Deret Geometri: Soal Pemotongan Tali & Pembahasannya

Oct 28, 2025 by ADMIN 53 views

Hey guys! Pernah gak sih kalian kepikiran, gimana caranya memotong tali dengan pola matematika yang keren? Nah, kali ini kita bakal bahas soal seru tentang pemotongan tali yang berhubungan dengan deret geometri. Soal ini sering banget muncul di pelajaran matematika, dan penting banget buat kalian pahami konsepnya. Yuk, kita bahas tuntas!

Memahami Soal Deret Geometri Pemotongan Tali

Sebelum kita masuk ke cara penyelesaiannya, kita pahami dulu soalnya dengan baik, guys. Dalam soal ini, kita punya seutas tali dengan panjang awal 10 meter. Tali ini dipotong-potong, tapi potongannya gak sembarangan, melainkan mengikuti pola deret geometri. Deret geometri itu apa sih? Singkatnya, deret geometri adalah urutan bilangan di mana setiap suku diperoleh dari suku sebelumnya dengan dikalikan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Jadi, potongan tali ini ukurannya makin lama makin kecil dengan rasio yang tetap.

Dalam soal ini, kita dikasih tahu beberapa informasi penting:

Panjang tali awal: 10 meter
Potongan tali terpanjang (suku pertama): 6 meter
Potongan tali kedua: 2 meter
Potongan tali ketiga: 2/3 meter
Rasio (r): 1/3

Nah, dari informasi ini, kita bisa lihat bahwa potongan tali ini memang membentuk deret geometri. Potongan kedua diperoleh dari potongan pertama dikalikan 1/3 (6 * 1/3 = 2), dan potongan ketiga diperoleh dari potongan kedua dikalikan 1/3 (2 * 1/3 = 2/3). Intinya, kita diminta untuk menganalisis dan menghitung lebih lanjut tentang pemotongan tali ini, misalnya berapa banyak potongan tali yang bisa dibuat, atau berapa panjang total dari beberapa potongan pertama.

Mengapa Memahami Deret Geometri Itu Penting?

Mungkin ada yang bertanya-tanya, kenapa sih kita harus belajar tentang deret geometri? Bukannya cuma teori matematika yang rumit aja? Eits, jangan salah, guys! Konsep deret geometri ini punya banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, lho. Contohnya:

Perhitungan bunga majemuk: Kalau kalian punya tabungan atau investasi dengan bunga majemuk, pertumbuhan uang kalian itu mengikuti deret geometri.
Pertumbuhan populasi: Pertumbuhan populasi makhluk hidup, termasuk manusia, seringkali dimodelkan dengan deret geometri.
Peluruhan zat radioaktif: Peluruhan zat radioaktif juga mengikuti pola deret geometri.
Desain arsitektur dan seni: Pola-pola deret geometri seringkali digunakan dalam desain arsitektur dan seni untuk menciptakan karya yang indah dan harmonis.

Jadi, dengan memahami deret geometri, kita bisa lebih memahami banyak fenomena di sekitar kita. Selain itu, kemampuan memecahkan soal deret geometri juga melatih kemampuan berpikir logis dan analitis kita, yang berguna banget dalam berbagai bidang.

Langkah-Langkah Penyelesaian Soal

Oke, sekarang kita masuk ke bagian yang paling penting, yaitu cara menyelesaikan soal pemotongan tali ini. Ada beberapa konsep dan rumus penting yang perlu kalian ingat dalam deret geometri:

Suku ke-n (Un): Suku ke-n dari deret geometri dapat dihitung dengan rumus:
```
Un = a * r^(n-1)
```
Di mana:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama
- r = rasio
- n = nomor suku
Jumlah n suku pertama (Sn): Jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat dihitung dengan rumus:
```
Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)  (jika r < 1)
```
Atau
```
Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)  (jika r > 1)
```
Di mana:
- Sn = jumlah n suku pertama
- a = suku pertama
- r = rasio
- n = banyaknya suku
Jumlah deret geometri tak hingga (S∞): Jika rasio (r) berada di antara -1 dan 1 (-1 < r < 1), maka deret geometri tersebut memiliki jumlah tak hingga yang dapat dihitung dengan rumus:
```
S∞ = a / (1 - r)
```
Di mana:
- S∞ = jumlah deret geometri tak hingga
- a = suku pertama
- r = rasio

Nah, dengan rumus-rumus ini, kita bisa menjawab berbagai pertanyaan terkait soal pemotongan tali ini. Misalnya, kita bisa mencari tahu berapa panjang potongan tali ke-5, atau berapa total panjang 10 potongan tali pertama.

Contoh Penerapan Rumus

Misalnya, kita ingin mencari tahu panjang potongan tali ke-5 (U5). Kita sudah tahu bahwa:

a = 6 meter
r = 1/3
n = 5

Maka, kita bisa langsung masukkan ke rumus suku ke-n:

U5 = a * r^(n-1)
U5 = 6 * (1/3)^(5-1)
U5 = 6 * (1/3)^4
U5 = 6 * (1/81)
U5 = 6/81 = 2/27 meter

Jadi, panjang potongan tali ke-5 adalah 2/27 meter. Gampang kan?

Sekarang, kita coba cari tahu berapa total panjang 5 potongan tali pertama (S5). Kita gunakan rumus jumlah n suku pertama:

S5 = a * (1 - r^n) / (1 - r)
S5 = 6 * (1 - (1/3)^5) / (1 - 1/3)
S5 = 6 * (1 - 1/243) / (2/3)
S5 = 6 * (242/243) / (2/3)
S5 = 6 * (242/243) * (3/2)
S5 = 242/81 meter

Jadi, total panjang 5 potongan tali pertama adalah 242/81 meter atau sekitar 2.99 meter.

Menganalisis Lebih Lanjut: Apakah Semua Tali Terpotong?

Sekarang, mari kita berpikir lebih kritis. Tadi kita punya tali sepanjang 10 meter. Kita sudah tahu panjang 5 potongan tali pertama adalah sekitar 2.99 meter. Pertanyaannya, apakah semua tali akan terpotong habis jika kita terus memotongnya mengikuti deret geometri ini? Atau, apakah akan ada sisa tali yang tidak terpotong?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu menghitung jumlah deret geometri tak hingga (S∞). Kenapa? Karena kalau kita terus memotong tali sampai tak hingga, total panjang potongan tali itu akan mendekati jumlah deret geometri tak hingganya. Jika jumlah deret geometri tak hingganya kurang dari atau sama dengan 10 meter (panjang tali awal), berarti semua tali akan terpotong habis. Tapi, jika jumlah deret geometri tak hingganya lebih dari 10 meter, berarti ada kesalahan dalam soal atau ada sisa tali yang tidak terpotong.

Kita hitung S∞ dengan rumus:

S∞ = a / (1 - r)
S∞ = 6 / (1 - 1/3)
S∞ = 6 / (2/3)
S∞ = 6 * (3/2)
S∞ = 9 meter

Ternyata, jumlah deret geometri tak hingganya adalah 9 meter. Ini berarti, secara teoritis, semua tali akan terpotong habis, dan panjang total semua potongan tali akan mendekati 9 meter. Ada selisih 1 meter dari panjang tali awal (10 meter) karena dalam deret geometri tak hingga, kita tidak benar-benar mencapai