Domain, Komposisi, Dan Grafik Fungsi F(x) = √x & G(x) = X²
Hey guys! Kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik, yaitu tentang fungsi. Kita akan mencari domain dari fungsi f(x) = √x dan g(x) = x², menentukan fungsi komposisi (g o f)(x) beserta domainnya, dan terakhir, kita akan membuat sketsa grafiknya. Siap? Yuk, langsung kita mulai!
(a) Mencari Domain Fungsi f(x) dan g(x)
Oke, pertama-tama kita akan menentukan domain dari masing-masing fungsi. Domain itu apa sih? Gampangnya, domain adalah semua nilai x yang boleh kita masukkan ke dalam fungsi agar fungsi tersebut menghasilkan nilai yang valid (nyata).
Domain Fungsi f(x) = √x
Untuk fungsi f(x) = √x, kita harus ingat satu hal penting: akar kuadrat dari bilangan negatif itu tidak terdefinisi dalam bilangan real. Jadi, nilai di dalam akar (yaitu x) harus lebih besar atau sama dengan nol.
Dengan kata lain, x ≥ 0. Nah, inilah domain dari fungsi f(x). Kita bisa menuliskan domain ini dalam notasi himpunan sebagai Df = {x | x ≥ 0} atau dalam notasi interval sebagai Df = [0, ∞). Jadi, kita cuma boleh memasukkan angka nol dan angka-angka positif ke dalam fungsi akar ini.
Kenapa ini penting? Karena kalau kita memasukkan angka negatif, misalnya x = -1, kita akan mendapatkan f(-1) = √(-1), yang mana hasilnya adalah bilangan imajiner (bukan bilangan real). Dalam konteks grafik fungsi, ini berarti grafik fungsi akar hanya ada di sebelah kanan sumbu y (untuk x positif) dan menyentuh sumbu y di titik x = 0.
Domain Fungsi g(x) = x²
Sekarang, mari kita lihat fungsi g(x) = x². Fungsi ini jauh lebih sederhana. Kita bisa memasukkan nilai x apa saja ke dalam fungsi kuadrat ini, baik itu bilangan positif, negatif, nol, pecahan, desimal, pokoknya semua bilangan real! Kenapa? Karena mengkuadratkan bilangan apapun akan selalu menghasilkan bilangan real yang terdefinisi.
Jadi, domain dari fungsi g(x) = x² adalah semua bilangan real. Kita bisa menuliskan domain ini sebagai Dg = {x | x ∈ R} atau dalam notasi interval sebagai Dg = (-∞, ∞). Artinya, grafik fungsi kuadrat ini akan terus melebar ke kiri dan ke kanan tanpa batas.
Dengan memahami domain dari masing-masing fungsi, kita sudah punya fondasi yang kuat untuk melangkah ke pembahasan selanjutnya, yaitu mencari fungsi komposisi dan domainnya. Ingat, domain ini penting karena dia menentukan batasan nilai x yang boleh kita gunakan.
(b) Mencari Fungsi Komposisi (g o f)(x) dan Domainnya
Setelah kita tahu domain masing-masing fungsi, sekarang kita akan mencari fungsi komposisi (g o f)(x). Apa itu fungsi komposisi? Fungsi komposisi adalah fungsi yang dihasilkan dari menggabungkan dua fungsi. Dalam kasus ini, kita akan memasukkan fungsi f(x) ke dalam fungsi g(x).
Menentukan Fungsi Komposisi (g o f)(x)
Secara matematis, (g o f)(x) artinya g(f(x)). Jadi, kita mengganti x pada fungsi g dengan seluruh fungsi f(x). Karena f(x) = √x dan g(x) = x², maka:
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = (√x)² = x
Wah, ternyata fungsi komposisinya cukup sederhana ya, yaitu (g o f)(x) = x. Tapi, jangan langsung senang dulu! Kita belum selesai. Kita juga harus menentukan domain dari fungsi komposisi ini.
Menentukan Domain Fungsi Komposisi (g o f)(x)
Domain fungsi komposisi itu sedikit tricky. Kita tidak bisa hanya melihat fungsi hasil komposisinya saja (dalam hal ini x). Kita juga harus memperhatikan domain fungsi f(x) (yang dimasukkan ke dalam) dan domain fungsi hasil komposisinya secara keseluruhan.
Secara umum, domain (g o f)(x) adalah himpunan semua x yang memenuhi dua syarat:
- x harus berada dalam domain f(x) (karena f(x) yang pertama kali kita operasikan).
