Hitung 6p - 2q Dari Sistem Persamaan Linear

by ADMIN 44 views
Iklan Headers

Hai, guys! Kalian pernah kan ketemu soal matematika yang kayak gini? Nggak usah panik, guys. Soal kayak gini tuh sebenarnya bisa dipecahin dengan gampang kalau kita tahu caranya. Nah, di artikel ini, kita bakal bahas tuntas gimana caranya mencari nilai dari 6p - 2q kalau diketahui ada sistem persamaan linear. Siap?

Memahami Sistem Persamaan Linear

Sebelum kita terjun langsung ke perhitungannya, yuk kita pahamin dulu apa sih sistem persamaan linear itu. Jadi, guys, sistem persamaan linear itu adalah sekumpulan persamaan yang terdiri dari dua atau lebih persamaan linear. Persamaan linear itu sendiri adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu. Contohnya kayak gini, 3p + 3q = 3 dan 2p - 4q = 14. Di sini, variabelnya adalah 'p' dan 'q', dan pangkatnya cuma satu. Nah, penyelesaian dari sistem persamaan linear itu adalah nilai-nilai variabel yang bikin semua persamaan dalam sistem itu jadi benar secara bersamaan. Keren kan?

Cara Mencari Nilai p dan q

Oke, sekarang kita masuk ke bagian yang paling seru, yaitu gimana cara nyari nilai p dan q dari sistem persamaan yang dikasih. Kita punya dua persamaan nih:

  1. 3p + 3q = 3
  2. 2p - 4q = 14

Ada beberapa metode yang bisa kita pake, guys, tapi yang paling umum dan gampang itu biasanya pake metode substitusi atau eliminasi. Yuk, kita coba pake metode eliminasi dulu ya.

Metode Eliminasi

Metode eliminasi itu intinya kita menghilangkan salah satu variabel biar kita bisa nemuin nilai variabel yang satunya lagi. Biar gampang, kita samain dulu koefisien salah satu variabelnya. Misalnya, kita mau eliminasi 'q'. Biar koefisien 'q' sama, persamaan pertama kita kali 2, dan persamaan kedua kita kali 1 (tetep aja sih):

  • Persamaan 1 dikali 2: (3p + 3q = 3) x 2 => 6p + 6q = 6
  • Persamaan 2 dikali 1: 2p - 4q = 14

Sekarang, biar 'q' ilang, kita harus jumlahin kedua persamaan yang baru ini. Tapi, eh, tunggu dulu. Koefisien 'q' di persamaan pertama positif (+6q) dan di persamaan kedua negatif (-4q). Kalau mau dihilangin, kita perlu bikin koefisiennya jadi sama persis dulu. Coba kita samain koefisien 'p' aja deh, biar lebih gampang. Koefisien 'p' di persamaan pertama itu 3, di persamaan kedua itu 2. KPK-nya 6. Jadi, persamaan pertama kita kali 2, dan persamaan kedua kita kali 3.

  • Persamaan 1 dikali 2: (3p + 3q = 3) x 2 => 6p + 6q = 6
  • Persamaan 2 dikali 3: (2p - 4q = 14) x 3 => 6p - 12q = 42

Nah, sekarang kita punya:

  • 6p + 6q = 6
  • 6p - 12q = 42

Karena koefisien 'p' udah sama-sama 6, kita bisa eliminasi 'p' dengan cara mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama:

(6p + 6q) - (6p - 12q) = 6 - 42 6p + 6q - 6p + 12q = -36 18q = -36 q = -36 / 18 q = -2

Yeay! Kita udah dapet nilai q = -2. Sekarang, tinggal cari nilai p. Kita bisa substitusiin nilai 'q' ini ke salah satu persamaan awal. Kita pake persamaan pertama aja ya, yang 3p + 3q = 3:

3p + 3(-2) = 3 3p - 6 = 3 3p = 3 + 6 3p = 9 p = 9 / 3 p = 3

Jadi, kita dapet nilai p = 3 dan q = -2. Mantap! Kita udah berhasil nemuin penyelesaian dari sistem persamaan itu.

Metode Substitusi (Alternatif)

Buat yang suka substitusi, yuk kita coba juga. Dari persamaan pertama, 3p + 3q = 3, kita bisa sederhanain dulu dengan bagi 3 semua: p + q = 1. Dari sini, kita bisa nyari 'p' dalam bentuk 'q': p = 1 - q.

