Contoh Soal SPLTV Dan Pembahasannya Lengkap

by ADMIN 44 views
Iklan Headers

Guys, lagi nyari contoh soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) yang lengkap dengan jawabannya? Pas banget! Artikel ini bakal ngebahas tuntas berbagai contoh soal SPLTV yang sering muncul, lengkap dengan cara penyelesaiannya. Jadi, buat kalian yang lagi belajar atau mau ngerefresh materi ini, simak terus ya!

Apa Itu SPLTV?

Sebelum masuk ke contoh soal, kita refresh dulu yuk apa itu SPLTV. SPLTV adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang berbeda. Bentuk umumnya kayak gini:

ax + by + cz = d
px + qy + rz = s
mx + ny + oz = t

Dimana:

  • a, b, c, p, q, r, m, n, o adalah koefisien
  • x, y, z adalah variabel
  • d, s, t adalah konstanta

Nah, tujuan kita menyelesaikan SPLTV adalah mencari nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut. Ada beberapa metode yang bisa kita gunakan, seperti metode substitusi, eliminasi, atau gabungan keduanya. Yuk, langsung aja kita bahas contoh soalnya!

Contoh Soal SPLTV dan Pembahasannya

Soal 1: Metode Substitusi

Diketahui sistem persamaan:

2x + y - z = 5  (Persamaan 1)
x - 2y + z = -3 (Persamaan 2)
3x + y + 2z = 4  (Persamaan 3)

Tentukan nilai x, y, dan z!

Pembahasan:

  1. Pilih salah satu persamaan untuk diubah menjadi bentuk eksplisit (salah satu variabel dinyatakan dalam variabel lain). Misalkan kita pilih Persamaan 1, kita bisa ubah menjadi: y = 5 - 2x + z

  2. Substitusikan nilai y ini ke Persamaan 2 dan Persamaan 3:

    • Persamaan 2: x - 2(5 - 2x + z) + z = -3 Sederhanakan: x - 10 + 4x - 2z + z = -3 Menjadi: 5x - z = 7 (Persamaan 4)
    • Persamaan 3: 3x + (5 - 2x + z) + 2z = 4 Sederhanakan: 3x + 5 - 2x + z + 2z = 4 Menjadi: x + 3z = -1 (Persamaan 5)

  3. Sekarang kita punya dua persamaan baru (Persamaan 4 dan Persamaan 5) dengan dua variabel (x dan z). Kita bisa selesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ini dengan metode substitusi atau eliminasi. Misalkan kita gunakan metode eliminasi. Kalikan Persamaan 4 dengan 3: 15x - 3z = 21 Tambahkan dengan Persamaan 5: (15x - 3z) + (x + 3z) = 21 + (-1) 16x = 20 x = 20/16 = 5/4

  4. Substitusikan nilai x = 5/4 ke Persamaan 5: 5/4 + 3z = -1 3z = -1 - 5/4 = -9/4 z = -9/4 / 3 = -3/4

  5. Substitusikan nilai x = 5/4 dan z = -3/4 ke persamaan awal (misalnya Persamaan 1) atau persamaan hasil substitusi (y = 5 - 2x + z): y = 5 - 2(5/4) + (-3/4) y = 5 - 5/2 - 3/4 y = 20/4 - 10/4 - 3/4 = 7/4

Jadi, solusi SPLTV ini adalah: x = 5/4, y = 7/4, dan z = -3/4

Soal 2: Metode Eliminasi

Diketahui sistem persamaan:

x + 2y - z = 6  (Persamaan 1)
2x - y + z = 2  (Persamaan 2)
x + y + z = 6  (Persamaan 3)

Tentukan nilai x, y, dan z!

Pembahasan:

  1. Eliminasi salah satu variabel dari dua persamaan. Misalkan kita eliminasi z dari Persamaan 1 dan Persamaan 2. Jumlahkan kedua persamaan: (x + 2y - z) + (2x - y + z) = 6 + 2 3x + y = 8 (Persamaan 4)

  2. Eliminasi variabel yang sama (z) dari pasangan persamaan lain. Misalkan kita eliminasi z dari Persamaan 1 dan Persamaan 3. Kurangkan Persamaan 3 dari Persamaan 1: (x + 2y - z) - (x + y + z) = 6 - 6 y - 2z = 0 (Persamaan ini kurang tepat untuk dilanjutkan, mari kita coba eliminasi z dari Persamaan 2 dan 3) Kurangkan Persamaan 3 dari Persamaan 2: (2x - y + z) - (x + y + z) = 2 - 6 x - 2y = -4 (Persamaan 5)

