z = 15000 - 9000 z = 6000

Yeay! Akhirnya ketemu. z = 6000. Harga penghapus Rp6.000.

Jadi, harga satuan buku tulis adalah Rp4.000, harga satuan pensil adalah Rp1.000, dan harga satuan penghapus adalah Rp6.000. Ini dia jawaban dari SPLTV cerita kita.

Contoh Soal SPLTV Cerita 2: Usia Keluarga

Selain soal belanja, SPLTV cerita juga sering muncul dalam konteks usia. Ini juga nggak kalah seru, guys. Memodelkan hubungan usia dalam SPLTV cerita butuh ketelitian dalam memahami frasa seperti 'tahun lalu', 'lima tahun mendatang', dll.

Soal 2:

Jumlah usia ayah, ibu, dan anak adalah 90 tahun. Usia ayah 5 tahun lebih tua dari usia ibu. Jika usia ibu dua kali usia anak, berapakah usia masing-masing?

Yuk, kita pecah soal ini! Pertama, definisikan variabelnya. Kita mau cari usia ayah, ibu, dan anak.

Misalkan usia Ayah = a
Misalkan usia Ibu = b
Misalkan usia Anak = c

Sekarang, ubah informasi yang ada jadi persamaan linear.

Jumlah usia: Ayah + Ibu + Anak = 90 tahun a + b + c = 90 (Persamaan 1)
Hubungan usia Ayah dan Ibu: Usia ayah 5 tahun lebih tua dari usia ibu. Ini artinya, usia Ayah sama dengan usia Ibu ditambah 5. a = b + 5 (Persamaan 2)
Hubungan usia Ibu dan Anak: Usia ibu dua kali usia anak. Ini artinya, usia Ibu sama dengan 2 dikali usia Anak. b = 2c (Persamaan 3)

Nah, sekarang kita punya sistem SPLTV. Tapi kali ini, bentuk persamaannya agak berbeda. Persamaan 2 dan 3 sudah menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain. Ini justru bikin lebih gampang buat disubstitusikan!

Langkah Substitusi:

Kita akan substitusikan Persamaan 2 dan 3 ke Persamaan 1.

Dari Persamaan 2, kita tahu a = b + 5. Dari Persamaan 3, kita tahu b = 2c. Kita bisa substitusi b dari Persamaan 3 ke Persamaan 2:

a = (2c) + 5 a = 2c + 5

Sekarang, kita punya a dalam bentuk c (a = 2c + 5) dan kita punya b dalam bentuk c (b = 2c). Substitusikan kedua ini ke Persamaan 1:

(1) a + b + c = 90 (2c + 5) + (2c) + c = 90

Jumlahkan semua variabel c: 2c + 2c + c + 5 = 90 5c + 5 = 90

Sekarang, selesaikan untuk c: 5c = 90 - 5 5c = 85 c = 85 / 5 c = 17

Jadi, usia Anak adalah 17 tahun. Keren! Kita dapat satu nilai.

Selanjutnya, cari usia Ibu menggunakan Persamaan 3:

(3) b = 2c b = 2 * 17 b = 34

Usia Ibu adalah 34 tahun.

Terakhir, cari usia Ayah menggunakan Persamaan 2:

(2) a = b + 5 a = 34 + 5 a = 39

Usia Ayah adalah 39 tahun.

Verifikasi Jawaban: Mari kita cek apakah total usia mereka 90 tahun: a + b + c = 39 + 34 + 17 = 90. Cocok! Usia ayah 5 tahun lebih tua dari ibu: 39 = 34 + 5. Cocok! Usia ibu dua kali usia anak: 34 = 2 * 17. Cocok!

Jadi, usia ayah 39 tahun, usia ibu 34 tahun, dan usia anak 17 tahun. Selesai! SPLTV cerita tentang usia ini ternyata bisa diselesaikan dengan mudah kalau kita paham cara substitusinya.

Contoh Soal SPLTV Cerita 3: Produksi Barang

SPLTV juga sering dipakai buat analisis produksi. Ini biasanya melibatkan jumlah barang, waktu, dan sumber daya. Membuat model SPLTV cerita dari konteks produksi melatih kita untuk melihat efisiensi dan kapasitas.

Soal 3:

Sebuah pabrik memproduksi tiga jenis produk: A, B, dan C. Untuk memproduksi satu unit produk A, dibutuhkan 2 jam mesin I dan 3 jam mesin II. Untuk produk B, dibutuhkan 3 jam mesin I dan 2 jam mesin II. Untuk produk C, dibutuhkan 4 jam mesin I dan 1 jam mesin II. Jika total waktu operasional mesin I adalah 20 jam dan mesin II adalah 17 jam, berapakah jumlah masing-masing produk yang diproduksi?

Oke, mari kita definisikan apa yang mau kita cari. Di sini, kita mau tahu berapa unit produk A, B, dan C yang diproduksi.

Misalkan jumlah produk A = x
Misalkan jumlah produk B = y
Misalkan jumlah produk C = z

Sekarang, kita susun persamaannya berdasarkan penggunaan mesin.

