Garis Singgung Grafik Fungsi: Soal Dan Pembahasan

Oke guys, kali ini kita akan membahas soal tentang cara menentukan persamaan garis singgung pada grafik fungsi di titik tertentu. Soal ini sering banget muncul di pelajaran matematika, khususnya kalkulus. Jadi, penting banget buat kita memahami konsep dan cara penyelesaiannya. Kita akan bedah dua contoh soal yang berbeda, jadi simak baik-baik ya!

Soal dan Pembahasan

Soal: Diberikan fungsi $f$ dan titik $P$ berikut. Tentukan persamaan garis singgung grafik $f$ di titik $P$. (a) $f(x) = x^2 - x$; $P(1,0)$ (b) $f(x) = 1 + 2${tan x}$; $P(${\frac{\pi}{4}}${}, 3)$

Pembahasan (a) $f(x) = x^2 - x$; $P(1,0)$

Untuk menentukan persamaan garis singgung, kita memerlukan dua informasi penting: gradien garis singgung dan titik singgung. Titik singgungnya sudah diberikan, yaitu $P(1,0)$. Sekarang, kita cari gradiennya.

Gradien garis singgung di suatu titik sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik tersebut. Jadi, pertama-tama, kita cari turunan pertama dari fungsi $f(x) = x^2 - x$.

$f'(x) = 2x - 1$

Selanjutnya, kita substitusikan nilai $x$ dari titik $P$, yaitu $x = 1$, ke dalam $f'(x)$ untuk mendapatkan gradiennya.

$f'(1) = 2(1) - 1 = 1$

Jadi, gradien garis singgung di titik $P(1,0)$ adalah 1. Sekarang kita punya gradien ($m = 1$) dan titik singgung $(x_1, y_1) = (1,0)$. Kita bisa menggunakan rumus persamaan garis lurus untuk mencari persamaan garis singgungnya:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Substitusikan nilai-nilai yang kita punya:

$y - 0 = 1(x - 1)$

Sederhanakan persamaannya:

$y = x - 1$

Jadi, persamaan garis singgung grafik $f(x) = x^2 - x$ di titik $P(1,0)$ adalah $y = x - 1$.

Kesimpulan untuk soal (a): Persamaan garis singgung grafik fungsi kuadrat ini ditemukan dengan mencari turunan pertama fungsi untuk mendapatkan gradien di titik yang diberikan. Menggunakan titik dan gradien, kita menyusun persamaan garis singgung dengan formula garis lurus. Ini menunjukkan aplikasi dasar kalkulus dalam geometri analitik, memungkinkan kita untuk menentukan sifat garis yang menyentuh kurva pada titik tertentu.

Pembahasan (b) $f(x) = 1 + 2${tan x}$; $P(${\frac{\pi}{4}}${}, 3)$

Sama seperti sebelumnya, kita sudah punya titik singgungnya, yaitu $P(${\frac{\pi}{4}}${}, 3)$. Kita perlu mencari gradien garis singgung dengan mencari turunan pertama dari fungsi $f(x) = 1 + 2${tan x}$.

Kita tahu bahwa turunan dari ${tan x}$ adalah ${sec^2 x}$. Jadi, turunan dari $f(x)$ adalah:

$f'(x) = 2${sec^2 x}$

Sekarang, kita substitusikan nilai $x$ dari titik $P$, yaitu $x = \frac{\pi}{4}$, ke dalam $f'(x)$ untuk mendapatkan gradiennya. Ingat bahwa ${sec x = \frac{1}{cos x}}$, dan ${cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2${sec^2 (\frac{\pi}{4})}$ = 2 \cdot \frac{1}{cos^2 (\frac{\pi}{4})} = 2 \cdot \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = 2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$

Jadi, gradien garis singgung di titik $P(${\frac{\pi}{4}}${}, 3)$ adalah 4. Sekarang kita punya gradien ($m = 4$) dan titik singgung $(x_1, y_1) = (\frac{\pi}{4}, 3)$. Kita gunakan lagi rumus persamaan garis lurus:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Substitusikan nilai-nilai yang kita punya:

$y - 3 = 4(x - \frac{\pi}{4})$

Sederhanakan persamaannya:

$y - 3 = 4x - \pi$

$y = 4x - \pi + 3$

Jadi, persamaan garis singgung grafik $f(x) = 1 + 2${tan x}$ di titik $P(${\frac{\pi}{4}}${}, 3)$ adalah $y = 4x - \pi + 3$.

Kesimpulan untuk soal (b): Dalam kasus fungsi trigonometri, turunan ${tan x}$ adalah ${sec^2 x}$, dan kita harus mengevaluasi fungsi ini pada ${x = \frac{\pi}{4}}$. Proses ini melibatkan pemahaman tentang identitas trigonometri dan bagaimana mereka mempengaruhi gradien garis singgung. Persamaan garis singgung kemudian dibangun menggunakan gradien ini dan koordinat titik, memberikan representasi linier dari fungsi trigonometri di dekat titik tersebut.

Ringkasan Pembelajaran Menentukan Persamaan Garis Singgung

• Pahami Konsep Turunan: Turunan pertama fungsi di suatu titik memberikan gradien garis singgung di titik tersebut. Ini adalah konsep kunci dari kalkulus diferensial yang menghubungkan fungsi dengan laju perubahannya.
• Kuasai Rumus Garis Lurus: Rumus umum garis lurus, ${y - y_1 = m(x - x_1)}$, sangat penting. Di sini, ${(x_1, y_1)}$ adalah titik pada garis, dan ${m}$ adalah gradiennya. Menggunakan rumus ini secara efektif membutuhkan identifikasi yang tepat dari titik dan gradien yang relevan.
• Identifikasi dan Substitusi Nilai dengan Benar: Pastikan untuk mengganti nilai ${x}$ yang benar ke dalam turunan pertama untuk mendapatkan gradien yang sesuai di titik yang diinginkan. Kesalahan umum termasuk substitusi yang tidak akurat atau perhitungan yang salah dari turunan itu sendiri.
• Sederhanakan Persamaan: Setelah mengganti nilai-nilai ke dalam rumus garis lurus, sederhanakan persamaan untuk mendapatkan bentuk akhir dari persamaan garis singgung. Ini mungkin melibatkan distribusi, penggabungan istilah-istilah sejenis, dan penyusunan ulang persamaan untuk bentuk yang lebih standar seperti ${y = mx + c}$.

Dengan memahami dan mempraktikkan langkah-langkah ini, kita bisa dengan mudah menentukan persamaan garis singgung grafik fungsi di titik manapun. Jangan lupa, latihan adalah kunci untuk menguasai materi ini! Semangat terus belajarnya, guys!