Daerah Hasil Fungsi: Soal Dan Pembahasan Lengkap

Hay guys! Kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik tentang daerah hasil suatu fungsi. Soal ini sering muncul dalam ujian dan tes matematika, jadi penting banget untuk kita pahami bersama. Yuk, langsung aja kita bahas!

Apa Itu Daerah Hasil Fungsi?

Sebelum kita masuk ke soal, penting untuk kita pahami dulu apa itu daerah hasil fungsi. Dalam matematika, daerah hasil (range) suatu fungsi adalah himpunan semua nilai keluaran (output) yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut. Dengan kata lain, jika kita memasukkan semua nilai yang mungkin dari daerah asal (domain) fungsi, maka semua nilai yang keluar adalah daerah hasilnya.

Untuk mencari daerah hasil, kita perlu mempertimbangkan batasan-batasan yang ada pada fungsi tersebut. Misalnya, jika fungsi melibatkan akar kuadrat, kita harus memastikan bahwa ekspresi di dalam akar tidak negatif. Selain itu, kita juga perlu melihat apakah ada pembatasan lain, seperti penyebut yang tidak boleh nol.

Soal: Menentukan Daerah Hasil Fungsi $f(x) = \sqrt{2 - x} + \sqrt{1 + x}$

Sekarang, mari kita fokus pada soal yang diberikan. Kita punya fungsi $f(x) = \sqrt{2 - x} + \sqrt{1 + x}$, dan kita diminta untuk menentukan nilai-nilai yang termasuk dalam daerah hasil fungsi ini. Pilihan jawabannya adalah: A. 1, B. $\sqrt{2}$, C. 2, D. $\sqrt{6}$, E. $2\sqrt{2}$.

Langkah 1: Menentukan Daerah Asal (Domain) Fungsi

Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah menentukan daerah asal fungsi. Ini penting karena daerah asal akan membatasi nilai-nilai yang bisa kita masukkan ke dalam fungsi, dan pada akhirnya akan mempengaruhi daerah hasilnya. Kita tahu bahwa ekspresi di dalam akar kuadrat tidak boleh negatif, jadi kita punya dua batasan:

1. $2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2$
2. $1 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$

Dengan menggabungkan kedua batasan ini, kita dapatkan daerah asal fungsi, yaitu $-1 \leq x \leq 2$. Jadi, nilai x yang boleh kita masukkan ke dalam fungsi adalah antara -1 dan 2, termasuk -1 dan 2 itu sendiri.

Langkah 2: Mencari Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi

Setelah kita tahu daerah asalnya, sekarang kita perlu mencari nilai minimum dan maksimum fungsi pada daerah asal tersebut. Nilai minimum dan maksimum ini akan membantu kita menentukan rentang nilai yang mungkin dihasilkan oleh fungsi, yaitu daerah hasilnya.

Untuk mencari nilai minimum dan maksimum, kita bisa menggunakan beberapa cara. Salah satu caranya adalah dengan mencari turunan pertama fungsi dan menentukan titik kritisnya. Titik kritis adalah titik-titik di mana turunan pertama fungsi sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Titik-titik ini bisa menjadi kandidat nilai minimum atau maksimum fungsi.

Namun, dalam kasus ini, kita bisa menggunakan cara yang lebih sederhana. Kita perhatikan bahwa fungsi $f(x) = \sqrt{2 - x} + \sqrt{1 + x}$ adalah jumlah dari dua akar kuadrat. Kita tahu bahwa nilai akar kuadrat selalu non-negatif, jadi nilai minimum fungsi akan terjadi ketika salah satu atau kedua akar kuadrat bernilai nol.

• Nilai Minimum:

  • Jika $x = 2$, maka $f(2) = \sqrt{2 - 2} + \sqrt{1 + 2} = 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1.73$
  • Jika $x = -1$, maka $f(-1) = \sqrt{2 - (-1)} + \sqrt{1 + (-1)} = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3} \approx 1.73$

  Jadi, nilai minimum fungsi adalah $\sqrt{3}$.

• Nilai Maksimum:

  Untuk mencari nilai maksimum, kita bisa mencoba nilai tengah dari daerah asal, yaitu $x = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2}$.

  $f(\frac{1}{2}) = \sqrt{2 - \frac{1}{2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{6} \approx 2.45$

  Atau kita bisa mencari nilai x saat turunannya sama dengan nol $f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} + \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = 0$ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{2\sqrt{2-x}}$ $1+x = 2-x$ $2x = 1$ $x = \frac{1}{2}$ Jadi nilai maksimum fungsi terjadi saat $x = \frac{1}{2}$ yaitu $\sqrt{6}$

Langkah 3: Menentukan Daerah Hasil Berdasarkan Nilai Minimum dan Maksimum

Dari perhitungan di atas, kita tahu bahwa nilai minimum fungsi adalah $\sqrt{3}$ dan nilai maksimumnya adalah $\sqrt{6}$. Karena fungsi $f(x) = \sqrt{2 - x} + \sqrt{1 + x}$ kontinu pada daerah asalnya, maka daerah hasilnya adalah semua nilai antara $\sqrt{3}$ dan $\sqrt{6}$, termasuk $\sqrt{3}$ dan $\sqrt{6}$ itu sendiri. Dengan kata lain, daerah hasil fungsi adalah $[\, \sqrt{3}, \sqrt{6}\,]$.

Langkah 4: Memeriksa Pilihan Jawaban

Sekarang, mari kita periksa pilihan jawaban yang diberikan dan lihat mana yang termasuk dalam daerah hasil $[\, \sqrt{3}, \sqrt{6}\,]$:

• A. 1: Tidak termasuk karena $1 < \sqrt{3} \approx 1.73$
• B. $\sqrt{2} \approx 1.41$: Tidak termasuk karena $\sqrt{2} < \sqrt{3} \approx 1.73$
• C. 2: Termasuk karena $\sqrt{3} \approx 1.73 < 2 < \sqrt{6} \approx 2.45$
• D. $\sqrt{6} \approx 2.45$: Termasuk karena $\sqrt{6}$ adalah batas atas daerah hasil
• E. $2\sqrt{2} \approx 2.83$: Tidak termasuk karena $2\sqrt{2} > \sqrt{6} \approx 2.45$

Kesimpulan

Jadi, nilai-nilai yang termasuk dalam daerah hasil fungsi $f(x) = \sqrt{2 - x} + \sqrt{1 + x}$ adalah 2 dan $\sqrt{6}$. Jawaban yang benar adalah C dan D.

Tips dan Trik Tambahan

• Selalu tentukan daerah asal fungsi terlebih dahulu sebelum mencari daerah hasilnya. Ini akan membantu Anda menghindari kesalahan.
• Jika fungsi melibatkan akar kuadrat, pastikan ekspresi di dalam akar tidak negatif.
• Jika fungsi melibatkan pecahan, pastikan penyebut tidak nol.
• Untuk mencari nilai minimum dan maksimum fungsi, Anda bisa menggunakan turunan pertama atau dengan menganalisis sifat-sifat fungsi tersebut.
• Setelah Anda mendapatkan rentang nilai yang mungkin, periksa pilihan jawaban yang diberikan dan lihat mana yang termasuk dalam rentang tersebut.

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Jangan ragu untuk bertanya jika ada yang kurang jelas. Selamat belajar dan semoga sukses!