Distribusi Hipergeometrik: Peluang Bola Merah Terambil

Hey guys! Kali ini kita akan membahas tentang distribusi hipergeometrik. Mungkin sebagian dari kalian masih asing dengan istilah ini, tapi tenang aja, kita akan kupas tuntas sampai kalian paham. Distribusi hipergeometrik ini sering banget muncul dalam soal-soal peluang, terutama yang berkaitan dengan pengambilan sampel tanpa pengembalian. Nah, biar makin jelas, kita langsung aja ke contoh soal ya. Kita akan membahas soal tentang peluang terambilnya bola merah dari sejumlah bola yang ada. Jadi, simak terus ya!

Memahami Distribusi Hipergeometrik

Sebelum kita masuk ke contoh soal, ada baiknya kita pahami dulu apa itu distribusi hipergeometrik. Jadi gini, distribusi hipergeometrik itu adalah distribusi probabilitas diskrit yang menggambarkan peluang sejumlah keberhasilan dalam serangkaian n penarikan dari populasi berukuran N yang mengandung K keberhasilan, tanpa pengembalian. Bingung? Oke, kita sederhanakan.

Bayangkan kamu punya sekumpulan bola, beberapa di antaranya berwarna merah dan sisanya berwarna putih. Kamu mau ambil beberapa bola secara acak, tapi setelah diambil, bola itu nggak dikembalikan lagi. Nah, distribusi hipergeometrik ini membantu kita menghitung peluang berapa banyak bola merah yang akan kita dapatkan. Penting untuk diingat, pengambilan sampelnya tanpa pengembalian, ini yang membedakan dengan distribusi binomial yang pengambilannya dengan pengembalian.

Kapan Kita Menggunakan Distribusi Hipergeometrik?

Kapan sih kita tahu kalau suatu soal itu harus diselesaikan dengan distribusi hipergeometrik? Nah, perhatikan beberapa ciri-ciri berikut:

• Populasi terbatas: Jumlah total item dalam populasi sudah diketahui (misalnya, jumlah bola dalam kotak).
• Dua kategori: Item dalam populasi dapat dikelompokkan ke dalam dua kategori (misalnya, bola merah dan bola putih).
• Pengambilan sampel tanpa pengembalian: Setelah item diambil, item tersebut tidak dikembalikan ke populasi.
• Ukuran sampel tetap: Jumlah item yang diambil sudah ditentukan (misalnya, mengambil 5 bola).

Kalau soal yang kamu hadapi memenuhi ciri-ciri ini, berarti besar kemungkinan kamu harus menggunakan distribusi hipergeometrik untuk menyelesaikannya.

Fungsi Distribusi Hipergeometrik

Secara matematis, fungsi distribusi hipergeometrik dinyatakan sebagai berikut:

P(X = x) = (K Cx) * (N - K C n - x) / (N Cn)

Di mana:

• P(X = x) adalah probabilitas mendapatkan x keberhasilan
• N adalah ukuran populasi
• K adalah jumlah keberhasilan dalam populasi
• n adalah ukuran sampel
• x adalah jumlah keberhasilan dalam sampel
• C adalah kombinasi

Kombinasi ini penting banget, guys. Kalian ingat kan cara menghitung kombinasi? Kalau lupa, yuk kita refresh lagi. Kombinasi digunakan untuk menghitung berapa banyak cara kita bisa memilih sejumlah item dari sekumpulan item tanpa memperhatikan urutannya. Rumusnya gini:

N C r = N! / (r! * (N - r)!)

Di mana:

• N! adalah faktorial dari N (N! = N * (N-1) * (N-2) * ... * 1)
• r adalah jumlah item yang dipilih

Oke, sekarang kita udah punya bekal yang cukup untuk membahas contoh soal. Mari kita lanjut!

Contoh Soal Distribusi Hipergeometrik

Ini dia soalnya:

Dari 10 bola, 4 di antaranya merah dan sisanya putih. Jika 5 bola diambil secara acak tanpa pengembalian, tentukan probabilitas terambil 2 bola merah.

Identifikasi Parameter

Langkah pertama, kita identifikasi dulu parameter-parameter yang ada di soal:

• N (ukuran populasi) = 10 (total bola)
• K (jumlah keberhasilan dalam populasi) = 4 (jumlah bola merah)
• n (ukuran sampel) = 5 (jumlah bola yang diambil)
• x (jumlah keberhasilan dalam sampel) = 2 (jumlah bola merah yang ingin terambil)

Menghitung Probabilitas

Setelah kita tahu parameternya, kita tinggal masukkan ke dalam rumus distribusi hipergeometrik:

P(X = 2) = (4 C 2) * (10 - 4 C 5 - 2) / (10 C 5)

Sekarang kita hitung satu per satu:

• 4 C 2 = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6
• 6 C 3 = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (3 * 2 * 1)) = 20
• 10 C 5 = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * (5 * 4 * 3 * 2 * 1)) = 252

Lalu kita masukkan kembali ke dalam rumus:

P(X = 2) = (6 * 20) / 252 = 120 / 252 = 10 / 21

Jadi, probabilitas terambil 2 bola merah adalah 10/21 atau sekitar 0.476 atau 47.6%.

Interpretasi Hasil

Artinya, kalau kita melakukan pengambilan 5 bola dari 10 bola (4 merah dan 6 putih) berulang kali, maka sekitar 47.6% dari percobaan tersebut akan menghasilkan 2 bola merah. Gimana, guys? Udah mulai kebayang kan cara kerjanya?

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Distribusi Hipergeometrik

Supaya kalian makin jago mengerjakan soal distribusi hipergeometrik, nih ada beberapa tips dan trik yang bisa kalian terapkan:

1. Identifikasi parameter dengan benar: Pastikan kalian sudah benar mengidentifikasi nilai N, K, n, dan x. Salah satu angka saja salah, hasilnya bisa beda jauh.
2. Pahami konsep kombinasi: Kombinasi adalah kunci dari distribusi hipergeometrik. Kalau kalian masih bingung dengan kombinasi, coba pelajari lagi konsepnya.
3. Gunakan kalkulator: Menghitung faktorial dan kombinasi dengan manual bisa memakan waktu. Manfaatkan kalkulator atau aplikasi penghitung kombinasi untuk mempercepat proses perhitungan.
4. Perhatikan soal cerita: Soal distribusi hipergeometrik seringkali disajikan dalam bentuk cerita. Baca soal dengan teliti dan pahami konteksnya sebelum mulai menghitung.
5. Latihan soal: Semakin banyak kalian latihan soal, semakin terbiasa kalian dengan pola soal dan cara penyelesaiannya.

Kesimpulan

Distribusi hipergeometrik adalah alat yang ampuh untuk menghitung peluang dalam pengambilan sampel tanpa pengembalian. Dengan memahami konsep dan rumusnya, serta dengan banyak berlatih, kalian pasti bisa menaklukkan soal-soal yang berkaitan dengan distribusi ini. Intinya, jangan lupa untuk selalu identifikasi parameter dengan benar dan pahami konteks soalnya.

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Selamat belajar dan semoga sukses!