Harmonik: Buktikan F(z) = 1/z

Hey guys! Kali ini kita bakal membahas soal matematika yang lumayan menarik nih. Kita akan membuktikan apakah komponen riil dan imajiner dari fungsi kompleks f(z) = 1/z itu harmonik atau enggak. Buat kalian yang lagi belajar tentang fungsi kompleks, ini penting banget! Yuk, langsung aja kita mulai.

Apa Itu Fungsi Harmonik?

Sebelum kita masuk ke pembuktian, ada baiknya kita pahami dulu apa itu fungsi harmonik. Secara sederhana, fungsi harmonik adalah fungsi yang memenuhi persamaan Laplace. Persamaan Laplace dalam koordinat Kartesian 2D dinyatakan sebagai:

∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Di mana u(x, y) adalah fungsi dua variabel, dan ∂²u/∂x² serta ∂²u/∂y² adalah turunan parsial kedua dari u terhadap x dan y, berturut-turut. Jadi, kalau kita punya suatu fungsi dan setelah diturunkan dua kali terhadap x dan y, lalu dijumlahkan hasilnya nol, maka fungsi tersebut bisa dibilang harmonik. Simpel kan?

Fungsi harmonik punya banyak aplikasi penting dalam berbagai bidang, lho. Misalnya, dalam fisika, fungsi harmonik sering digunakan untuk menggambarkan potensial listrik atau temperatur dalam keadaan tunak (steady state). Dalam matematika, fungsi harmonik juga penting dalam analisis kompleks dan teori potensial. Jadi, pemahaman yang baik tentang fungsi harmonik ini bakal sangat berguna buat kalian!

Mengurai Fungsi f(z) = 1/z

Sekarang, mari kita fokus ke fungsi yang mau kita uji, yaitu f(z) = 1/z. Fungsi ini adalah fungsi kompleks, di mana z adalah variabel kompleks yang bisa ditulis sebagai z = x + iy, dengan x dan y adalah bilangan riil, dan i adalah unit imajiner (i² = -1). Nah, fungsi f(z) bisa kita tulis ulang sebagai:

f(z) = 1 / (x + iy)

Untuk memisahkan komponen riil dan imajinernya, kita perlu menghilangkan i di penyebut. Caranya adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu (x - iy):

f(z) = (1 / (x + iy)) * ((x - iy) / (x - iy)) = (x - iy) / (x² + y²)

Sekarang kita bisa tulis f(z) sebagai:

f(z) = x / (x² + y²) - i(y / (x² + y²))

Dari sini, kita bisa lihat bahwa komponen riil dari f(z) adalah u(x, y) = x / (x² + y²), dan komponen imajinernya adalah v(x, y) = -y / (x² + y²). Selanjutnya, kita akan periksa apakah kedua komponen ini harmonik atau tidak.

Memeriksa Komponen Riil u(x, y) = x / (x² + y²)

Untuk memeriksa apakah u(x, y) harmonik, kita perlu menghitung turunan parsial kedua terhadap x dan y, lalu menjumlahkannya. Pertama, kita hitung turunan parsial pertama terhadap x:

∂u/∂x = ∂/∂x (x / (x² + y²)) = ((x² + y²) * 1 - x * 2x) / (x² + y²)² = (y² - x²) / (x² + y²)²

Selanjutnya, kita hitung turunan parsial kedua terhadap x:

∂²u/∂x² = ∂/∂x ((y² - x²) / (x² + y²)²) = (((x² + y²)²) * (-2x) - (y² - x²) * 2 * (x² + y²) * 2x) / (x² + y²)⁴ = (-2x(x² + y²)² - 4x(y² - x²)(x² + y²)) / (x² + y²)⁴ = (-2x(x² + y²) - 4x(y² - x²)) / (x² + y²)³ = (-2x³ - 2xy² - 4xy² + 4x³) / (x² + y²)³ = (2x³ - 6xy²) / (x² + y²)³

