Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Oke guys, kali ini kita akan membahas tentang bagaimana cara mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel. Mungkin sebagian dari kalian sudah familiar dengan materi ini, tapi nggak ada salahnya kan kita refresh lagi biar makin jago? Nah, sistem persamaan yang akan kita pecahkan kali ini adalah:
- 2x - y = 4
- x + 3y = 5
Yuk, kita mulai!.
Metode Eliminasi: Menghilangkan Salah Satu Variabel
Metode eliminasi adalah salah satu cara paling umum dan efektif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Idenya adalah menghilangkan salah satu variabel (baik x atau y) dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan setelah salah satu atau kedua persamaan dikalikan dengan konstanta yang sesuai. Dengan begitu, kita akan mendapatkan persamaan baru dengan hanya satu variabel, yang bisa dengan mudah kita selesaikan.
Untuk menggunakan metode eliminasi pada sistem persamaan kita (2x - y = 4 dan x + 3y = 5), langkah pertama adalah memastikan bahwa koefisien salah satu variabel (x atau y) memiliki nilai absolut yang sama tetapi tanda yang berlawanan dalam kedua persamaan. Dalam kasus ini, kita bisa menghilangkan variabel x atau y. Mari kita pilih untuk menghilangkan variabel x. Untuk melakukan ini, kita perlu mengalikan persamaan kedua (x + 3y = 5) dengan -2 sehingga koefisien x di kedua persamaan menjadi 2 dan -2.
Setelah mengalikan persamaan kedua dengan -2, kita mendapatkan persamaan baru: -2x - 6y = -10. Sekarang kita memiliki dua persamaan:
- 2x - y = 4
- -2x - 6y = -10
Selanjutnya, kita menjumlahkan kedua persamaan ini. Ketika kita menjumlahkan persamaan pertama (2x - y = 4) dengan persamaan kedua (-2x - 6y = -10), kita mendapatkan:
(2x - 2x) + (-y - 6y) = 4 - 10
Ini menyederhanakan menjadi:
-7y = -6
Sekarang kita dapat menyelesaikan untuk y dengan membagi kedua sisi persamaan dengan -7:
y = -6 / -7 y = 6/7
Jadi, nilai y adalah 6/7. Sekarang kita tahu nilai y, kita dapat menggantikannya kembali ke salah satu persamaan asli untuk menemukan nilai x. Mari kita gunakan persamaan pertama (2x - y = 4):
2x - (6/7) = 4
Untuk menyelesaikan untuk x, pertama-tama kita tambahkan 6/7 ke kedua sisi persamaan:
2x = 4 + 6/7
Untuk menambahkan 4 dan 6/7, kita perlu mengubah 4 menjadi pecahan dengan penyebut yang sama, yaitu 7. Jadi, 4 menjadi 28/7:
2x = 28/7 + 6/7 2x = 34/7
Selanjutnya, kita bagi kedua sisi persamaan dengan 2 untuk mendapatkan x:
x = (34/7) / 2 x = 34/14 x = 17/7
Jadi, nilai x adalah 17/7. Sekarang kita telah menemukan nilai x dan y, kita dapat menulis himpunan penyelesaian sebagai pasangan terurut (x, y), yaitu (17/7, 6/7).
Metode Substitusi: Menggantikan Variabel
Selain eliminasi, kita juga bisa menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Ide dasarnya adalah menyelesaikan salah satu persamaan untuk salah satu variabel, lalu menggantikan (substitusi) ekspresi tersebut ke dalam persamaan lainnya. Ini akan menghasilkan persamaan baru dengan hanya satu variabel, yang bisa kita selesaikan dengan mudah.
Misalnya, dari persamaan x + 3y = 5, kita bisaExpress x dalam bentuk y:
x = 5 - 3y
Sekarang kita substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan pertama, 2x - y = 4:
2(5 - 3y) - y = 4
Buka kurung dan kita dapatkan:
10 - 6y - y = 4
Sederhanakan persamaan ini:
10 - 7y = 4
Kemudian, pindahkan 10 ke sisi kanan persamaan:
-7y = 4 - 10
-7y = -6
Bagi kedua sisi dengan -7 untuk mendapatkan nilai y:
y = 6/7
Setelah mendapatkan nilai y, kita substitusikan kembali ke dalam persamaan x = 5 - 3y:
x = 5 - 3(6/7)
x = 5 - 18/7
Untuk mengurangkan pecahan, kita ubah 5 menjadi pecahan dengan penyebut 7:
x = 35/7 - 18/7
x = 17/7
Jadi, kita mendapatkan x = 17/7 dan y = 6/7. Himpunan penyelesaiannya adalah (17/7, 6/7), sama seperti yang kita dapatkan dengan metode eliminasi.
Metode Grafik: Menggambar Garis
Metode grafik adalah cara visual untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Caranya adalah dengan menggambarkan grafik kedua persamaan pada bidang koordinat yang sama. Titik di mana kedua garis berpotongan adalah solusi dari sistem persamaan tersebut.
Untuk menggambarkan grafik persamaan 2x - y = 4, kita bisa mengubahnya menjadi bentuk y = mx + c (bentuk gradien-intersep):
y = 2x - 4
Persamaan ini memiliki gradien 2 dan memotong sumbu y di -4. Kita bisa membuat tabel nilai untuk x dan y untuk menggambar garis ini.
Untuk persamaan x + 3y = 5, kita juga ubah menjadi bentuk y = mx + c:
3y = -x + 5 y = (-1/3)x + 5/3
Persamaan ini memiliki gradien -1/3 dan memotong sumbu y di 5/3. Sama seperti sebelumnya, kita bisa membuat tabel nilai untuk x dan y untuk menggambar garis ini.
Setelah menggambar kedua garis pada bidang koordinat, kita akan melihat bahwa mereka berpotongan di titik (17/7, 6/7). Ini adalah solusi dari sistem persamaan kita.
Kesimpulan
Jadi guys, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x - y = 4 dan x + 3y = 5 adalah (17/7, 6/7). Kita bisa menemukan solusi ini dengan menggunakan metode eliminasi, substitusi, atau grafik. Setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing, jadi kalian bisa memilih metode mana yang paling nyaman dan sesuai dengan soal yang diberikan. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan membuat kalian semakin paham ya! Selamat belajar dan sampai jumpa di pembahasan selanjutnya!