Domain & Komposisi Fungsi: F(x) = √(x+1) Dan G(x) = √(4-x²)

Hay guys! Kali ini kita bakal membahas soal matematika yang sering muncul nih, yaitu tentang domain dan komposisi fungsi. Soalnya lumayan tricky, tapi kalau kita pahami konsepnya, pasti bisa kok! Nah, di sini kita punya dua fungsi, yaitu f(x) = √(x + 1) dan g(x) = √(4 - x²). Kita akan cari domain dari masing-masing fungsi ini, terus kita juga akan cari komposisi fungsi (g ∘ f)(x) beserta domainnya. Yuk, langsung aja kita bahas!

a) Domain Fungsi f(x) dan g(x)

Oke, pertama-tama, kita harus ngerti dulu apa itu domain. Domain fungsi itu adalah semua nilai x yang boleh kita masukin ke dalam fungsi, sehingga hasilnya itu real alias bilangan nyata. Nah, karena fungsi kita di sini ada bentuk akar, kita harus hati-hati nih. Soalnya, kita tahu kan, akar kuadrat dari bilangan negatif itu enggak real. Jadi, isi di dalam akar harus lebih besar atau sama dengan nol.

1. Domain f(x) = √(x + 1)

Buat cari domain f(x), kita perhatikan isi di dalam akarnya, yaitu (x + 1). Isi ini harus lebih besar atau sama dengan nol, jadi kita tulis:

x + 1 ≥ 0

Terus, kita pindahin angka 1 ke sisi kanan pertidaksamaan:

x ≥ -1

Nah, ini dia domain f(x)! Jadi, domain fungsi f(x) adalah semua bilangan x yang lebih besar atau sama dengan -1. Kalau kita tulis dalam notasi interval, jadi [-1, ∞). Artinya, nilai x boleh -1, boleh juga bilangan positif berapapun.

Untuk lebih jelasnya, domain fungsi ini sangat penting karena menentukan batasan nilai input yang valid. Dalam kasus f(x) = √(x + 1), kita tidak bisa memasukkan nilai x yang kurang dari -1, karena akan menghasilkan akar kuadrat dari bilangan negatif, yang bukan merupakan bilangan real. Pemahaman ini sangat krusial dalam aplikasi matematika dan ilmu lainnya, seperti fisika dan teknik, di mana kita seringkali berurusan dengan fungsi-fungsi dengan batasan tertentu.

2. Domain g(x) = √(4 - x²)

Sekarang, kita cari domain g(x). Caranya mirip, kita perhatikan isi di dalam akarnya, yaitu (4 - x²). Isi ini juga harus lebih besar atau sama dengan nol:

4 - x² ≥ 0

Biar lebih gampang, kita faktorkan dulu nih:

(2 - x)(2 + x) ≥ 0

Nah, sekarang kita cari nilai-nilai x yang bikin persamaan ini jadi nol. Ada dua nilai, yaitu x = 2 dan x = -2. Kita bikin garis bilangan, terus kita uji tanda di masing-masing interval.

• Untuk x < -2, misalnya x = -3, maka (2 - (-3))(2 + (-3)) = (5)(-1) = -5 (negatif)
• Untuk -2 < x < 2, misalnya x = 0, maka (2 - 0)(2 + 0) = (2)(2) = 4 (positif)
• Untuk x > 2, misalnya x = 3, maka (2 - 3)(2 + 3) = (-1)(5) = -5 (negatif)

Kita mau yang lebih besar atau sama dengan nol, berarti kita pilih interval yang positif atau nol. Jadi, domain fungsi g(x) adalah semua bilangan x di antara -2 dan 2, termasuk -2 dan 2 itu sendiri. Kalau kita tulis dalam notasi interval, jadi [-2, 2]. Artinya, nilai x cuma boleh di antara -2 dan 2 aja.