Sekarang, kita hitung turunan parsial pertama dari u(x, y) terhadap y:

∂u/∂y = ∂/∂y (x / (x² + y²)) = -x * (2y) / (x² + y²)² = -2xy / (x² + y²)²

Kemudian, kita hitung turunan parsial kedua terhadap y:

∂²u/∂y² = ∂/∂y (-2xy / (x² + y²)²) = (-(x² + y²)² * 2x - (-2xy) * 2 * (x² + y²) * 2y) / (x² + y²)⁴ = (-2x(x² + y²)² + 8xy²(x² + y²)) / (x² + y²)⁴ = (-2x(x² + y²) + 8xy²) / (x² + y²)³ = (-2x³ - 2xy² + 8xy²) / (x² + y²)³ = (-2x³ + 6xy²) / (x² + y²)³

Akhirnya, kita jumlahkan kedua turunan parsial kedua ini:

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = (2x³ - 6xy²) / (x² + y²)³ + (-2x³ + 6xy²) / (x² + y²)³ = 0

Karena hasilnya nol, maka komponen riil u(x, y) = x / (x² + y²) adalah fungsi harmonik.

Memeriksa Komponen Imajiner v(x, y) = -y / (x² + y²)

Selanjutnya, kita akan memeriksa apakah komponen imajiner v(x, y) = -y / (x² + y²) juga harmonik. Prosesnya mirip dengan yang kita lakukan pada komponen riil. Pertama, kita hitung turunan parsial pertama terhadap x:

∂v/∂x = ∂/∂x (-y / (x² + y²)) = -y * (-2x) / (x² + y²)² = 2xy / (x² + y²)²

Kemudian, kita hitung turunan parsial kedua terhadap x:

∂²v/∂x² = ∂/∂x (2xy / (x² + y²)²) = ((x² + y²)² * 2y - 2xy * 2 * (x² + y²) * 2x) / (x² + y²)⁴ = (2y(x² + y²)² - 8x²y(x² + y²)) / (x² + y²)⁴ = (2y(x² + y²) - 8x²y) / (x² + y²)³ = (2x²y + 2y³ - 8x²y) / (x² + y²)³ = (-6x²y + 2y³) / (x² + y²)³

Selanjutnya, kita hitung turunan parsial pertama dari v(x, y) terhadap y:

∂v/∂y = ∂/∂y (-y / (x² + y²)) = (-(x² + y²) + y * 2y) / (x² + y²)² = (y² - x²) / (x² + y²)²

Kemudian, kita hitung turunan parsial kedua terhadap y:

∂²v/∂y² = ∂/∂y ((y² - x²) / (x² + y²)²) = ((x² + y²)² * 2y - (y² - x²) * 2 * (x² + y²) * 2y) / (x² + y²)⁴ = (2y(x² + y²)² - 4y(y² - x²)(x² + y²)) / (x² + y²)⁴ = (2y(x² + y²) - 4y(y² - x²)) / (x² + y²)³ = (2x²y + 2y³ - 4y³ + 4x²y) / (x² + y²)³ = (6x²y - 2y³) / (x² + y²)³

Akhirnya, kita jumlahkan kedua turunan parsial kedua ini:

∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = (-6x²y + 2y³) / (x² + y²)³ + (6x²y - 2y³) / (x² + y²)³ = 0

Karena hasilnya juga nol, maka komponen imajiner v(x, y) = -y / (x² + y²) juga merupakan fungsi harmonik.

Kesimpulan

Dari semua perhitungan di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa baik komponen riil maupun komponen imajiner dari fungsi f(z) = 1/z memenuhi persamaan Laplace, dan oleh karena itu, keduanya adalah fungsi harmonik. Gimana, guys? Lumayan panjang dan detail kan pembuktiannya? Semoga penjelasan ini bisa membantu kalian lebih memahami konsep fungsi harmonik dan cara membuktikannya. Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat tanya ya! Semangat terus belajarnya!