Fungsi Komposisi: Soal Dan Pembahasan Lengkap

by ADMIN 46 views
Iklan Headers

Guys, kali ini kita akan membahas tuntas tentang fungsi komposisi. Materi ini sering banget muncul di soal-soal matematika, jadi penting banget buat kita untuk benar-benar memahaminya. Kita akan membahas beberapa contoh soal lengkap dengan pembahasannya, biar kalian makin jago!

Soal 1: Menentukan Rumus Fungsi g(x), Nilai g(2), dan (f ∘ g)(4)

Oke, langsung aja kita mulai dengan soal pertama. Soal ini akan menguji kemampuan kita dalam menentukan rumus suatu fungsi dalam komposisi, menghitung nilai fungsi, dan juga memahami konsep komposisi fungsi itu sendiri.

Soal:

Diketahui f(x) = 3x - 2 dan (g ∘ f)(x) = (3x - 2) / (6x - 3).

a. Tentukan rumus fungsi g(x)! b. Berapakah nilai g(2)? c. Hitunglah nilai (f ∘ g)(4)!

Pembahasan Soal 1

a. Menentukan Rumus Fungsi g(x)

Ini dia bagian yang paling menantang! Untuk menentukan rumus fungsi g(x), kita perlu memahami konsep dasar fungsi komposisi. Ingat, (g ∘ f)(x) artinya g(f(x)). Jadi, kita akan mencari fungsi g yang jika dimasukkan f(x) ke dalamnya, hasilnya akan sama dengan (3x - 2) / (6x - 3).

  • Langkah 1: Misalkan y = f(x)

    Untuk memudahkan, kita misalkan dulu y = f(x). Karena f(x) = 3x - 2, maka y = 3x - 2. Nah, sekarang kita perlu mencari x dalam bentuk y. Caranya gimana?

    y = 3x - 2 y + 2 = 3x x = (y + 2) / 3

  • Langkah 2: Substitusikan ke (g ∘ f)(x)

    Kita tahu bahwa (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (3x - 2) / (6x - 3). Karena kita sudah misalkan y = f(x), maka kita bisa tulis:

    g(y) = (3x - 2) / (6x - 3)

    Tapi, kita mau g(y) dalam bentuk y, bukan x. Jadi, kita substitusikan x = (y + 2) / 3 ke dalam persamaan di atas.

    g(y) = (3((y + 2) / 3) - 2) / (6((y + 2) / 3) - 3) g(y) = (y + 2 - 2) / (2(y + 2) - 3) g(y) = y / (2y + 4 - 3) g(y) = y / (2y + 1)

  • Langkah 3: Ganti y dengan x

    Terakhir, kita ganti y dengan x untuk mendapatkan rumus fungsi g(x) yang sebenarnya.

    g(x) = x / (2x + 1)

    Voila! Kita sudah berhasil menemukan rumus fungsi g(x). Gimana, guys? Agak panjang ya, tapi kalau diikuti langkah-langkahnya dengan teliti, pasti bisa kok.

b. Menghitung Nilai g(2)

Nah, kalau sudah punya rumus g(x), mencari nilai g(2) jadi gampang banget. Tinggal substitusikan x = 2 ke dalam rumus g(x).

g(2) = 2 / (2(2) + 1)
g(2) = 2 / (4 + 1)
g(2) = 2 / 5

Jadi, nilai g(2) adalah 2/5.

c. Menghitung Nilai (f ∘ g)(4)

Untuk menghitung (f ∘ g)(4), kita perlu memahami urutan komposisi fungsi. (f ∘ g)(4) artinya kita masukkan 4 ke dalam fungsi g, lalu hasilnya kita masukkan ke dalam fungsi f.

  • Langkah 1: Hitung g(4)

    Kita sudah punya rumus g(x), jadi kita bisa hitung g(4):

    g(4) = 4 / (2(4) + 1) g(4) = 4 / (8 + 1) g(4) = 4 / 9

  • Langkah 2: Hitung f(g(4))

    Sekarang kita masukkan hasil g(4) ke dalam fungsi f. Kita tahu f(x) = 3x - 2, jadi:

    f(g(4)) = f(4/9) f(4/9) = 3(4/9) - 2 f(4/9) = 12/9 - 2 f(4/9) = 4/3 - 2 f(4/9) = 4/3 - 6/3 f(4/9) = -2/3

    Jadi, nilai (f ∘ g)(4) adalah -2/3.

Soal 2: Menentukan Nilai x Jika (f ∘ g)(x) Diketahui

Lanjut ke soal berikutnya, guys! Kali ini, kita akan mencari nilai x jika hasil komposisi fungsi (f ∘ g)(x) sudah diketahui.

Soal:

Diketahui f(x) = x² - 4x + 4 dan g(x) = x + 1. Jika nilai (f ∘ g)(x) = 16, tentukan nilai x!

Pembahasan Soal 2

Soal ini agak berbeda dari sebelumnya. Kita sudah tahu hasil akhirnya, yaitu (f ∘ g)(x) = 16, dan kita diminta untuk mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

  • Langkah 1: Tentukan (f ∘ g)(x)

    Seperti biasa, kita mulai dengan menentukan komposisi fungsi (f ∘ g)(x). Ingat, (f ∘ g)(x) artinya f(g(x)). Jadi, kita masukkan g(x) ke dalam fungsi f.

    (f ∘ g)(x) = f(g(x)) (f ∘ g)(x) = f(x + 1)

    Karena f(x) = x² - 4x + 4, maka:

    (f ∘ g)(x) = (x + 1)² - 4(x + 1) + 4

  • Langkah 2: Sederhanakan Persamaan

    Sekarang kita sederhanakan persamaan yang kita dapatkan di langkah sebelumnya.

    (f ∘ g)(x) = (x + 1)² - 4(x + 1) + 4 (f ∘ g)(x) = x² + 2x + 1 - 4x - 4 + 4 (f ∘ g)(x) = x² - 2x + 1

  • Langkah 3: Selesaikan Persamaan Kuadrat

    Kita tahu bahwa (f ∘ g)(x) = 16. Jadi, kita punya persamaan:

    x² - 2x + 1 = 16 x² - 2x - 15 = 0

    Ini adalah persamaan kuadrat. Kita bisa menyelesaikannya dengan memfaktorkan.

    (x - 5)(x + 3) = 0

    Dari sini, kita dapatkan dua solusi:

    x - 5 = 0 atau x + 3 = 0 x = 5 atau x = -3

    Jadi, nilai x yang memenuhi (f ∘ g)(x) = 16 adalah x = 5 atau x = -3.

Kesimpulan

Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang fungsi komposisi, guys! Kita sudah membahas dua contoh soal yang berbeda, mulai dari menentukan rumus fungsi dalam komposisi, menghitung nilai fungsi, sampai mencari nilai x jika hasil komposisi fungsi diketahui. Intinya, memahami konsep dasar komposisi fungsi dan teliti dalam melakukan perhitungan adalah kunci untuk bisa mengerjakan soal-soal seperti ini.

Jangan lupa untuk terus berlatih soal-soal lainnya ya, biar makin lancar. Semangat terus belajarnya, guys! Sampai jumpa di pembahasan materi lainnya!