Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan: Cara Menentukannya!

Oct 16, 2025 by ADMIN 58 views

Guys, pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang ada gambar grafiknya, terus disuruh nyari daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan? Nah, soal kayak gini tuh sering banget muncul, dan kadang bikin bingung ya kan? Tapi tenang aja, di artikel ini kita bakal bahas tuntas cara nentuin daerah himpunan penyelesaian itu. Jadi, siap-siap ya buat nyimak!

Memahami Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sebelum kita masuk ke cara menentukan daerah himpunan penyelesaian, kita kenalan dulu yuk sama pertidaksamaan linear dua variabel. Pertidaksamaan linear dua variabel itu adalah kalimat matematika yang punya dua variabel (biasanya x dan y) dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan, kayak < (kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari atau sama dengan), atau ≥ (lebih dari atau sama dengan). Contohnya nih: $2x + y \leq 24$ , $x + 2y \geq 12$ , dan $x - y \geq -2$ .

Nah, setiap pertidaksamaan ini punya daerah penyelesaian sendiri-sendiri di grafik kartesius. Daerah penyelesaian itu adalah kumpulan titik-titik (x, y) yang kalo dimasukin ke pertidaksamaannya, bakal bikin pertidaksamaannya jadi benar. Kalo ada beberapa pertidaksamaan yang digabung jadi satu, namanya sistem pertidaksamaan. Dan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan itu adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada di sistem itu.

Langkah-Langkah Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian

Oke, sekarang kita langsung masuk ke langkah-langkah buat nentuin daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ya. Ini dia langkah-langkahnya:

Gambar Garis Batas:
- Langkah pertama yang harus kalian lakukan adalah mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=). Misalnya, pertidaksamaan $2x + y \leq 24$ diubah menjadi persamaan $2x + y = 24$ . Persamaan ini adalah persamaan garis lurus yang akan jadi batas daerah penyelesaian.
- Setelah itu, gambar garis lurus ini di grafik kartesius. Kalian bisa cari dua titik yang ada di garis ini, misalnya dengan menentukan titik potong garis dengan sumbu x (saat y = 0) dan titik potong garis dengan sumbu y (saat x = 0). Hubungkan kedua titik itu, dan jadi deh garis batasnya.
- Perhatikan jenis garisnya. Kalo tanda pertidaksamaannya ≤ atau ≥ (ada tanda sama dengannya), garisnya digambar penuh. Tapi kalo tandanya < atau > (gak ada tanda sama dengannya), garisnya digambar putus-putus. Garis putus-putus ini nunjukkin kalo titik-titik yang ada di garis itu sendiri gak termasuk ke dalam daerah penyelesaian.
Tentukan Daerah Uji:
- Setelah punya garis batas, sekarang kita harus nentuin daerah mana yang jadi penyelesaian pertidaksamaannya. Caranya adalah dengan ngambil satu titik uji yang gak ada di garis batas. Titik yang paling gampang sih biasanya (0, 0), kecuali kalo garis batasnya lewat titik (0, 0) juga.
- Masukin koordinat titik uji itu ke pertidaksamaannya. Kalo pertidaksamaannya jadi benar, berarti daerah yang ada titik ujinya itu adalah daerah penyelesaiannya. Tapi kalo pertidaksamaannya jadi salah, berarti daerah penyelesaiannya adalah daerah yang sebaliknya.
Arsir Daerah Penyelesaian:
- Daerah yang jadi penyelesaian tadi kita arsir. Arsirnya bisa pake pensil atau pulpen warna, biar keliatan jelas. Kalo ada beberapa pertidaksamaan, berarti nanti bakal ada beberapa daerah yang diarsir. Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah daerah yang kena arsir semua pertidaksamaan.
- Tips: Biar gak bingung, kalian bisa juga ngarsir daerah yang bukan penyelesaian. Jadi nanti daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang bersih, gak kena arsir sama sekali.
Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian:
- Setelah semua pertidaksamaan digambar garis batasnya dan diarsir daerah penyelesaiannya, kita bisa liat daerah mana yang kena arsir dari semua pertidaksamaan. Daerah itulah yang disebut daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar makin kebayang, yuk kita bahas satu contoh soal.

