Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear: Contoh Soal

by ADMIN 59 views
Iklan Headers

Hey guys! Kali ini kita akan membahas tentang cara menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear. Materi ini penting banget dalam matematika, apalagi kalau kalian mau lanjut belajar aljabar yang lebih kompleks. Jadi, simak baik-baik ya!

Apa Itu Sistem Persamaan Linear?

Sebelum masuk ke contoh soal, kita pahami dulu yuk apa itu sistem persamaan linear. Secara sederhana, sistem persamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki variabel yang sama. Tujuan kita adalah mencari nilai variabel-variabel tersebut yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

Persamaan linear sendiri adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu. Bentuk umumnya adalah:

ax + by = c

Dimana a, b, dan c adalah konstanta, sedangkan x dan y adalah variabel.

Nah, kalau ada dua persamaan linear atau lebih yang saling terkait, itulah yang disebut sistem persamaan linear. Untuk mencari solusinya, ada beberapa metode yang bisa kita gunakan, diantaranya adalah metode substitusi, eliminasi, dan grafik.

Dalam artikel ini, kita akan fokus pada metode substitusi dan eliminasi, karena keduanya paling sering digunakan. Kita langsung ke contoh soal aja ya, biar lebih jelas!

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

a.

\begin{cases}
2x-y = 3 \\
x+2y = 0
\end{cases}

Pembahasan:

Kita akan menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan soal ini.

  1. Pilih salah satu persamaan dan nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

    Misalnya, dari persamaan kedua (x + 2y = 0), kita bisa nyatakan x dalam bentuk y:

x = -2y


2.  **Substitusikan (gantikan) variabel yang sudah dinyatakan tadi ke persamaan lainnya.**

    Substitusikan x = -2y ke persamaan pertama (2x - y = 3):

    ```
2(-2y) - y = 3
-4y - y = 3
-5y = 3
y = -3/5

  1. Setelah mendapatkan nilai satu variabel, substitusikan kembali ke salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.

    Substitusikan y = -3/5 ke x = -2y:

x = -2(-3/5) x = 6/5


4.  **Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(6/5, -3/5)}**

Sekarang, kita coba selesaikan dengan metode **eliminasi** ya.

1.  **Samakan koefisien salah satu variabel dari kedua persamaan.**

    Misalnya, kita mau eliminasi variabel y. Kita bisa kalikan persamaan pertama dengan 2:

    ```
2(2x - y) = 2(3)  -->  4x - 2y = 6

Persamaan kedua tetap:

```

x + 2y = 0


2.  **Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan (tergantung tanda koefisien yang sama) untuk mengeliminasi salah satu variabel.**

    Karena koefisien y sudah berlawanan tanda (-2y dan +2y), kita jumlahkan kedua persamaan:

    ```
4x - 2y = 6
x + 2y = 0
---------- +
5x = 6
x = 6/5

  1. Substitusikan nilai variabel yang sudah didapat ke salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.

    Sama seperti sebelumnya, substitusikan x = 6/5 ke x + 2y = 0:

6/5 + 2y = 0 2y = -6/5 y = -3/5


4.  **Jadi, himpunan penyelesaiannya tetap sama, yaitu {(6/5, -3/5)}**

Kalian bisa lihat, baik dengan metode substitusi maupun eliminasi, hasilnya sama. Jadi, kalian bisa pilih metode mana yang paling nyaman kalian gunakan.

### Soal 1b

```math
\begin{cases}
3x + 2y = 1 \\
2x + y = 1
\end{cases}

Pembahasan:

Kita coba lagi dengan metode eliminasi, biar makin lancar!

  1. Samakan koefisien salah satu variabel.

    Kali ini, kita eliminasi y lagi. Kita bisa kalikan persamaan kedua dengan 2:

2(2x + y) = 2(1) --> 4x + 2y = 2


    Persamaan pertama tetap:

    ```
3x + 2y = 1

  1. Kurangkan kedua persamaan (karena koefisien y tandanya sama).

3x + 2y = 1 4x + 2y = 2

-x = -1 x = 1


3.  **Substitusikan nilai x ke salah satu persamaan awal.**

    Substitusikan x = 1 ke 2x + y = 1:

    ```
2(1) + y = 1
2 + y = 1
y = -1
  1. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, -1)}

Nah, itu dia contoh soal dan pembahasan tentang cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear. Gimana, guys? Sudah mulai paham kan?

Tips dan Trik

Berikut beberapa tips dan trik yang bisa kalian gunakan saat menyelesaikan soal sistem persamaan linear:

  • Pilih metode yang paling efisien. Kalau salah satu variabel sudah dinyatakan dalam bentuk variabel lain (seperti di soal 1a), metode substitusi biasanya lebih mudah. Tapi, kalau tidak, metode eliminasi mungkin lebih cepat.
  • Teliti dalam melakukan perhitungan. Kesalahan kecil dalam perhitungan bisa membuat hasil akhirnya salah. Jadi, periksa lagi setiap langkah yang kalian lakukan.
  • Jangan takut mencoba. Kalau kalian merasa kesulitan, coba kerjakan soal lain yang lebih mudah dulu. Atau, coba gunakan metode yang berbeda. Yang penting, jangan menyerah!

Kesimpulan

Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear memang butuh latihan. Tapi, dengan memahami konsep dasarnya dan sering berlatih, kalian pasti bisa! Ingat, ada beberapa metode yang bisa kalian gunakan, seperti substitusi dan eliminasi. Pilih metode yang paling kalian kuasai dan jangan lupa untuk selalu teliti dalam perhitungan.

Semoga artikel ini bermanfaat ya, guys! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya di kolom komentar. Semangat terus belajarnya!