Sekarang, kita substitusiin 'p' ini ke persamaan kedua, 2p - 4q = 14:

2(1 - q) - 4q = 14 2 - 2q - 4q = 14 2 - 6q = 14 -6q = 14 - 2 -6q = 12 q = 12 / -6 q = -2

Sama kan kayak tadi? Setelah dapet q = -2, kita substitusiin lagi ke p = 1 - q:

p = 1 - (-2) p = 1 + 2 p = 3

Nah, hasilnya p = 3 dan q = -2, persis sama dengan metode eliminasi. Kelihatan kan, guys, mau pake metode apa aja, asalkan bener, hasilnya pasti sama.

Menghitung Nilai 6p - 2q

Udah nemuin nilai p dan q? Good job! Sekarang saatnya kita pake nilai-nilai itu buat nyari nilai dari 6p - 2q. Kita udah tau kalau p = 3 dan q = -2. Langsung aja kita masukin:

6p - 2q = 6(3) - 2(-2) 6p - 2q = 18 - (-4) 6p - 2q = 18 + 4 6p - 2q = 22

Jadi, nilai dari 6p - 2q adalah 22. Gimana, guys? Gampang kan? Asalkan kita teliti pas ngitung, pasti bener jawabannya.

Cek Kebenaran Sistem Persamaan Linear Lain

Nah, selain soal yang tadi, kadang kita juga dikasih soal kayak gini nih, di mana kita disuruh cek kebenaran nilai suatu variabel dalam sistem persamaan lain. Contohnya gini, kita punya sistem persamaan:

(a - 2)x - y = 0 x + (a - 2)y = 0

Dan kita diminta buat ngecek kebenaran nilai tertentu. Gimana tuh cara ngeceknya? Sebenarnya, konsepnya sama aja, guys. Kita perlu cari tahu dulu nilai 'a' atau nilai variabel lain yang bikin kedua persamaan ini jadi benar. Untuk sistem persamaan kayak gini, kalau kedua persamaan sama dengan nol, kemungkinan besar solusinya adalah x=0 dan y=0. Tapi, ada juga kemungkinan lain kalau determinan dari matriks koefisiennya itu nol.

Menggunakan Determinan

Untuk sistem persamaan linear homogen seperti ini, yang bentuknya Ax + By = 0 dan Cx + Dy = 0, solusi nontrivial (selain x=0, y=0) itu ada kalau determinan dari matriks koefisiennya adalah nol. Matriks koefisiennya adalah:

| a-2   -1 |
|  1   a-2 |

Determinan matriks ini adalah:

(a - 2)(a - 2) - (-1)(1) = 0 (a - 2)^2 + 1 = 0 a^2 - 4a + 4 + 1 = 0 a^2 - 4a + 5 = 0

Sekarang, kita bisa cek nilai 'a' yang memenuhi persamaan kuadrat ini. Kita bisa pake rumus diskriminan (D = b^2 - 4ac) buat nyari tahu ada berapa banyak solusi real buat 'a'. Di sini, a=1, b=-4, c=5.

D = (-4)^2 - 4(1)(5) D = 16 - 20 D = -4

Karena diskriminannya negatif (D < 0), berarti persamaan kuadrat a^2 - 4a + 5 = 0 ini tidak punya solusi real untuk 'a'. Artinya, satu-satunya solusi untuk sistem persamaan (a - 2)x - y = 0 dan x + (a - 2)y = 0 adalah solusi trivial, yaitu x = 0 dan y = 0, gak peduli berapapun nilai 'a'. Jadi, kalau ada pernyataan tentang nilai kebenaran yang melibatkan nilai 'a' yang spesifik, kita harus teliti lagi karena ternyata di sini 'a' itu nggak ngaruh ke solusi x dan y yang cuma satu-satunya yaitu nol.

  • Jika ada pernyataan: 'Nilai a = 3 membuat sistem persamaan ini punya solusi nontrivial'. Maka, pernyataan itu SALAH, karena kita sudah buktikan tidak ada solusi nontrivial.
  • Jika ada pernyataan: 'Satu-satunya solusi untuk sistem persamaan ini adalah x=0, y=0'. Maka, pernyataan itu BENAR.

Jadi, guys, penting banget buat kita paham konsepnya, biar bisa ngerjain soal seberapapun kompleksnya. Latihan terus ya!