Domain, Range, Invers Fungsi & Komposisi: Soal & Pembahasan

Hey guys! Kali ini kita bakal membahas soal-soal seru tentang domain, range, invers fungsi, dan komposisi fungsi. Materi ini penting banget dalam matematika, jadi yuk kita bedah satu per satu biar makin jago!

1. Menentukan Domain, Kodomain, dan Range dari $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$

Domain, kodomain, dan range adalah konsep dasar dalam fungsi yang perlu banget kita pahami. Jadi, gimana sih cara nentuinnya untuk fungsi yang ada akar kuadratnya kayak gini? Mari kita bahas!

Apa Itu Domain, Kodomain, dan Range?

Sebelum masuk ke soal, kita refresh dulu yuk apa itu domain, kodomain, dan range:

• Domain: Domain itu ibarat wilayah kekuasaan si fungsi. Domain adalah himpunan semua nilai x yang boleh kita masukin ke dalam fungsi, dan hasilnya berupa bilangan real.
• Kodomain: Kodomain ini area target hasil fungsi. Kodomain adalah himpunan semua nilai yang mungkin menjadi hasil dari fungsi.
• Range: Nah, kalau range ini hasil yang beneran kena. Range adalah himpunan semua nilai y yang merupakan hasil dari fungsi ketika kita masukin nilai x dari domain.

Menentukan Domain

Nah, untuk fungsi $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$, ada satu hal penting yang perlu kita ingat: akar kuadrat itu nggak boleh negatif! Artinya, ekspresi di dalam akar ($x^2 - 9$) harus lebih besar atau sama dengan nol.

Jadi, kita punya pertidaksamaan:

$x^2 - 9 \geq 0$

Ini bisa kita faktorkan jadi:

$(x - 3)(x + 3) \geq 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita bisa bikin garis bilangan. Kita punya dua titik kritis, yaitu x = 3 dan x = -3. Kita uji di tiga interval:

• x < -3: Misalnya, ambil x = -4. Hasilnya (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 (positif)
• -3 < x < 3: Misalnya, ambil x = 0. Hasilnya (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 (negatif)
• x > 3: Misalnya, ambil x = 4. Hasilnya (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 (positif)

Karena kita mau yang lebih besar atau sama dengan nol, maka domainnya adalah:

$x \leq -3$ atau $x \geq 3$

Atau bisa kita tulis dalam notasi interval: $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$

Jadi, domain dari fungsi $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$ adalah semua bilangan real yang kurang dari atau sama dengan -3, atau lebih dari atau sama dengan 3.

Menentukan Kodomain

Untuk kodomain, biasanya kita ambil semua bilangan real ($\mathbb{R}$). Jadi,

Kodomain dari fungsi $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$ adalah $\mathbb{R}$

Menentukan Range

Range agak tricky, guys! Kita perlu lihat nilai minimum dari fungsi ini. Karena akar kuadrat nggak bisa negatif, nilai terkecilnya adalah 0. Ini terjadi saat $x^2 - 9 = 0$, yaitu saat x = 3 atau x = -3.

Nah, kalau x makin jauh dari 0 (ke arah positif atau negatif), nilai $x^2 - 9$ akan makin besar, dan akar kuadratnya juga makin besar. Jadi, range-nya adalah semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan 0.

Range dari fungsi $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$ adalah $[0, \infty)$

2. Menentukan Invers dari Fungsi

Lanjut ke soal berikutnya, yaitu mencari invers fungsi. Invers fungsi itu kayak kebalikan dari fungsi aslinya. Kalau fungsi f mengubah x jadi y, maka fungsi inversnya (ditulis $f^{-1}$) mengubah y balik jadi x.

a. $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$

Langkah-langkah mencari invers:

1. Ganti f(x) dengan y:

   $y = \frac{2x+3}{x-1}$

2. Tukar posisi x dan y:

   $x = \frac{2y+3}{y-1}$

3. Selesaikan persamaan untuk y:

   $x(y - 1) = 2y + 3$ $xy - x = 2y + 3$ $xy - 2y = x + 3$ $y(x - 2) = x + 3$ $y = \frac{x+3}{x-2}$

4. Ganti y dengan $f^{-1}(x)$:

   $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$

Jadi, invers dari fungsi $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ adalah $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$

b. $g(x) = x^2 - 4x + 4$

1. Ganti g(x) dengan y:

   $y = x^2 - 4x + 4$

2. Tukar posisi x dan y:

   $x = y^2 - 4y + 4$

3. Selesaikan persamaan untuk y. Persamaan ini bisa kita tulis ulang jadi:

   $x = (y - 2)^2$ $\pm \sqrt{x} = y - 2$ $y = 2 \pm \sqrt{x}$

4. Ganti y dengan $g^{-1}(x)$:

   $g^{-1}(x) = 2 \pm \sqrt{x}$

Nah, di sini kita punya dua kemungkinan invers, yaitu $g^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x}$ dan $g^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x}$. Ini karena fungsi kuadrat itu nggak punya invers yang unik di seluruh domainnya. Kita perlu batasin domainnya supaya inversnya jadi fungsi yang bener.

c. $h(x) = \sqrt{2x + 5}$

1. Ganti h(x) dengan y:

   $y = \sqrt{2x + 5}$

2. Tukar posisi x dan y:

   $x = \sqrt{2y + 5}$

3. Selesaikan persamaan untuk y:

   $x^2 = 2y + 5$ $2y = x^2 - 5$ $y = \frac{x^2 - 5}{2}$

4. Ganti y dengan $h^{-1}(x)$:

   $h^{-1}(x) = \frac{x^2 - 5}{2}$

Tapi ingat, karena fungsi aslinya punya akar kuadrat, domain dari inversnya juga perlu kita perhatiin. Range dari fungsi asli adalah $y \geq 0$, jadi domain dari inversnya adalah $x \geq 0$.

Jadi, invers dari fungsi $h(x) = \sqrt{2x + 5}$ adalah $h^{-1}(x) = \frac{x^2 - 5}{2}$ dengan $x \geq 0$.

3. Komposisi Fungsi dan Mencari $g(x)$

Soal terakhir ini tentang komposisi fungsi. Komposisi fungsi itu kayak gabungan dua fungsi. Jadi, kita masukin hasil dari satu fungsi ke fungsi yang lain.

Kita punya $f(x) = 2x + 3$ dan $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 13$. Artinya, $g(f(x)) = 4x^2 + 12x + 13$. Tujuan kita adalah mencari fungsi $g(x)$.

Cara mencarinya gini:

1. Perhatiin bentuk $(g \circ f)(x)$. Kita bisa tulis ulang jadi:

   $g(2x + 3) = 4x^2 + 12x + 13$

2. Coba kita utak-atik ruas kanan biar ada bentuk $(2x + 3)$ di dalamnya. Kita bisa tulis:

   $4x^2 + 12x + 13 = (4x^2 + 12x + 9) + 4$ $4x^2 + 12x + 13 = (2x + 3)^2 + 4$

3. Nah, sekarang kita punya:

   $g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 4$

4. Misalkan $u = 2x + 3$. Maka, kita punya:

   $g(u) = u^2 + 4$

5. Terakhir, ganti u dengan x:

   $g(x) = x^2 + 4$

Jadi, fungsi $g(x)$ adalah $g(x) = x^2 + 4$.

Kesimpulan

Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang domain, range, invers fungsi, dan komposisi fungsi! Lumayan banyak ya, guys? Tapi, dengan latihan terus, pasti makin lancar deh. Jangan lupa, konsep-konsep ini penting banget buat dasar matematika yang lebih tinggi. Semangat terus belajarnya! 😉