Contoh Soal Turunan Trigonometri & Pembahasannya
Guys, kali ini kita bakal membahas contoh soal turunan trigonometri yang sering banget muncul dalam pelajaran matematika. Turunan trigonometri ini memang salah satu materi yang penting untuk dikuasai, apalagi buat kalian yang lagi belajar kalkulus. Jadi, yuk simak baik-baik pembahasan berikut ini!
Soal 1: Turunan dari y = cosā“(1 - 4x)
Soal pertama kita adalah mencari turunan pertama dari fungsi trigonometri yang lumayan kompleks, yaitu y = cosā“(1 - 4x). Jangan khawatir, guys! Kita akan pecahkan soal ini langkah demi langkah biar kalian semua paham.
Langkah 1: Mengidentifikasi Fungsi Komposit
Dalam soal ini, kita punya fungsi komposit. Artinya, ada fungsi di dalam fungsi. Kita bisa lihat ada fungsi cosinus yang dipangkatkan empat, dan di dalam fungsi cosinus itu sendiri ada fungsi linear (1 - 4x). Jadi, kita akan menggunakan aturan rantai untuk menyelesaikan soal ini.
Aturan rantai ini penting banget dalam turunan, guys. Intinya, kalau kita punya fungsi komposit, turunannya adalah turunan fungsi luar dikalikan dengan turunan fungsi dalamnya. Secara matematis, kalau kita punya y = f(g(x)), maka turunannya adalah dy/dx = f'(g(x)) * g'(x).
Langkah 2: Menentukan Turunan Fungsi Luar
Fungsi luar kita adalah cosā“(sesuatu). Jadi, kita anggap dulu (1 - 4x) itu sebagai sesuatu, misalnya u. Maka, fungsi kita menjadi y = cosā“(u). Nah, untuk menurunkan cosā“(u), kita gunakan aturan pangkat. Aturan pangkat bilang, kalau kita punya fungsi xāæ, maka turunannya adalah n*x^(n-1). Jadi,
dy/du = 4cosĀ³(u)
Ingat ya, guys, ini baru turunan fungsi luarnya saja. Kita masih perlu menurunkan fungsi dalamnya.
Langkah 3: Menentukan Turunan Fungsi Dalam
Fungsi dalam kita adalah (1 - 4x). Turunan dari 1 adalah 0, dan turunan dari -4x adalah -4. Jadi,
du/dx = -4
Nah, sekarang kita sudah punya turunan fungsi luar dan turunan fungsi dalam. Tinggal kita gabungkan saja.
Langkah 4: Menggabungkan Turunan dengan Aturan Rantai
Sesuai dengan aturan rantai, kita kalikan turunan fungsi luar dengan turunan fungsi dalam:
dy/dx = dy/du * du/dx
dy/dx = 4cosĀ³(u) * (-4)
dy/dx = -16cosĀ³(u)
Jangan lupa, guys, tadi kita misalkan u = (1 - 4x). Sekarang kita kembalikan lagi:
dy/dx = -16cosĀ³(1 - 4x)
Langkah 5: Menyederhanakan (Jika Perlu)
Sampai sini sebenarnya sudah benar, tapi kadang kita bisa menyederhanakannya lagi. Dalam kasus ini, kita bisa tuliskan cosĀ³(1 - 4x) sebagai [cos(1 - 4x)]Ā³. Jadi, jawaban akhirnya adalah:
dy/dx = -16[cos(1 - 4x)]Ā³
Jadi, turunan pertama dari y = cosā“(1 - 4x) adalah -16[cos(1 - 4x)]Ā³. Gimana, guys? Semoga penjelasannya cukup jelas ya. Kalau masih bingung, jangan ragu untuk diulang lagi langkah-langkahnya.