- f(x) harus berada dalam domain g(x) (karena hasil f(x) yang akan kita masukkan ke g(x)).
Dalam kasus kita:
- Domain f(x) = √x adalah Df = [0, ∞) (seperti yang sudah kita cari sebelumnya).
- Domain g(x) = x² adalah Dg = (-∞, ∞).
Karena hasil f(x) (yaitu √x) akan selalu menghasilkan nilai non-negatif (lebih besar atau sama dengan nol), maka √x pasti berada dalam domain g(x) (karena domain g(x) adalah semua bilangan real). Jadi, syarat kedua terpenuhi secara otomatis.
Yang paling penting adalah syarat pertama: x harus berada dalam domain f(x). Ini berarti domain dari (g o f)(x) adalah sama dengan domain f(x), yaitu [0, ∞). Kita bisa menuliskannya sebagai D(g o f) = [0, ∞).
Penting untuk diingat: Meskipun fungsi komposisinya terlihat sederhana (yaitu x), domainnya tidak boleh kita lupakan. Domain ini memberikan batasan penting tentang nilai x yang boleh kita gunakan. Dalam kasus ini, kita hanya boleh memasukkan nilai x yang lebih besar atau sama dengan nol ke dalam fungsi komposisi (g o f)(x).
(c) Membuat Sketsa Grafik (g o f)(x) pada Domainnya
Nah, sekarang bagian yang seru! Kita akan membuat sketsa grafik dari fungsi komposisi (g o f)(x). Kita sudah tahu bahwa (g o f)(x) = x dan domainnya adalah [0, ∞). Jadi, kita akan membuat grafik fungsi y = x (garis lurus) hanya pada interval x ≥ 0.
Langkah-langkah Membuat Sketsa Grafik
- Buat sumbu koordinat: Gambar sumbu x (horizontal) dan sumbu y (vertikal) pada kertas atau layar kamu.
- Tentukan domain: Karena domainnya adalah [0, ∞), maka grafik hanya akan ada di sebelah kanan sumbu y (termasuk sumbu y itu sendiri).
- Gambar garis y = x: Garis y = x adalah garis lurus yang melewati titik (0, 0) dan memiliki kemiringan 1. Artinya, untuk setiap kenaikan 1 unit di sumbu x, nilai y juga naik 1 unit.
- Batasi grafik pada domain: Karena domainnya x ≥ 0, kita hanya menggambar garis y = x mulai dari titik (0, 0) ke kanan. Bagian garis yang berada di sebelah kiri sumbu y tidak termasuk dalam grafik fungsi komposisi kita.
Interpretasi Grafik
Grafik fungsi komposisi (g o f)(x) = x pada domain [0, ∞) adalah sebuah garis lurus yang dimulai dari titik (0, 0) dan terus memanjang ke kanan atas. Grafik ini menunjukkan bahwa untuk setiap nilai x yang kita masukkan (dengan syarat x ≥ 0), nilai output fungsi komposisi akan sama dengan nilai x itu sendiri.
Contoh:
- Jika kita masukkan x = 0, maka (g o f)(0) = 0. Titik (0, 0) berada pada grafik.
- Jika kita masukkan x = 1, maka (g o f)(1) = 1. Titik (1, 1) berada pada grafik.
- Jika kita masukkan x = 4, maka (g o f)(4) = 4. Titik (4, 4) berada pada grafik.
Dan seterusnya. Grafik ini memberikan visualisasi yang jelas tentang bagaimana fungsi komposisi bekerja pada domain yang telah ditentukan.
Kesimpulan
Nah, guys, kita sudah berhasil menyelesaikan soal ini! Kita sudah menentukan domain fungsi f(x) = √x dan g(x) = x², mencari fungsi komposisi (g o f)(x) beserta domainnya, dan membuat sketsa grafiknya. Semoga penjelasan ini mudah dipahami dan bermanfaat buat kalian ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Semangat terus belajarnya!
Ringkasan Poin Penting:
- Domain fungsi akar kuadrat f(x) = √x adalah x ≥ 0.
- Domain fungsi kuadrat g(x) = x² adalah semua bilangan real.
- Fungsi komposisi (g o f)(x) = x.
- Domain fungsi komposisi (g o f)(x) adalah x ≥ 0, mengikuti domain fungsi yang pertama kali dioperasikan (f(x)).
- Grafik fungsi komposisi (g o f)(x) = x pada domain x ≥ 0 adalah garis lurus yang dimulai dari titik (0, 0) dan memanjang ke kanan atas.
Sampai jumpa di pembahasan soal-soal menarik lainnya! Bye-bye!