Domain fungsi g(x) = √(4 - x²) ini memberikan batasan yang lebih ketat dibandingkan f(x). Fungsi ini hanya terdefinisi untuk nilai x dalam rentang [-2, 2]. Di luar rentang ini, nilai di dalam akar akan menjadi negatif, sehingga hasilnya tidak real. Batasan ini penting untuk dipahami, terutama ketika kita akan melakukan operasi lebih lanjut dengan fungsi ini, seperti mencari komposisi fungsi atau menggambar grafiknya. Kesalahan dalam menentukan domain dapat menyebabkan hasil yang tidak valid atau interpretasi yang salah dalam konteks masalah yang diberikan.

b) (g ∘ f)(x) beserta Domainnya

Lanjut ke soal berikutnya, kita mau cari komposisi fungsi (g ∘ f)(x). Apa sih komposisi fungsi itu? Jadi, komposisi fungsi itu sederhananya gini, kita masukin fungsi f ke dalam fungsi g. Jadi, setiap ada x di g, kita ganti sama f(x).

1. Mencari (g ∘ f)(x)

Kita punya g(x) = √(4 - x²). Sekarang, setiap x di g kita ganti sama f(x) = √(x + 1). Jadi:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = √(4 - (√(x + 1))²)

Kita sederhanakan nih:

(g ∘ f)(x) = √(4 - (x + 1)) = √(4 - x - 1) = √(3 - x)

Nah, kita udah dapat komposisi fungsinya, yaitu (g ∘ f)(x) = √(3 - x).

Proses komposisi fungsi ini melibatkan substitusi fungsi f(x) ke dalam fungsi g(x). Langkah ini sangat penting dalam memahami bagaimana dua fungsi berinteraksi dan menghasilkan fungsi baru. Dalam kasus ini, kita melihat bagaimana fungsi akar kuadrat dari x + 1 memengaruhi fungsi akar kuadrat dari 4 - x². Hasilnya, kita mendapatkan fungsi baru, √(3 - x), yang memiliki karakteristik dan domain yang berbeda dari fungsi asalnya. Pemahaman tentang komposisi fungsi ini penting dalam berbagai aplikasi matematika, termasuk kalkulus dan analisis fungsi.

2. Mencari Domain (g ∘ f)(x)

Sekarang, kita cari domain komposisi fungsi ini. Sama kayak tadi, kita perhatikan isi di dalam akarnya, yaitu (3 - x). Isi ini harus lebih besar atau sama dengan nol:

3 - x ≥ 0

Kita pindahin x ke sisi kanan:

3 ≥ x atau x ≤ 3

Tapi, ingat! Kita enggak boleh lupa sama domain fungsi asalnya, yaitu f(x). Tadi kita udah dapat domain f(x) adalah x ≥ -1. Jadi, domain komposisi fungsi ini enggak cuma x ≤ 3 aja, tapi juga harus memenuhi x ≥ -1. Kita gabungin dua kondisi ini:

-1 ≤ x ≤ 3

Jadi, domain komposisi fungsi (g ∘ f)(x) adalah semua bilangan x di antara -1 dan 3, termasuk -1 dan 3 itu sendiri. Kalau kita tulis dalam notasi interval, jadi [-1, 3]. Artinya, nilai x cuma boleh di antara -1 dan 3 aja.

Dalam menentukan domain komposisi fungsi, kita tidak hanya mempertimbangkan batasan dari fungsi hasil komposisi (√(3 - x) dalam kasus ini), tetapi juga harus memperhatikan domain dari fungsi awal (f(x)). Ini adalah langkah penting yang sering terlupakan, tetapi sangat krusial untuk memastikan bahwa komposisi fungsi terdefinisi dengan baik. Domain f(x), yaitu x ≥ -1, menjadi batasan tambahan yang harus dipenuhi oleh domain komposisi fungsi. Dengan menggabungkan kedua batasan ini, kita mendapatkan domain akhir [-1, 3]. Kesalahan dalam menentukan domain komposisi fungsi dapat menyebabkan hasil yang tidak akurat atau interpretasi yang salah dalam konteks masalah yang diberikan. Oleh karena itu, pemahaman yang cermat tentang konsep domain dan komposisi fungsi sangat penting.

Kesimpulan

Oke guys, jadi gitu ya cara cari domain dan komposisi fungsi. Intinya, kita harus perhatikan bentuk fungsi, terutama kalau ada akar atau pecahan. Terus, jangan lupa juga buat perhatiin domain fungsi asalnya pas cari domain komposisi. Semoga penjelasan ini bisa bantu kalian ya! Kalau ada pertanyaan, jangan sungkan buat nanya di kolom komentar. Semangat terus belajarnya!