Eliminasi Gauss-Jordan: Matriks P Dan Solusinya

by ADMIN 48 views

Gauss-Jordan elimination adalah metode yang ampuh untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan mencari invers matriks. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menggunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari solusi dari matriks P yang diberikan:

P=(31−25−2−3223) P = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 5 & -2 & -3 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Apa itu Eliminasi Gauss-Jordan?

Sebelum kita mulai menyelesaikan matriks P, mari kita pahami dulu apa itu eliminasi Gauss-Jordan. Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss. Tujuannya adalah mengubah matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form). Bentuk ini memiliki ciri-ciri:

  • Elemen pertama yang bukan nol di setiap baris (disebut leading entry atau pivot) adalah 1.
  • Setiap kolom yang mengandung leading entry memiliki elemen lain bernilai 0.
  • Baris yang semua elemennya nol berada di bawah baris yang memiliki elemen bukan nol.

Dengan mengubah matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi, kita dapat dengan mudah menentukan solusi dari sistem persamaan linear yang diwakili oleh matriks tersebut. Metode ini sangat berguna karena memberikan solusi yang unik dan jelas.

Langkah-langkah Eliminasi Gauss-Jordan pada Matriks P

Sekarang, mari kita terapkan eliminasi Gauss-Jordan pada matriks P. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Langkah 1: Bentuk Matriks Augmented

Langkah pertama adalah membentuk matriks augmented dengan menambahkan matriks identitas di sebelah kanan matriks P. Matriks identitas adalah matriks persegi yang memiliki angka 1 di diagonal utama dan 0 di elemen lainnya.

[P∣I]=(31−2∣1005−2−3∣010223∣001) [P | I] = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 &|& 1 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -3 &|& 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks augmented ini akan membantu kita melacak operasi baris yang kita lakukan pada matriks P.

Langkah 2: Jadikan Elemen (1,1) Menjadi 1

Untuk membuat elemen (1,1) menjadi 1, kita bagi baris pertama dengan 3:

R1=13R1 R_1 = \frac{1}{3}R_1

(113−23∣13005−2−3∣010223∣001) \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} &|& \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -3 &|& 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Langkah 3: Jadikan Elemen di Bawah (1,1) Menjadi 0

Selanjutnya, kita akan membuat elemen di bawah (1,1) menjadi 0. Untuk membuat elemen (2,1) menjadi 0, kita lakukan operasi:

R2=R2−5R1 R_2 = R_2 - 5R_1

(113−23∣13000−113−13∣−5310223∣001) \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} &|& \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{11}{3} & -\frac{1}{3} &|& -\frac{5}{3} & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Kemudian, untuk membuat elemen (3,1) menjadi 0, kita lakukan operasi:

R3=R3−2R1 R_3 = R_3 - 2R_1

(113−23∣13000−113−13∣−5310043133∣−2301) \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} &|& \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{11}{3} & -\frac{1}{3} &|& -\frac{5}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{4}{3} & \frac{13}{3} &|& -\frac{2}{3} & 0 & 1 \end{pmatrix}

Langkah 4: Jadikan Elemen (2,2) Menjadi 1

Untuk membuat elemen (2,2) menjadi 1, kita kalikan baris kedua dengan -3/11:

R2=−311R2 R_2 = -\frac{3}{11}R_2

(113−23∣130001111∣511−3110043133∣−2301) \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} &|& \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{11} &|& \frac{5}{11} & -\frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{4}{3} & \frac{13}{3} &|& -\frac{2}{3} & 0 & 1 \end{pmatrix}

Langkah 5: Jadikan Elemen di Atas dan di Bawah (2,2) Menjadi 0

Sekarang, kita akan membuat elemen di atas dan di bawah (2,2) menjadi 0. Untuk membuat elemen (1,2) menjadi 0, kita lakukan operasi:

R1=R1−13R2 R_1 = R_1 - \frac{1}{3}R_2

(10−711∣211111001111∣511−3110043133∣−2301) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{7}{11} &|& \frac{2}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{11} &|& \frac{5}{11} & -\frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{4}{3} & \frac{13}{3} &|& -\frac{2}{3} & 0 & 1 \end{pmatrix}

Kemudian, untuk membuat elemen (3,2) menjadi 0, kita lakukan operasi:

R3=R3−43R2 R_3 = R_3 - \frac{4}{3}R_2

(10−711∣211111001111∣511−3110004511∣−14114111) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{7}{11} &|& \frac{2}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{11} &|& \frac{5}{11} & -\frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{45}{11} &|& -\frac{14}{11} & \frac{4}{11} & 1 \end{pmatrix}

Langkah 6: Jadikan Elemen (3,3) Menjadi 1

Untuk membuat elemen (3,3) menjadi 1, kita kalikan baris ketiga dengan 11/45:

R3=1145R3 R_3 = \frac{11}{45}R_3

(10−711∣211111001111∣511−3110001∣−14454451145) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{7}{11} &|& \frac{2}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{11} &|& \frac{5}{11} & -\frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -\frac{14}{45} & \frac{4}{45} & \frac{11}{45} \end{pmatrix}

Langkah 7: Jadikan Elemen di Atas (3,3) Menjadi 0

Terakhir, kita akan membuat elemen di atas (3,3) menjadi 0. Untuk membuat elemen (1,3) menjadi 0, kita lakukan operasi:

R1=R1+711R3 R_1 = R_1 + \frac{7}{11}R_3

(100∣−44574574501111∣511−3110001∣−14454451145) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -\frac{4}{45} & \frac{7}{45} & \frac{7}{45} \\ 0 & 1 & \frac{1}{11} &|& \frac{5}{11} & -\frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -\frac{14}{45} & \frac{4}{45} & \frac{11}{45} \end{pmatrix}

Kemudian, untuk membuat elemen (2,3) menjadi 0, kita lakukan operasi:

R2=R2−111R3 R_2 = R_2 - \frac{1}{11}R_3

(100∣−445745745010∣4911−3145−145001∣−14454451145) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -\frac{4}{45} & \frac{7}{45} & \frac{7}{45} \\ 0 & 1 & 0 &|& \frac{49}{11} & -\frac{31}{45} & -\frac{1}{45} \\ 0 & 0 & 1 &|& -\frac{14}{45} & \frac{4}{45} & \frac{11}{45} \end{pmatrix}

Hasil Akhir

Setelah semua langkah selesai, kita mendapatkan matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi:

(100∣−445745745010∣4911−3145−145001∣−14454451145) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -\frac{4}{45} & \frac{7}{45} & \frac{7}{45} \\ 0 & 1 & 0 &|& \frac{49}{11} & -\frac{31}{45} & -\frac{1}{45} \\ 0 & 0 & 1 &|& -\frac{14}{45} & \frac{4}{45} & \frac{11}{45} \end{pmatrix}

Matriks di sebelah kanan garis vertikal adalah invers dari matriks P:

P−1=(−4457457454911−3145−145−14454451145) P^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{45} & \frac{7}{45} & \frac{7}{45} \\ \frac{49}{11} & -\frac{31}{45} & -\frac{1}{45} \\ -\frac{14}{45} & \frac{4}{45} & \frac{11}{45} \end{pmatrix}

Kesimpulan

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, kita berhasil menemukan invers dari matriks P. Metode ini sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan mencari invers matriks. Prosesnya memang memakan waktu dan ketelitian, tetapi dengan mengikuti langkah-langkahnya dengan cermat, kita dapat mencapai solusi yang akurat.

Jadi, buat kalian yang lagi belajar aljabar linear, jangan ragu untuk mencoba metode eliminasi Gauss-Jordan ini ya! Dijamin bakal membantu banget dalam memahami konsep matriks dan sistem persamaan linear.

Semoga artikel ini bermanfaat dan selamat belajar, guys!