Estimasi Parameter Λ Distribusi Eksponensial: Contoh Soal

Hei guys! Pernah nggak sih kalian ketemu soal statistik yang kayaknya ribet banget? Nah, kali ini kita bakal bahas soal yang lumayan menantang, tapi jangan khawatir, kita bakal pecahin bareng-bareng sampai kalian paham. Soalnya tentang estimasi parameter distribusi eksponensial, lengkap dengan data tersensor kanan. Penasaran? Yuk, langsung aja kita bahas!

Soal dan Pendahuluan

Bayangin gini, kita punya data tentang waktu antar kejadian (misalnya, waktu sampai sebuah mesin rusak, atau waktu sampai seorang pasien sembuh). Datanya kayak gini nih: 3, 4, 4, 8, 8+, 9+, 10, 12+, 18. Tanda “+” di belakang angka itu artinya data tersebut tersensor kanan. Maksudnya, kita tahu kejadiannya berlangsung setidaknya selama itu, tapi kita nggak tahu persis kapan kejadian itu selesai. Misalnya, “8+” berarti kejadiannya berlangsung minimal 8 satuan waktu, bisa jadi lebih.

Soalnya, kalau kita anggap data ini mengikuti distribusi eksponensial dengan fungsi hazard h(t) = λ, gimana caranya kita mengestimasi parameter λ? Nah, parameter λ ini penting banget, guys. Dia itu kayak kunci buat memahami karakteristik distribusi eksponensialnya. Semakin besar λ, semakin cepat kejadiannya terjadi (misalnya, mesin lebih cepat rusak). Sebaliknya, semakin kecil λ, semakin lambat kejadiannya.

Sebelum kita masuk ke cara penyelesaiannya, penting banget buat kita pahamin dulu apa itu distribusi eksponensial dan kenapa dia penting. Distribusi eksponensial itu sering banget dipake buat modelin waktu antar kejadian dalam berbagai konteks. Contohnya:

• Reliabilitas: Waktu sampai sebuah komponen atau sistem rusak.
• Teori antrian: Waktu antar kedatangan pelanggan di sebuah toko.
• Kesehatan: Waktu sampai seorang pasien sembuh dari penyakit.

Distribusi eksponensial punya sifat yang unik, yaitu memoryless atau tanpa ingatan. Maksudnya, probabilitas kejadian di masa depan nggak tergantung sama berapa lama kejadian itu udah berlangsung. Misalnya, kalau sebuah mesin udah bekerja selama 10 jam, probabilitas dia rusak dalam satu jam berikutnya sama aja kayak kalau dia baru dinyalain. Sifat ini yang bikin distribusi eksponensial jadi model yang powerful buat banyak situasi.

Fungsi hazard h(t) = λ juga punya makna penting. Dia itu kayak laju kegagalan sesaat. Dalam konteks reliabilitas, misalnya, λ itu menunjukkan seberapa cepat sebuah komponen rusak pada waktu t tertentu. Kalau λ konstan (seperti dalam soal ini), artinya laju kegagalannya nggak berubah seiring waktu.

Oke, sekarang kita udah punya gambaran yang cukup tentang soalnya dan konsep-konsep penting di baliknya. Yuk, kita lanjut ke cara penyelesaiannya!

Langkah-Langkah Estimasi Parameter λ

Buat mengestimasi parameter λ, kita bakal pake metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Metode ini itu kayak nyari nilai λ yang paling mungkin menghasilkan data yang kita punya. Caranya gimana? Tenang, nggak sesulit kedengarannya kok.

1. Fungsi Likelihood

Langkah pertama, kita harus nyusun fungsi likelihood. Fungsi ini itu kayak probabilitas kita ngedapetin data yang kita punya, kalau kita punya nilai λ tertentu. Karena data kita ada yang tersensor kanan, kita harus hati-hati nih nyusun fungsi likelihood-nya.

Misalnya, kita punya data t1, t2, ..., tn. Beberapa data ada yang tersensor kanan (kita sebut ti+), dan sisanya nggak tersensor. Fungsi likelihood-nya jadi kayak gini:

L(λ) = [∏f(ti)] . [∏S(ti+)]

• f(ti) itu fungsi kepadatan probabilitas (probability density function, PDF) dari distribusi eksponensial. Buat distribusi eksponensial, f(t) = λe-λt.
• S(ti+) itu fungsi survival (survival function) dari distribusi eksponensial. Fungsi survival itu probabilitas kejadian berlangsung lebih lama dari waktu t. Buat distribusi eksponensial, S(t) = e-λt.

Jadi, intinya, fungsi likelihood itu hasil kali dari PDF buat data yang nggak tersensor, dikali sama fungsi survival buat data yang tersensor kanan.

2. Log-Likelihood

Biar lebih gampang ngitungnya, biasanya kita pake log-likelihood. Log-likelihood itu logaritma natural dari fungsi likelihood. Kenapa pake logaritma? Karena logaritma itu mengubah perkalian jadi penjumlahan, yang lebih mudah kita turunin nanti.

Log-likelihood-nya jadi kayak gini:

log L(λ) = Σ log(f(ti)) + Σ log(S(ti+))

Kalau kita masukin rumus PDF dan fungsi survival distribusi eksponensial, kita dapet:

log L(λ) = Σ log(λe-λti) + Σ log(e-λti+)

log L(λ) = Σ [log(λ) - λti] + Σ [-λti+]

3. Turunan dan Persamaan Likelihood

Nah, sekarang bagian serunya nih. Kita mau nyari nilai λ yang bikin log-likelihood maksimum. Caranya, kita turunin log-likelihood terhadap λ, terus kita samain sama nol.

∂ log L(λ) / ∂λ = (Σ 1/λ) - Σ ti - Σ ti+ = 0

Persamaan ini kita sebut persamaan likelihood. Sekarang, tugas kita adalah nyelesaiin persamaan ini buat nyari λ.

4. Estimasi λ

Dari persamaan likelihood di atas, kita bisa dapet estimasi λ:

λ^ = n / (Σ ti + Σ ti+)

• n itu jumlah data yang nggak tersensor.
• Σ ti itu jumlah semua data yang nggak tersensor.
• Σ ti+ itu jumlah semua data yang tersensor kanan.

Penerapan pada Soal

Oke, sekarang kita terapin langkah-langkah tadi ke soal kita. Datanya: 3, 4, 4, 8, 8+, 9+, 10, 12+, 18.

• Data yang nggak tersensor: 3, 4, 4, 10, 18 (n = 5)
• Data yang tersensor kanan: 8+, 9+, 12+

Kita hitung:

• Σ ti = 3 + 4 + 4 + 10 + 18 = 39
• Σ ti+ = 8 + 9 + 12 = 29

Kita masukin ke rumus estimasi λ:

λ^ = 5 / (39 + 29) = 5 / 68 ≈ 0.0735

Jadi, estimasi parameter λ buat data kita adalah sekitar 0.0735.

Kesimpulan

Nah, gitu guys cara ngestimasi parameter λ distribusi eksponensial kalau ada data tersensor kanan. Emang agak panjang langkah-langkahnya, tapi kalau kalian ikutin pelan-pelan, pasti bisa kok. Intinya, kita nyusun fungsi likelihood, terus kita cari nilai λ yang bikin fungsi itu maksimum. Metode MLE ini powerful banget buat estimasi parameter dalam statistika.

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat nanya di kolom komentar. Sampai jumpa di pembahasan soal-soal lainnya!