Soal 2: Turunan dari y = sinā“(3xĀ² - 2)
Sekarang, kita lanjut ke soal kedua, yaitu mencari turunan pertama dari fungsi y = sinā“(3xĀ² - 2). Soal ini mirip dengan soal sebelumnya, tapi ada sedikit perbedaan di fungsi dalamnya. Yuk, kita pecahkan bersama!
Langkah 1: Mengidentifikasi Fungsi Komposit (Lagi!)
Sama seperti soal sebelumnya, kita punya fungsi komposit di sini. Ada fungsi sinus yang dipangkatkan empat, dan di dalam fungsi sinus ada fungsi kuadrat (3xĀ² - 2). Jadi, kita akan pakai aturan rantai lagi.
Ingat, aturan rantai ini adalah kunci untuk menyelesaikan soal turunan fungsi komposit. Jadi, pastikan kalian benar-benar paham konsepnya.
Langkah 2: Menentukan Turunan Fungsi Luar
Fungsi luar kita kali ini adalah sinā“(sesuatu). Kita misalkan (3xĀ² - 2) sebagai v. Maka, fungsi kita menjadi y = sinā“(v). Turunannya, dengan aturan pangkat, adalah:
dy/dv = 4sinĀ³(v)
Langkah 3: Menentukan Turunan Fungsi Dalam
Nah, ini dia yang sedikit beda. Fungsi dalam kita adalah (3xĀ² - 2). Turunan dari 3xĀ² adalah 6x, dan turunan dari -2 adalah 0. Jadi,
dv/dx = 6x
Langkah 4: Menggabungkan Turunan dengan Aturan Rantai
Kita kalikan turunan fungsi luar dengan turunan fungsi dalam:
dy/dx = dy/dv * dv/dx
dy/dx = 4sinĀ³(v) * 6x
dy/dx = 24xsinĀ³(v)
Jangan lupa kembalikan v = (3xĀ² - 2):
dy/dx = 24xsinĀ³(3xĀ² - 2)
Langkah 5: Menyederhanakan (Jika Perlu)
Sama seperti tadi, kita bisa tuliskan sinĀ³(3xĀ² - 2) sebagai [sin(3xĀ² - 2)]Ā³. Jadi, jawaban akhirnya adalah:
dy/dx = 24x[sin(3xĀ² - 2)]Ā³
Jadi, turunan pertama dari y = sinā“(3xĀ² - 2) adalah 24x[sin(3xĀ² - 2)]Ā³. Gimana, guys? Sudah mulai kebayang kan cara menyelesaikan soal turunan trigonometri yang kompleks?
Tips dan Trik Mengerjakan Soal Turunan Trigonometri
Setelah membahas dua contoh soal di atas, ada beberapa tips dan trik yang bisa kalian gunakan untuk mengerjakan soal turunan trigonometri:
- Pahami Aturan Rantai: Ini adalah kunci utama dalam turunan fungsi komposit. Pastikan kalian benar-benar mengerti cara mengidentifikasi fungsi luar dan fungsi dalam, serta cara menurunkan keduanya.
- Hafalkan Turunan Dasar Trigonometri: Kalian harus hafal turunan dari sin x, cos x, tan x, dan sebagainya. Ini akan sangat membantu mempercepat proses pengerjaan soal.
- Gunakan Identitas Trigonometri: Kadang, kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan soal sebelum diturunkan. Misalnya, mengubah sinĀ²x + cosĀ²x menjadi 1.
- Berlatih Soal Sebanyak Mungkin: Semakin banyak kalian berlatih, semakin terbiasa kalian dengan berbagai jenis soal dan semakin cepat kalian dalam menyelesaikannya.
Kesimpulan
Turunan trigonometri memang butuh latihan dan pemahaman konsep yang kuat. Tapi, dengan mengikuti langkah-langkah dan tips yang sudah kita bahas di atas, kalian pasti bisa menguasai materi ini. Jangan lupa untuk terus berlatih dan jangan ragu untuk bertanya kalau ada yang masih belum jelas. Semangat terus belajarnya, guys!