  3. Sekarang kita punya dua persamaan baru (Persamaan 4 dan Persamaan 5) dengan dua variabel (x dan y). Kita bisa selesaikan SPLDV ini dengan metode eliminasi atau substitusi. Misalkan kita gunakan metode eliminasi. Kalikan Persamaan 4 dengan 2: 6x + 2y = 16 Tambahkan dengan Persamaan 5: (6x + 2y) + (x - 2y) = 16 + (-4) 7x = 12 x = 12/7

  4. Substitusikan nilai x = 12/7 ke Persamaan 4: 3(12/7) + y = 8 36/7 + y = 8 y = 8 - 36/7 = 56/7 - 36/7 = 20/7

  5. Substitusikan nilai x = 12/7 dan y = 20/7 ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 1): 12/7 + 2(20/7) - z = 6 12/7 + 40/7 - z = 6 52/7 - z = 6 z = 52/7 - 6 = 52/7 - 42/7 = 10/7

Jadi, solusi SPLTV ini adalah: x = 12/7, y = 20/7, dan z = 10/7

Soal 3: Soal Cerita SPLTV

Harga 2 kg jeruk, 1 kg apel, dan 1 kg anggur adalah Rp 70.000. Harga 1 kg jeruk, 2 kg apel, dan 3 kg anggur adalah Rp 90.000. Harga 2 kg jeruk, 3 kg apel, dan 2 kg anggur adalah Rp 110.000. Tentukan harga 1 kg jeruk, 1 kg apel, dan 1 kg anggur!

Pembahasan:

  1. Buat model matematika dari soal cerita. Misalkan:

    • Harga 1 kg jeruk = x
    • Harga 1 kg apel = y
    • Harga 1 kg anggur = z

    Maka, kita dapatkan sistem persamaan:

    2x + y + z = 70000  (Persamaan 1)
x + 2y + 3z = 90000  (Persamaan 2)
2x + 3y + 2z = 110000 (Persamaan 3)

  2. Selesaikan SPLTV ini dengan metode substitusi atau eliminasi. Misalkan kita gunakan metode eliminasi. Eliminasi x dari Persamaan 1 dan Persamaan 2. Kalikan Persamaan 2 dengan 2: 2x + 4y + 6z = 180000 Kurangkan Persamaan 1 dari persamaan yang baru: (2x + 4y + 6z) - (2x + y + z) = 180000 - 70000 3y + 5z = 110000 (Persamaan 4)

    Eliminasi x dari Persamaan 1 dan Persamaan 3. Kurangkan Persamaan 3 dari Persamaan 1: (2x + 3y + 2z) - (2x + y + z) = 110000 - 70000 2y + z = 40000 (Persamaan 5)

  3. Sekarang kita punya dua persamaan baru (Persamaan 4 dan Persamaan 5) dengan dua variabel (y dan z). Selesaikan SPLDV ini. Eliminasi z dari Persamaan 4 dan Persamaan 5. Kalikan Persamaan 5 dengan 5: 10y + 5z = 200000 Kurangkan Persamaan 4 dari persamaan yang baru: (10y + 5z) - (3y + 5z) = 200000 - 110000 7y = 90000 y = 90000/7 ≈ 12857

  4. Substitusikan nilai y ke Persamaan 5: 2(90000/7) + z = 40000 180000/7 + z = 40000 z = 40000 - 180000/7 = 280000/7 - 180000/7 = 100000/7 ≈ 14286

  5. Substitusikan nilai y dan z ke Persamaan 1: 2x + 90000/7 + 100000/7 = 70000 2x + 190000/7 = 70000 2x = 70000 - 190000/7 = 490000/7 - 190000/7 = 300000/7 x = 300000/14 ≈ 21429

Jadi, harga 1 kg jeruk sekitar Rp 21.429, 1 kg apel sekitar Rp 12.857, dan 1 kg anggur sekitar Rp 14.286.

Tips Mengerjakan Soal SPLTV

  • Pahami soal dengan baik. Kalau soalnya cerita, buat model matematikanya dulu.
  • Pilih metode yang paling mudah. Kadang substitusi lebih gampang, kadang eliminasi lebih cepat.
  • Teliti dalam perhitungan. Salah hitung dikit aja, hasilnya bisa beda jauh.
  • Cek jawaban. Substitusikan nilai x, y, dan z yang kamu dapat ke persamaan awal untuk memastikan jawabannya benar.

Kesimpulan

Nah, itu dia beberapa contoh soal SPLTV dan pembahasannya. Gimana, guys? Udah mulai kebayang kan cara ngerjainnya? Kuncinya adalah latihan soal secara rutin dan pahami konsep dasarnya. Dengan begitu, soal SPLTV se-susah apapun pasti bisa kamu taklukkan! Semangat terus belajarnya ya! 😉