Penggunaan Mesin I: Total waktu mesin I adalah 20 jam. Setiap produk A butuh 2 jam, produk B butuh 3 jam, produk C butuh 4 jam. 2x + 3y + 4z = 20 (Persamaan 1)
Penggunaan Mesin II: Total waktu mesin II adalah 17 jam. Setiap produk A butuh 3 jam, produk B butuh 2 jam, produk C butuh 1 jam. 3x + 2y + 1z = 17 atau 3x + 2y + z = 17 (Persamaan 2)

Eits, tunggu dulu. Kita baru punya dua persamaan tapi tiga variabel. Hmm, sepertinya ada informasi yang kurang di soal ini, guys. Biasanya, soal SPLTV cerita akan memberikan setidaknya tiga informasi independen untuk menghasilkan tiga persamaan linear. Mari kita asumsikan ada informasi tambahan, misalnya, total produksi ketiga jenis produk adalah 8 unit.

Soal 3 (Revisi dengan tambahan informasi):

Sebuah pabrik memproduksi tiga jenis produk: A, B, dan C. Untuk memproduksi satu unit produk A, dibutuhkan 2 jam mesin I dan 3 jam mesin II. Untuk produk B, dibutuhkan 3 jam mesin I dan 2 jam mesin II. Untuk produk C, dibutuhkan 4 jam mesin I dan 1 jam mesin II. Jika total waktu operasional mesin I adalah 20 jam, mesin II adalah 17 jam, dan total produksi ketiga jenis produk adalah 8 unit, berapakah jumlah masing-masing produk yang diproduksi?

Sekarang kita punya informasi ketiga:

Total Produksi: Jumlah produk A + B + C = 8 unit x + y + z = 8 (Persamaan 3)

Oke, sekarang kita punya sistem SPLTV yang lengkap: (1) 2x + 3y + 4z = 20 (2) 3x + 2y + z = 17 (3) x + y + z = 8

Mari kita selesaikan menggunakan metode eliminasi.

Langkah Eliminasi: Kita coba eliminasi z dulu. Biar gampang, kita gunakan Persamaan 2 dan 3.

(2) 3x + 2y + z = 17 (3) x + y + z = 8

Kurangi Persamaan (2) dengan Persamaan (3): (3x - x) + (2y - y) + (z - z) = 17 - 8 2x + y = 9 (Persamaan 4)

Sekarang, kita eliminasi z lagi menggunakan Persamaan 1 dan 3. Agar bisa dikurangi, kita samakan koefisien z-nya. Kalikan Persamaan (3) dengan 4:

4 * (x + y + z) = 4 * 8 4x + 4y + 4z = 32 (Persamaan 3')

(1) 2x + 3y + 4z = 20

Kurangi Persamaan (3') dengan Persamaan (1): (4x - 2x) + (4y - 3y) + (4z - 4z) = 32 - 20 2x + y = 12 (Persamaan 5)

Nah, perhatikan Persamaan 4 dan Persamaan 5: (4) 2x + y = 9 (5) 2x + y = 12

Wah, ini aneh, guys. 2x + y tidak mungkin sama dengan 9 dan 12 secara bersamaan. Ini menandakan bahwa sistem persamaan ini tidak memiliki solusi atau ada kesalahan dalam angka-angka yang diberikan dalam soal (baik soal asli maupun revisi).

Dalam kasus seperti ini di ujian, kalian bisa tuliskan bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi karena menghasilkan kontradiksi (misalnya, 9 = 12). Ini penting untuk menunjukkan bahwa kalian memahami konsep konsistensi sistem persamaan.

Namun, untuk tujuan pembelajaran, mari kita coba ubah lagi angkanya agar punya solusi. Misalkan total produksi adalah 7 unit.

Soal 3 (Revisi Kedua):

Sebuah pabrik memproduksi tiga jenis produk: A, B, dan C. Untuk memproduksi satu unit produk A, dibutuhkan 2 jam mesin I dan 3 jam mesin II. Untuk produk B, dibutuhkan 3 jam mesin I dan 2 jam mesin II. Untuk produk C, dibutuhkan 4 jam mesin I dan 1 jam mesin II. Jika total waktu operasional mesin I adalah 20 jam, mesin II adalah 17 jam, dan total produksi ketiga jenis produk adalah 7 unit, berapakah jumlah masing-masing produk yang diproduksi?

Sekarang Persamaan 3 menjadi: x + y + z = 7.

Mari kita ulangi eliminasi z menggunakan Persamaan 2 dan 3 yang baru:

(2) 3x + 2y + z = 17 (3) x + y + z = 7

Kurangi Persamaan (2) dengan Persamaan (3): (3x - x) + (2y - y) + (z - z) = 17 - 7 2x + y = 10 (Persamaan 4')

Sekarang, kita eliminasi z lagi menggunakan Persamaan 1 dan 3. Kalikan Persamaan (3) dengan 4:

4 * (x + y + z) = 4 * 7 4x + 4y + 4z = 28 (Persamaan 3'')

(1) 2x + 3y + 4z = 20

Kurangi Persamaan (3'') dengan Persamaan (1): (4x - 2x) + (4y - 3y) + (4z - 4z) = 28 - 20 2x + y = 8 (Persamaan 5')

Kita dapat: (4') 2x + y = 10 (5') 2x + y = 8

Lagi-lagi kita menemui kontradiksi (10 = 8). Ini menunjukkan bahwa bahkan dengan total produksi 7 unit, soal ini tetap tidak memiliki solusi yang konsisten.

Ini adalah contoh pentingnya mengecek kembali angka dalam soal cerita. Jika dalam soal asli memang seperti ini, jawabannya adalah