Deret Geometri: Temukan Banyak Suku!

by ADMIN 37 views

Halo, para pencari ilmu matematika! Kali ini kita bakal bedah tuntas soal seru tentang deret geometri. Buat kalian yang suka tantangan angka, siap-siap ya, karena kita akan membongkar misteri di balik sebuah deret geometri yang punya informasi menarik. Pernah nggak sih kalian dikasih soal yang bunyinya kayak gini: Diketahui suatu deret geometri memiliki suku pertama 6 dan suku keempat 48. Jika jumlah semua suku 6.138, tentukan banyak suku pada deret geometri tersebut! Nah, ini dia nih soal yang bakal kita kupas tuntas. Jangan khawatir, kita akan bahasnya pelan-pelan biar kalian semua paham dan ngerti banget. Pokoknya, setelah baca artikel ini, kalian bakal jadi jagoan deret geometri!

Memahami Konsep Dasar Deret Geometri

Sebelum kita terjun ke perhitungannya, yuk kita review dulu sebentar apa sih itu deret geometri. Jadi, deret geometri itu adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Rasio ini biasanya dilambangkan dengan 'r'. Misalnya, kalau suku pertamanya adalah 'a', maka suku keduanya adalah ar, suku ketiganya ar^2, dan seterusnya. Suku ke-n dari deret geometri itu punya rumus Un = a * r^(n-1). Penting banget nih rumus ini buat diingat-ingat ya, guys. Karena nanti bakal sering kita pakai. Nah, selain itu, ada juga rumus jumlah n suku pertama deret geometri, yang biasa kita singkat jadi Sn. Rumusnya ada dua, tergantung nilai r-nya:

  • Jika |r| > 1, maka Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)
  • Jika |r| < 1, maka Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Kalian bisa pilih mana yang lebih nyaman dipakai. Tapi intinya sama aja kok. Di soal kita ini, kita dikasih tahu suku pertama (a) itu 6. Terus, suku keempat (U4) itu 48. Dan yang paling bikin penasaran, jumlah semua suku (Sn) itu 6.138. Tugas kita adalah mencari 'n', alias banyak suku dalam deret itu. Menarik kan? Pasti kalian udah nggak sabar pengen tau gimana cara nyelesaiinnya. Tenang aja, kita akan mulai dari mencari nilai rasio 'r' dulu. Ini adalah langkah krusial sebelum kita bisa melangkah lebih jauh.

Menghitung Rasio (r) dan Suku Pertama (a)

Oke, guys, mari kita mulai petualangan kita dengan mencari tahu nilai rasio 'r'. Kita sudah punya informasi penting nih: suku pertama (a) = 6, dan suku keempat (U4) = 48. Ingat rumus suku ke-n? Un = a * r^(n-1). Kita bisa pakai rumus ini untuk U4:

U4 = a * r^(4-1) 48 = 6 * r^3

Nah, sekarang kita tinggal cari nilai r^3. Caranya gampang, tinggal bagi kedua sisi dengan 6:

r^3 = 48 / 6 r^3 = 8

Untuk mendapatkan nilai 'r', kita perlu mencari akar pangkat tiga dari 8. Kalian pasti tahu jawabannya, yaitu 2. Jadi, rasio (r) = 2. Asik! Kita sudah dapat nilai rasio. Ini modal penting banget buat lanjut ke tahap berikutnya. Sekarang, kita punya a = 6 dan r = 2. Informasi ini akan sangat berguna untuk menghitung banyak suku (n) jika diketahui jumlah total suku deretnya.

Menentukan Banyak Suku (n) dengan Informasi Jumlah Total

Setelah kita berhasil menemukan rasio 'r' yang bernilai 2, sekarang saatnya kita menggunakan informasi jumlah semua suku (Sn) yang nilainya 6.138. Kita akan gunakan rumus jumlah n suku pertama deret geometri. Karena r = 2, yang mana |r| > 1, kita akan pakai rumus:

Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Sekarang, kita substitusikan nilai-nilai yang kita punya:

6.138 = 6 * (2^n - 1) / (2 - 1) 6.138 = 6 * (2^n - 1) / 1 6.138 = 6 * (2^n - 1)

Langkah selanjutnya adalah mengisolasi bagian yang mengandung 'n'. Kita bagi dulu kedua sisi dengan 6:

6.138 / 6 = 2^n - 1 1.023 = 2^n - 1

Sekarang, tambahkan 1 ke kedua sisi untuk mendapatkan nilai 2^n:

1.023 + 1 = 2^n 1.024 = 2^n

Nah, di sini kita perlu mencari nilai 'n' yang kalau dipangkatkan dengan 2 hasilnya adalah 1.024. Kalian bisa coba-coba atau kalau sudah hafal pangkat-pangkat dua, langsung ketemu deh jawabannya. 2^10 = 1.024. Jadi, n = 10. Wow! Ternyata banyak suku pada deret geometri tersebut adalah 10 suku. Keren banget kan? Kita berhasil memecahkan soal ini langkah demi langkah. Semua ini berkat pemahaman kita tentang rumus-rumus dasar deret geometri dan sedikit trial-and-error di akhir.

Menghitung Jumlah Dua Belas Suku Pertama (S12)

Sekarang, kita masuk ke bagian kedua dari soal ini, guys. Kita diminta untuk menghitung jumlah dua belas suku pertama deret geometri tersebut (S12). Kita sudah punya modal yang cukup nih: suku pertama (a) = 6 dan rasio (r) = 2. Kita juga sudah tahu bahwa n = 10 dari perhitungan sebelumnya, tapi untuk menghitung S12, kita gunakan n = 12.

Masih ingat rumus jumlah n suku pertama? Karena r = 2 (|r| > 1), kita pakai rumus:

Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Sekarang, kita substitusikan nilai a = 6, r = 2, dan n = 12:

S12 = 6 * (2^12 - 1) / (2 - 1) S12 = 6 * (2^12 - 1) / 1 S12 = 6 * (2^12 - 1)

Kita perlu menghitung 2^12. Ini memang angka yang lumayan besar, tapi bisa kita hitung:

2^10 = 1.024 2^11 = 1.024 * 2 = 2.048 2^12 = 2.048 * 2 = 4.096

Jadi, 2^12 = 4.096. Sekarang kita masukkan kembali ke rumus S12:

S12 = 6 * (4.096 - 1) S12 = 6 * (4.095)

Terakhir, kita kalikan 6 dengan 4.095:

S12 = 24.570

Voila! Jadi, jumlah dua belas suku pertama deret geometri tersebut adalah 24.570. Gimana? Ternyata nggak sesulit yang dibayangkan, kan? Dengan memahami konsep dan rumus yang tepat, soal-soal matematika yang terlihat rumit pun bisa kita taklukkan. Terus semangat belajar ya, guys!