Soal:

Diberikan sistem pertidaksamaan berikut:

$2x + y \leq 24$

$x + 2y \geq 12$

$x - y \geq -2$

Tentukan daerah himpunan penyelesaiannya pada gambar!

Pembahasan:

Gambar Garis Batas:
- Ubah pertidaksamaan jadi persamaan:
  - $2x + y = 24$
  - $x + 2y = 12$
  - $x - y = -2$
- Cari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y untuk setiap persamaan:
  - Garis $2x + y = 24$ $2 x + y = 24$ :
    - Kalo x = 0, maka y = 24. Titik (0, 24)
    - Kalo y = 0, maka x = 12. Titik (12, 0)
  - Garis $x + 2y = 12$ $x + 2 y = 12$ :
    - Kalo x = 0, maka y = 6. Titik (0, 6)
    - Kalo y = 0, maka x = 12. Titik (12, 0)
  - Garis $x - y = -2$ $x - y = - 2$ :
    - Kalo x = 0, maka y = 2. Titik (0, 2)
    - Kalo y = 0, maka x = -2. Titik (-2, 0)
- Gambar garis lurus yang melewati titik-titik tersebut di grafik kartesius. Karena semua pertidaksamaannya pake tanda ≤ atau ≥, garisnya digambar penuh.
Tentukan Daerah Uji:
- Ambil titik uji (0, 0) (karena gak ada garis yang lewat titik ini).
- Masukin ke setiap pertidaksamaan:
  - $2(0) + (0) \leq 24$ (Benar)
  - $(0) + 2(0) \geq 12$ (Salah)
  - $(0) - (0) \geq -2$ (Benar)
Arsir Daerah Penyelesaian:
- Untuk pertidaksamaan $2x + y \leq 24$ , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang ada titik (0, 0) (karena tadi hasilnya benar).
- Untuk pertidaksamaan $x + 2y \geq 12$ , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang gak ada titik (0, 0) (karena tadi hasilnya salah).
- Untuk pertidaksamaan $x - y \geq -2$ , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang ada titik (0, 0) (karena tadi hasilnya benar).
- Arsir daerah-daerah penyelesaian ini di grafik.
Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian:
- Daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang kena arsir dari ketiga pertidaksamaan. Daerah ini biasanya berbentuk poligon (segitiga, segiempat, dll.).

Jadi, gitu deh cara nentuin daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan. Kuncinya adalah teliti dan sabar. Jangan lupa buat latihan soal ya, biar makin jago!

Tips dan Trik Tambahan

Selain langkah-langkah di atas, ada beberapa tips dan trik tambahan yang bisa kalian pake buat nentuin daerah himpunan penyelesaian:

Kalo ada pertidaksamaan x ≥ a atau x ≤ a, daerah penyelesaiannya adalah daerah di sebelah kanan atau kiri garis x = a. Kalo ada pertidaksamaan y ≥ b atau y ≤ b, daerah penyelesaiannya adalah daerah di atas atau bawah garis y = b.
Kalo sistem pertidaksamaannya punya banyak pertidaksamaan, gambar garis batasnya satu-satu dulu, terus arsir daerah penyelesaiannya satu-satu juga. Jangan langsung digabung semua, biar gak pusing.
Kalo daerah himpunan penyelesaiannya gak terbatas, berarti sistem pertidaksamaannya gak punya solusi tunggal. Artinya, ada banyak banget titik yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Kesimpulan

Menentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan emang butuh ketelitian dan latihan. Tapi, dengan ngikutin langkah-langkah yang udah kita bahas tadi, dan dengan banyak latihan soal, pasti kalian bisa kok. Semangat terus ya belajarnya!

Jadi, gimana guys? Udah mulai kebayang kan cara nentuin daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan? Kalo masih ada yang bingung, jangan ragu buat nanya ya. Atau, kalian bisa coba kerjain soal-soal latihan yang banyak, biar makin lancar. Good luck!